2.基本不等式教学设计和教学实录

1.1.2 基本不等式

课堂探究

认识基本不等式中的数a，b

剖析：在利用基本不等式时，要准确定位其中的“数”．例如在试题“已知2x＋y＝1，x，y＞0，求xy的最大值”中，“两个数”不是“x”与“y”，而是已知条件中的“2x”与“y”，这是因为定值是“2x＋y＝1”，而“x＋y”不是定值，因而要求xy的最大值应视作1求(2x)·y的最大值，即

2xy＝(2x)·y≤×1212x＋y2111＝，当且仅当2x＝y，即x＝，y＝时，等号成立．

22842在基本不等式中，准确定位其中的“数”是使用基本不等式的大前提．

再如：在“设实数a，b，x，y满足a＋b＝1，x＋y＝3，求ax＋by的最大值”中要求的“ax＋by”，似乎告诉我们可以利用基本不等式求最值．

2222ax＋by≤a2＋x2b2＋y2a2＋b2＋x2＋y22＋2＝2＝2. 但是这种解法不正确，这四个数分两组使用基本不等式，不符合使用的条件，本题中取“＝”的条件是

a＝x，b＝y，

这与a＋b＝1和x＋y＝3矛盾．

2222因此正确的解法应是三角换元法：

令a＝cos α，b＝sin α，x＝3cos β，y＝3sin β，

∴ax＋by＝cos α·3cos β＋sin α·3sin β

＝3(cos αcos β＋sin αsin β)＝3cos(α－β)≤3，当且仅当cos(α－β)＝1，即α＝β时，等号成立．

∴ax＋by的最大值是3. 题型一 利用基本不等式证明不等式

【例1】已知a，b，c＞0，且a＋b＋c＝1. 111求证：－1－1－1≥8.

abc分析：不等式右边数字为8，使我们联想到左边因式分别使用基本不等式可得三个“2”11－ab＋c2bc连乘，－1＝＝≥，可由此变形入手．

aaaa证明：∵a，b，c＞0，a＋b＋c＝1，

1

11－ab＋c2bc∴－1＝＝≥. aaaa12ac12ab同理：－1≥，－1≥. bbcc由于上述三个不等式两边均为正，分别相乘，

111得－1－1－1≥

abbc2bc2ac2ab··＝8，

ac1当且仅当a＝b＝c＝时取等号．

3反思 用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式或其变形式进行证明. 题型二 利用基本不等式求函数最值

51【例2】已知x＜，求函数y＝4x－2＋的最大值．

44x－55分析：由x＜，可知4x－5＜0，转化为变量大于零，首先调整符号，配凑积为定值．

45解：∵x＜，∴5－4x＞0. 411∴y＝4x－2＋＝－5－4x＋＋3≤－2＋3＝1. 5－4x4x－51当且仅当5－4x＝，即x＝1时上式等号成立．

5－4x∴当x＝1时，y的最大值为1. 反思 在应用基本不等式求最值时，分以下三步进行：

(1)首先看式子能否出现和(或积)的定值，若不具备，需对式子变形，凑出需要的定值；

(2)其次，看所用的两项是否同正，若不满足，通过分类解决，同负时，可提取(－1)变为同正；

(3)利用已知条件对取等号的情况进行验证．若满足，则可取最值，若不满足，则可通过函数单调性或导数解决. 题型三 基本不等式的实际应用

【例3】某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2013年某运动会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x(万件)与年促销费t(万元)之间满足3－x与t＋1成反比例的关系，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2013年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需要投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费

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的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完．

(1)将2013年的利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数．

(2)该企业2013年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？

分析：(1)两个基本关系式是解题的关键，即利润＝销售收入－生产成本－促销费；生产成本＝固定费用＋生产费用；

(2)表示题中的所有已知量和未知量，利用它们之间的关系式列出函数表达式．

解：(1)由题意可设3－x＝kt＋1，

2. t＋1将t＝0，x＝1代入，得k＝2.∴x＝3－当年生产x万件时，

∵年生产成本＝年生产费用＋固定费用，

∴年生产成本为32x＋3＝323－当销售x万件时，

年销售收入为150%323－2＋3. t＋121＋3＋t. t＋12由题意，生产x万件化妆品正好销完，

由年利润＝年销售收入－年生产成本－促销费，

－t＋98t＋35得年利润y＝(t≥0)．

2(t＋1)2－t＋98t＋35t＋1＋32

(2)y＝＝50－t＋12(t＋1)22≤50－2当且仅当t＋12×32＝50－216＝42，

t＋1t＋12＝32，即t＝7时，等号成立，ymax＝42，

t＋1∴当促销费定在7万元时，年利润最大．

反思 解答不等式的实际应用问题，一般可分为如下四步：

(1)阅读理解材料：应用题所用语言多为“文字语言、符号语言、图形语言”并用，而且多数应用题篇幅较长．阅读理解材料要达到的目的是将实际问题抽象成数学模型．这就要求解题者领悟问题的实际背景，确定问题中量与量之间的关系，初步形成用怎样的模型能够解决问题的思路，明确解题方向．

(2)建立数学模型：根据①中的分析，把实际问题用“符号语言”“图形语言”抽象成数学模型，并且建立所得数学模型和已知数学模型的对应关系，以便确立下一步的努力方向．

(3)讨论不等关系：根据题目要求和②中建立起来的数学模型，讨论与结论有关的不等

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关系，得出有关理论参数的值．

(4)作出问题结论：根据③中得到的理论参数的值，结合题目要求得出问题的结论．

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