一 数学归纳法教学实录

数学归纳法

教学目标：

1、知识与技能：使学生了解归纳法, 理解数学归纳法的原理与实质．掌握数学归纳法证题的两个步骤；会用“数学归纳法”证明简单的与自然数有关的命题．

2、过程与方法：培养学生观察, 分析, 论证的能力, 进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学生经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想．努力创设课堂愉悦情境，使学生处于积极思考、大胆质疑的氛围，提高学生学习的兴趣和课堂效率；通过学习，让学生体会用归纳推理发现规律，再用数学归纳法证明规律。

3、情感、态度与价值观：通过对例题的探究，体会研究数学问题的一种方法(先猜想后证明), 激发学生的学习热情，使学生初步形成做数学的意识和

学精神；通过数学归纳法的学习，开拓数学视野，体会数学的

学意义。

教学重点：借助具体的实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些与正整数n（n取无限多个值）有关的数学命题。

教学难点：1）学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明；

2）运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。。

教学方法：类比启发探究式教学方法

教学用具：ppt课件、多媒体计算机、一副骨牌等。

教学过程：

一、

复习与引入（共同回忆）

归纳推理概念：

（这种由某类事物的部分对象具有的某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称推理）。简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理）

指出:归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分析的基础上.提出带有规律性的结论；结论不一定正确，需要证明。

处理方式：共同回忆这些基础知识。

问题引入：

问题1：已知数列

的通项公式为

ann5n5（,1）求出其前四项，你能得到什么样的猜想？an

22（2）你的猜想一定是正确的吗？

解：（1）a1(12515)2=1，a2(22525)21，a3(32535)21，a4(4545)1，猜想该数列的通项公式可以写为an1(nN)22*

（2）a5(52555)2251，所以猜想不正确！

问题2：已知数列an的第1项a11且an1an(n1,2,3),（1）求出数列前4项,1an你能得到什么猜想？（2）你的猜想一定是正确的吗？

1111(过程：a11，a2,a3,a4,由此得到：an,nN)

234n思考：对于问题2，我们只能肯定这个猜想对前4项成立，而不敢肯定它对后续的项也成立这个猜想对n=8000时成立吗？我们怎样解决这个问题？这个猜想对n取所有的自然数时成立吗？我们怎样解决这个问题？

处理方式：学生回答这两个问题，在教师引导下，共同思考问题并引入新课。

通过分析，我们需要学习一种特殊的证明方法，用于证明与正整数有关的问题，那就是我们这节课所要学习的一种新的证明方法---------数学归纳法

点明课题《2.3数学归纳法》。

二、新知学习

1、创设情境引发学生学习数学归纳法的学习欲望

你见过多米诺骨牌游戏吗?请欣赏一下那场景! 实验：多米诺骨牌游戏（这是一种码放骨牌的游戏，码放时保证任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌也倒下。只要推倒第一块骨牌，由于第一块骨牌倒下，就可导致第二块骨牌倒下，而第二块骨牌倒下，就可导致第三块骨牌倒下……最后，不论有多少骨牌，都能全部倒下.）

2、详细分析“多米诺骨牌”全部倒下的所蕴含的原理

思考：这个游戏中，能使所有“多米诺骨牌”全部倒下的条件是什么？你认为每个条件的作用是什么？

可以看出，只要满足以下两个条件，所有“多米诺骨牌”就都能倒下。

(1)第一块骨牌倒下；

(2)

任意相邻的两块骨牌，前一块骨牌倒下一定导致后一块骨牌也倒下。

条件（1）的作用是奠基；

条件（2）的作用是给出了一个递推关系：当第k块倒下时，相邻的第k+1块也倒下。

多米诺骨牌游戏是递推思想的一个模型。事实上，条件（1）、（2）就是数学归纳法原理的雏形

处理方式：在第一阶段的基础上，由生活实例出发，与学生一起解析归纳原理, 揭示递推过程．学生回答。

3、利用“多米诺骨牌”原理证明关于数列的猜想

1思考：你认为证明数列的通项公式是an这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗？n你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？

分析：

多米诺骨牌游戏原理

（1）第一块骨牌倒下。

a通项公式 n1n 的证明方法

（1）当n=1时a1=1，猜想成立

（2）假设当n=k时猜想成立，即1（2）若第k块倒下时，则相邻的第k+1akk

，则当n=k+1时猜想也成立，块也倒下。

。

根据（1）和 （2）可知，不论有多少根据（1）和（2）可知，对任意的正整块骨牌，都能全部倒下。

数n，猜想都成立。

[ : a即k11k1

处理方式：让学生思考后填表；通过课件展示，让学生了解利用“多米诺骨牌”原理证明关于数列的猜想。

这样对于猜想，有已知n=1成立，就n=2也成立；n=2成立，就n=3也成立；n=3成立，就n=4也成立;当n=4成立，就n=5也成立......1所以，对任意的正整数n,猜想都成立，即数列的通项公式是an.n4、数学归纳法原理：一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：

（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n0(n0N)时命题成立；（2）（归纳递推）假设n=k(kn0,kN)时命题成立，证明当n=k1时命题也成立

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0

的所有正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归纳法

别忘了做总结：根据（1）和（2），可知对任意的正整数n，猜想都成立。

[ 5、巩固数学归纳法原理

对于前面的问题2：已知数列an的第1项a11且an1an(n1,2,3),求出数列前4项,1an你能得到什么猜想？用刚学的知识证明一下你的猜想是不是正确？

证明：（1）当n1时a11，猜想成立，--------这就相当于游戏的条件（1）---归纳奠基

（2）假设当n=k是猜想成立，即ak1,k1a1那么当nk1时ak1kk,11ak1k1k即当nk1时猜想也成立-----------这就相当于游戏的条件（2）----归纳递推根据（1）和（2），可知对任意的正整数n，猜想都成立。

注意：（1）这两个步骤及总结缺一不可。

（2）用数学归纳法证明命题时，难点和关键都在第二步，主要在于合理运用归纳假设，结合已知条件和其他数学知识，证明“当n=k+1时命题成立”。

（3）数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都用数学归纳法证明，学习时要具体问题具体分析。

（4）第一步中，当n取第一个值n0(n0N)时命题成立，这个n0就是使这个命题成立的最小自处理方式：结合课件展示，师生共同解决。

为了加深学生的印象，教师结合反例进行说明：

（1）为了强调第一步-----归纳奠基，举反例：

例如：“奇数是2的倍数”显然是个假命题，但是如果没有第一步奠基，直接假设“如果奇数k是2的倍数”（这是一个不合实际的假设），却能推出“那么后一个奇数k+2也是2的倍数”（错因是缺少第一步）

（2）为了强调第二步-----归纳递推，举反例：

例如：“n2+n+11是质数”这个命题对于n=1,2,3,….9都成立，但是你不能说“n2+n+11是质数”正确，因为当n=10时，102+10+11=121=112故结论不成立。（错因是缺少第二步）

可以设计题目：

判断题：（错误的指出错因）

1)

假设“如果奇数k是2的倍数”（这是一个不合实际的假设），却能推出“那么后一个奇数k+2也是2的倍数”，所以“奇数是2的倍数”是真命题。（

）

2）当n=1,2,3时命题“n2+n+11是质数”都成立，所以命题“n2+n+11是质数”

是真命题（

）

目的是：加深学生对数学归纳法的理解。

三、

知识应用

例1：用数学归纳法证明122232...n2n(n1)(n2)(nN)

6分析：第1步如何写？第2步中当n=k时的假设如何写？

待证的目标式是什么？如何从假设出发？

点评：证n=k+1时，需从假设出发，对比目标，分析等式两边同增的项，朝目标进行变形. 处理方式：让学生思考，然后结合课件给以说明，目的是让学生熟悉用数学归纳法证明命题的步骤。

巩固练习:1.用数学归纳法证明

1234n

处理方式：让学生独立完成，找一位同学到黑板上去书写；点评，课件展示答案。

2、两个判断题（见课件）

1n(n1).(nN)2处理方式：让学生口答；结合课件点评。

1111,,,,,计算S1,S2,S3,S4根据计算的结果,1×44×77×10(3n-2)(3n+1)猜想Sn的表达式,并用数学归纳法进行证明.例2:已知数列

处理方式：让学生独立思考并完成，找一位同学到黑板上去书写；点评，课件展示答案。

四、知能巩固练习（说明：第1题与第2题课堂处理，第3与4题留作作业题）

1、

用数学归纳法证明：“1aa21an1aa1,nN”在验证n=11an成立时，左边计算所得的结果是（ ）

A．1

2. 已知:f(n) B.1a C．1aa

2 D.1aa2a3

111,则f(k1)等于( ) ...n1n23n1A: f(k)11 B: f(k) 3K23(K1)1111111 D: f(k)

3K23K33K4K13K4K1 C: f(k)13. 用数学归纳法证明:1×2＋2×3＋3×4＋……＋n(n＋1)＝n(n1)(n2)

34.数列an满足sn2nan,(nN),先计算前4项后猜想an，并用数学归纳法证明2n1答案：ann12

×2+2×3+…+n(n1) (n∈N*)，求证：an<课后思考题：设an＝1111(n＋1)2.

2(k1)(k2)＝提示关键：an+1=n(n1)+(k＋1) <(k＋1) +221(k+1)2+k23k2

2

<(k+1)2+(k+)＝(k+2)2

五、课堂小结（通过回答问题做总结）

1、数学归纳法能够解决哪一类问题？

一般被应用于证明某些与正整数有关的数学命题

2、数学归纳法证明命题的步骤是什么？

两个步骤和一个总结，缺一不可，不要忘记总结

3、数学归纳法证明命题的关键在哪里？

关键在第二步，即归纳假设要用到，解题目标要明确

4、数学归纳法体现的核心思想是什么？

递推思想，运用“有限”的手段，

解决“无限”的问题

注意类比思想的运用

处理方式：让学生回答这几个问题，进行总结

123212六、布置作业

教材第96页习题2.3

A组的第1 （2）（3）题与第2 题，B组第1题；知能巩固练习的第3题与第4题

七、板书设计

2．3数学归纳法

一、复习归纳推理

三、例题与练习

二、数学归纳法

四、小结与作业

八、教学心得与反思：(上过课后书写)

备选题目

1、用数学归纳法证明：12223242(1)n1n2(1)n1n(n1)

22求证:当nN*时，111111111。

2342n12nn1n22n