一 比较法优质课教案设计

第二讲

证明不等式的基本方法

第一课时 比较法

直击2020高考

教

材

地

位

本课时是人民教育出版社A版，选修4-5第二讲证明不等式的基本方法的第一节

考

纲

定

位

1.理解和掌握比较法证明不等式的理论依据．

2.掌握利用比较法证明不等式的一般步骤．

3.通过学习比较法证明不等式，培养对转化思想的理解和应用.

重

难

突

破

重点：理解和掌握比较法证明不等式的依据．

难点：

1.掌握利用比较法证明不等式的一般步骤．

2.通过学习比较法证明不等式，培养对转化思想的理解和应用. 认真研读新课

一、作差比较法

1．作差比较法的理论依据a－b>0⇔ a>b，a－b<0⇔ a

(1)作差；(2)变形整理，(3)判定符号，(4)得出结论．

其中变形整理是解题的关键，变形整理的目的是为了能够直接判定差的符号，常用的手段有：因式分解，配方，通分，分子或分母有理化等．

二、作商比较法

1．作商比较法的理论依据是不等式的基本性质：

aa(1)b>0，若b>1，则a>b；若b<1则a

aa(2)b<0，若b>1则ab. 2．作商比较法解题的一般步骤：(1)判定a，b符号；(2)作商；(3)变形整理；(4)判定与1的大小关系；(5)得出结论．

探究一

作差比较法

例1、设a,b都是正数，且ab，求证：a3b3a2bab2。

[变式1]

若a＞b＞c，求证：bc2＋ca2＋ab2＜b2c＋c2a＋a2b. [证明]

bc2＋ca2＋ab2－(b2c＋c2a＋a2b)＝(bc2－c2a)＋(ca2－b2c)＋(ab2－a2b) ＝c2(b－a)＋c(a－b)(a＋b)＋ab(b－a)＝(b－a)(c2－ac－bc＋ab) ＝(b－a)(c－a)(c－b)，∵a＞b＞c，

∴b－a＜0，c－a＜0，c－b＜0. ∴(b－a)(c－a)(c－b)＜0. ∴bc2＋ca2＋ab2＜b2c＋c2a＋a2b.

1．作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差能否化简或值是多少．

2．变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法．

3．因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的“差式”是某字母的二次三项式时，常用判别式法判断符号．有时会遇到结果符号不能确定，这时要对差式进行分类讨论．

探究二

作商比较法

例2、已知a,bR,求证aabbabba.

本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。 证明：1) 差值比较法：注意到要证的不等式关于a,b对称，不妨设ab0.

ab0ababab(aabbabbabbab)0，从而原不等式得证。

2）商值比较法：设ab0,

aabbaa1,ab0,

ba()ab1.

bbab故原不等式得证。

abc3[变式2]

已知a，b，c>0，求证：aabbcc≥(abc). aba[证明]

不妨设a≥b≥c，则a－b，b－c，a－c∈R，且b，c，c都大于等于1，

abcabc＝aab3abcabc32abc2bac2cab333＝abc

ba3bc3ca3cb3·aac3·b·b·c·c

abbcaca3b3a3＝(b)·(c)·(c)≥1.

∴aabbcc≥(abc)

abc3. 作商比较法证明不等式的一般步骤

(1)作商：将不等式左右两边的式子进行作商．

(2)变形：化简商式到最简形式．

(3)判断：判断商与1的大小关系，也就是判断商大于1或小于1或等于1. (4)得出结论．

探究三

比较法的实际应用

[例3]

甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走．如果m≠n，问甲、乙二人谁先到达指定地点？

[解析]

设从出发地点至指定地点的路程为s，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t1，t2，依题意有：

t1t1ssm＋n＝s，

＋222m2n＝t2，

sm＋n2s∴t1＝，t＝2mn. m＋n2sm＋n2s∴t1－t2＝－2mn

m＋ns[4mn－m＋n2]sm－n2＝＝－. 2mnm＋n2mnm＋n其中s，m，n都是正数，且m≠n，∴t1< t2

即t1t2,

从而可知甲比乙首先到达指定地点

应用不等式解决实际问题的方法

应用不等式解决实际问题时，关键是如何把等量关系、不等量关系转化为不等式的问题来解决．也即建立数学模型是解应用题的关键，最后利用不等式的知识来解．在实际应用不等关系问题时，常用比较法来判断数的大小关系，若是选择题或填空题则可用特殊值加以判断．

四、

[规律探究]

(1)比较法主要用于比较大小和证明不等式，一般来说整式、分式型常用作差变形，无理式即含根号时先通过乘方去掉根号后再作差变形，指数式及对数式较复杂，但符号确定的代数式常用作商变形．

(2)作差变形时，是选择配方法，还是因式分解法，要视表达式的结构而定，因式分解时要以每个因式都有明确的正负号为目标，对不能直接判定符号的情况应采用分类讨论的方法．

(3)作商变形时，指数式型的要正确运用指数运算法则及指数函数性质，对数式型的要正确运用对数运算法则，换底公式及对数函数性质. 五、课后作业：

课本23页第1、2、3、4题。