二 用数学归纳法证明不等式特级教师教学实录

《数学归纳法》教学设计

授课类型：新授课

【教学任务分析】

(1)了解数学归纳法的意义，培养学生在观察的基础上进行归纳猜想和发现的能力，进而培养学生创造性思维的能力。

(2)使学生理解数学归纳法的实质，掌握数学归纳法证题的两个步骤，会用数学归纳法证明有关正整数的命题。

【教学目标】

1、知识与技能：理解“数学归纳法”的含意和本质；掌握数学归纳法证题的两个步骤一个结论；会用“数学归纳法”证明简单的数列，等式，不等式和整除等问题。

2、过程与方法：初步掌握归纳与推理的方法；培养大胆猜想，小心求证的辩证思维素质；让学生养成自主思维、主动发现的学习习惯。

3、情态与价值：培养学生对于数学内在美的感悟能力。

【教学重点】

1、了解数学归纳法的原理及其使用题型和基本步骤；

2、会用数学归纳法证明有关正整数的命题。

【教学难点】

如何理解数学归纳法证题的有效性；递推步骤中如何利用归纳假设。

【教学基本流程】

温故而知新：复习上一节学过的证明方法：综合法、分析法、反证法。

创设情景，从具体实例引入新课：根据已知条件，师生共同探索一个数列的通项公式，并抛出问题：能否用前面所学的三种方法证明猜想是正确的吗，如果不能我们要用什么方法证明呢，从而引出本节课所学证明方法--数学归纳法。

例题练习利用数学归纳法证题

小结：数学归纳法的注意事项及其它应用

【教学过程】

一、温故而知新：复习上一节学过的证明方法：综合法、分析法、反证法。

二、课题导入

例1：对于数列｛an｝，已知a11，an1anan1(n∈N)写出数列前4项,并猜想其通项公式

。

111a11aaa学生Ａ回答：数列前4项分别是，2，3，4

243由此猜想：an1nNn

我们怎么证明猜想是正确的呢？能用前面所学的三种方法证明猜想是正确的吗，如果不能我们要用什么方法证明呢，这节课我们学习一种新的证明方法--数学归纳法。

三、讲授新课

对于某些与正整数有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：

(1)证明当nn0n0N时命题成立；

(2)假设当nkkn0,kN时命题成立，利用归纳假设，证明当nk1时命题也成立。

在完成了这两步之后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法。

我们先从多米诺骨牌游戏说起，这是一种码放骨牌的游戏。

师生活动：观看多米诺骨牌游戏的实验短片。看完后，教师提出问题，引导学生回答，使所有骨牌都能倒下应具有什么条件？学生一起回答。

可以看出，使所有骨牌都能倒下的条件有两个：

(1)第一块骨牌倒下；（奠定基础）

(2)任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块也倒下。（递推关系，若k块倒下必须导致k+1块也倒下）

分组讨论：“多米诺骨牌”和数学归纳法的相似之处，学生Ｂ回答该问题：两步一结论。

设计意图：通过表格对比让学生更好理解证明的两个步骤、一个结论。

师生活动：教师引导学生规范化步骤，提问学生回答每一步要干什么？怎么干？起什么作用？

教师板书：数学归纳法: (1)先证明当n取第一个值n0时命题成立；

(2)假设当n=k(k≥n0，kN*)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。

只要完成这俩个步骤,就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数n都成立．这种证明方法叫做数学归纳法。

那么对我们前面的猜想的证明有什么启发？

教师板演：用数学归纳法证明例1中的猜想是正确的。

证明：(1)当n=1时，数列的首项等于1，命题成立；

(2)验证递推关系，假设当nkkN

时

，那么当

nk1

时，ak1ak1k

ak1ak1k1

这就是说，当nk1时，等式也成立．

an1n

由(1)和(2)，可知猜想成立，即(n∈N)．

师生活动：证明第二步的时候，教师提醒学生要注意使用归纳假设。

设计意图：培养学生做事情要有方向和目标，养成积极的做事态度。

师生活动：教师引导学生等式证完后，回过头来看一下每一步的作用：第一步是奠基、起步，第二步是假设与递推，是证明的关键。

设计意图：培养学生做事情有始有终的好习惯；从每步的作用上理解数学归纳法的思想。

练习1．请你批改作业：

(1)试问等式2462nn2n1成立吗？某同学用数学归纳法给出了如下的证明，请问该生得到的结论对吗？

解:设n＝k (k∈N)时成立，即2462kk2k1

则当n=k+1时2462k1k2k12k1

k23k3k1k11

2这就是说，n＝k+1时也成立

所以等式对任何n∈N*都成立

学生ｃ回答：该同学在没有证明当n=1时，等式是否成立的前提下，就断言等式对任何n∈N*都成立，为时尚早，事实上，当n＝1时，左边＝2，右边＝3左边≠右边，等式不成立。

111n(nN)n(n1)n1(2)用数学归纳法证明1223

11（1）当n1时，左边，右边，左边右边，等式成立；22（2）假设当nkkN时等式成立，即1111k122334k(k1)k1当nk1时，11111左边(1)()()223k1k21k1k11右边k2k2(k1)1即nk1时等式成立。1）（2）可知，对一切正整数，等式均成立。 由（

学生Ｄ回答：第二步的证明没有用上归纳假设。师生一起板演第二步。

练习2、已知n2，求证：13>1+3n ．

n学生Ｅ上讲台板演：注意初始值未必都是从1开始. 证明：（1）当n=2时，左＝13=16>7 =右, ∴n=2时不等式成立

2（2）假设nkk2,kN时，不等式成立，即13>1+3k k当n=k+1时，

左边=13k1=13(1+3)>(1+3k)(1+3)=1+3(k+1)+32k> 1+3 (k+1) =右边．

k即原不等式当n=k+1时也成立．

根据(1)和(2)，原不等式对任何不小于2的自然数n都成立. 3An5n(nN)能否被6整除？若能，练习3、n请用数学归纳法给于证明．

学生练习，投影三位学生的练习结果，师生共同探索数学归纳法步骤的规范性。

3A1516,命题显然成立. n11证明:(1)当

时,3nkkNAk5k是6的倍数. k假设当时, 能被6整除,即

332Ak15k1k3k3k15k5

nk1k1那么当时k35k3kk16Ak3kk16

因为Ak是6的倍数,kk1也是偶数,所以Ak1也是6的倍数,即当

nk1时,命题也成立．

由(1)、(2)知对一切正整数n,An都能被6整除.

练***面上有nn3,nN个点，其中任何三点不共线，过这些点中任意俩点做直线，这样的直线条数记为fn

，求证师生一起探讨解决该几何题的证明。

证明:(1)当n=3时,f333132，命题显然成立. fnnn12．

(2)假设当nkk3,kN时，fkkk12，

那么当n=k+1时，fk1fkkkk12kk1k11kk1k222

这就是说，当n=k+1时，命题也成立．

由(1)和(2)可知结论成立。

四、课堂小结：

(一) 用数学归纳法证明的步骤及注意事项：

1. 明确首先取值n0并验证命题真假（必不可少）；

2. (1)“假设n=k时命题正确”并写出命题形式；

(2)分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别，弄清左端应增加的项；

(3)明确等式左端变形目标，掌握变形常用的方法：乘法公式、因式分解、通分、添拆项、配方等；

3. 下结论. 递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。

(二)数学归纳法的应用：

证明某些与正整数有关的等式、不等式、数列、整除、几何、探究性问题等等. 五、课下作业：

11111222(nN,n2).2n23n

1.求证:nn1*A5231(nN)能被8整除。

n2.证明:3.在数列{an}中，已知a1＝2，a2＝3，an＝3an－1－2an－2(n≥3)．

(1)求a3，a4，a5；

(2)猜想{an}的通项公式，并证明你的结论．

4.用数学归纳法证明：

首项是a1公差是d的等差数列的通项公式是ana1(n1)d，前n项和

n(n1)d．

的公式是Sn2

六、板书设计：

数学归纳法： 例1 (1)先证明当n取第一个值n0时命题成立； 证明:（用数学归纳法对猜想进行证明）

(2)假设当n=k(k≥n0，kN*)时命题成立，

证明当n=k+1时命题也成立。 练习1(2) 由(1)和(2)可知,命题对于从n0开始的所有 当n=k+1时，（利用假设证明）

正整数n都成立．

七、教学反思：

(一)教学行为的反思

新课程倡导的是教师是学生学习的引导者、组织者、合作者、促进者，是平等的，而不再是“传道”“解惑”的权威，更不是学生学习知识的“批发商”。将学习的主动权交还给学生，是这节课给我的最大的启示。

(二)学生学习方式的反思

为了突出学生的主体地位，在教学中我尽量的多由学生来发现问题，回答问题。特别是展示了“多米诺骨牌”游戏，由学生分组讨论发现“多米诺骨牌”和数学归纳法的相似之处；并增加了学生批改作业环节，提前发现数学归纳法证明过程中出现的错误，让学生感受到运用数学归纳法应是两步一结论，缺一不可。在学生运用数学归纳

法做练习时，我通过巡堂，收集学生做题时的典型错误，并及时地投影，和学生一起分析对错，修正。教学中，我们应鼓励学生积极参与教学活动，包括思维的参与和行为的参与。既要有教师的讲授和指导，也要有学生的自主探索与合作交流。

(三)教学效果的反思

一方面师生间的合作学习探究使我的认知方式产生了质的飞跃，变传统的灌输式为现在主动型探究式；使我认识通过观察、实验、推断可以获得数学猜想，体验数学活动充满着探索性和创造性，感受证明的必要性、证明过程的严谨性以及结论的确定性。作为青年教师，我觉得更应该善于通过自我的教学反思和积极借助他人的反馈，来强化自身的学习和教风的形成，并不断提升自己的专业素养，早日实现从教书型到研究型的转变。