一 比较法第一课时教学实录

第二讲 证明不等式的基本方法-----比较法

正宁一中 郭永红

【学习目标】

1.

理解用比较法证明不等式的原理和思路。

2.

能熟练运用比较法来证明简单的不等式。

【学习重点】

理解和掌握比较法证明不等式的依据

【学习难点】

数学转化思想的理解和应用

【教情学情分析】

本节为高中数学选修4—5第二讲第一节，对高三学生而言，通过必修1---5的学习，学生对两个实数比较大小有比较深刻认识。本节课基于两个实数比较大小的过程得出比较法证明不等式的原理和思路。通过例题和练习题训练，培养学生数学转化思想，归纳变形常用技巧。

【教学过程】

一、

新课学习

思考：要比较两个实数大小可用哪些方法？

1、作差法：a－b＞0a＞b，a－b＜0a＜b. a＞1a＞b. b3、比较法证明不等式的一般步骤：作差（商）—变形—判断—结论.。

作差法证明不等式是不等式证明的最基本的方法.作差后需要判断差的符号，作差变形的方向常常是因式分解（分式通分、无理式有理化等）后，把差写成积的形式或配成完全平方式.；2、作商法：a＞0，b＞0，作商法要注意使用条件，若二、典型例题

3322例1、已知a,b都是正数，并且ab，求证：ababab.

a＞1不能推出a＞b.这里要注意a、b两数的符号.。

b证明：∵(ab)(abab)=a2(ab)b2(ab)

＝(ab)(ab)=(ab)(ab)

2∵a,b是正数，且ab,∴ab0,(ab)>0 33222223322∴(ab)(abab)>0, ∴ababab

注：比较法是证明不等式的基本方法，也是最重要的方法,另外，有时还可作商比较.

abba例2、已知a,b都是正数，求证：abab,

当且仅当ab时，等号成立。

3322

aabba证明:baaabbbaabbab根据要证的不等式的特点(交换a,b的位置,不等式不变)aa不妨设ab0,则1,ab0,bb当且仅当ab时,等号成立.ab1

aabbabba,当且仅当ab时,等号成立

练习、b克糖水中有a克糖(ba0)，若再添上m克糖，则糖水就变甜了，试根据这个

事实提炼一个不等式： ；并且加以证明。

解:将上述事实抽象为不等式问题如下; ama

已知a,b,m都是正数,并且a

bmb

a例3.设a0,b0,求证：ba证：法一(作差法）b212211b22aab

2212121211bab22ab

ababaabab33ababaabbabab

(ab)2(ab)0

aba故b211b22aab

221212ab证法二(作商法）babaab11aba2b212212ab33ab(ab)

(ab)(aabb)(ab)ab

abab(ab)(ab)2ab(ab)211

abab

又ab0,

三、课堂练习：

121211a22b2222故baab111. 设x0,y0,比较(xy)2212与(xy)的大小.

3133

2. 已知x≥0，y≥0，求证： 1xy21xyxyyx24

四、

课堂小结：

①比较法可分为差值比较法（简称比差法）和比值比较法（简称比商法）.注意二者的区别。

②一般地，证幂、指数不等式时，常用求商法；证对数不等式，多项式，分式时，常用求差法。

③当“差”或“商”中含有字母而无法判定时，一般需对字母的取值进行分类讨论。

五、课后作业：

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习题2.1

1、2、3、4