2.基本不等式名师教学设计1

《基本不等式》

内江市第二中学 李东波

一.教学目标

1．通过探究“数学家大会的会标”，引导学生从几何图形中获得两个基本不等式，了解基本不等式的几何背景培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；培养学生形成数形结合的思想意识；

2．进一步让学生探究不等式的代数证明，加深对基本不等式的理解和认识，提高学生逻辑推理的能力和严谨的思维方式。 3．通过例题让学生学会用基本不等式求最大值和最小值。

二.教学重点、难点

教学重点：对基本不等式的理解和运用

教学难点：理解基本不等式和灵活应用

三.教学方法

学导式教学法

四.教学过程：

（一）情景引入

下图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会议现场。

通过情境引发联想，学生深切感受到我国数学科学的悠久历史和深厚的文化底蕴，以及我国的数学成就对世界数学文明的影响和发展做出的卓越贡献，激发学生喜欢数学，学好数学的热情。

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探究一：观察上面的会标。

师：从图形上你能观察到了什么？

生：边、角、三角形、正方形

师：我们根据弦图可知勾股定理，那么我们对三角形、正方形可以研究哪些数量关系呢？

生：正方形和三角形的面积、周长，根据给的边可以求。

师：那么面积之间又有怎样的关系呢？

生：大正方形面积ab，四个直角三角形面积2ab，并且ab>2ab。

师：仅此而已吗？你还能发现怎样的关系？

生：还会相等。

ab时会相等。

（教师投影展示取等号的条件，证明学生的想法是正确的。）

22结论：ab2ab（当且仅当ab时取等号）

2222师：你能给出证明吗？（此问题学生口述即可）

22222生：由ab2ab，则ab2ab0(ab)0恒成立。则ab时取等号。

师：一般的我们都用a，b表示，那么若将上式中的a，b换成a，b，你又会得出什么结论？如何证明？

生：

ab2ab(a0,b0) 当且仅当ab时取等号。

师：很好，还可以写成

ab(a0,b0)，如何证明这个结论成立呢？

2abab，只要证ab2ab，只要证ab2ab0，只要证 生投影展示：要证2 ab

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(ab)20，显然式子成立，当且仅当ab取等号。

师：这样我们又一次得到了基本不等式。根据以上证明学生已经基本了解了基本不等式的形式

和推导方法，同学们是否真正理解了基本不等式的含义。

定理1：

如果a,bR,那么a2b22ab(当且仅当“ab”时取等号)

定理2：

如果a,b0,那么不等式说明：

abab(当且仅当“ab”时取等号)

2ab：叫做正数a,b的算术平均数

2ab：叫做正数a,b的几何平均数

多角度理解不等式：

（1）从平均数角度：两正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数

（2）从数列的角度：两正数的等差中项大于或等于它们的等比中项

变形式：

abab,ab2ab

2例1：判断下列表述的正误

21若x0,则x12xx12x12

x2若x0,则x12xxx3若x1,则x12x【设计意图】

12x考查学生对所学知识点掌握的情况，是否真正理解了基本不等式并能注意运用公式时需要注意的条件，从而真正意义上理解不等式的含义。

（学生先独立思考，组内再探讨，最后小组派代表解答。）

师：基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，是解决最值问题的有力工具，看下面的例题。

合作探究：下面两道例题都由学生先独立完成，然后组内探讨，最后组内出代表完成。

例2：

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（1）设x,y都是正数，若xy=S（定值），求x+y的最小值；

（2）设x,y都是正数，若x+y=p（定值），求xy的最大值

归纳：两正数的积为定值，则两正数之和有最小值；

两正数的和为定值，则两正数的积有最大值. 例3.已知a,b,c都是正数，求证：(ab)(bc)(ca)8abc

五、课堂总结 1、本节课你学到了什么？

2、你还有哪些疑问？

【设计意图】通过提问让学生在头脑中形成自己的知识体系，自己总结检验本节课的听课效果，是否还有自己没听懂的问题一下就清楚了。

六、课后作业

1. 基本不等式其实是柯西不等式的一种特例，它在高中数学中扮演着重要的角色，请同学们利用课余时间查阅互联网和相关文献，为后面学习基本不等式的应用做好准备。

3. 教材 10页习题3 的第5、11题

【设计意图】巩固训练本节课学习内容并且给学生一个完整的独立思考，自主学习的机会。

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