阅读与思考 生活中的反比例关系优秀课堂实录

www.czsx.com.cn 26.2 实际问题与反比例函数

课题

26.2 实际问题与反比例函数（一）

1、能灵活运用反比例函数的知识解决实际问题。

2、经历“实际问题——建立模型——拓展应用”的过程发展学生分析问题，解决问题的能力。

教学

目标

3、经历观察、分析讨论法，交流的过程，逐步提高从实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型的过程，认识反比例函数性质的应用方法。

4、从现实情境中提出问题，提高“用数学”的意识。体验反比例函数是有效地描述现实世界的重要手段，体验数学的实用性，提高学数学的兴趣。

重点

难点

难点

突破

方法

运用反比例函数的意义和性质解决实际问题。

从实际问题中寻找变量之间的关系，建立数学模型，注意分析过程，渗透转化的数学思想。

用函数观点解实际问题，一要搞清题目中的基本数量关系，将实际问题抽象成数学问题，看看各变量间应满足什么样的关系式（包括已学过的基本公式），这一步很重要；二是要分清自变量和函数，以便写出正确的函数关系式，并注意自变量的取值范围；三要熟练掌握反比例函数的意义、图象和性质，特别是图象，要做到数形结合，这样有利于分析和解决问题。教学中要让学生领会这一解决实际问题的基本思路。

教学过程与师生行为

一、提问引入、创设情景

【例1】市煤气公司要在地下修建一个容积为104m3的圆柱形煤气储存室。

（1）储存室的底面积S（单位：m2）与其深度d（单位：m）有怎样的函数关系？

（2）公司决定把储存室的底面积S定为500 m2，施工队施工时应该向下掘进多深？

（3）当施工队施工的计划掘进到地下15m时，碰到了岩石，为了节约资金，公司临时改设计，把储存室的深改为15m，相应的，储存室的底面积改为多少才能满足需要。（保留两位小数）？

例1数量关系比较简单，学生根据基本公式很容易写出函数关系式，此题实际上是利用了反比例函数的定义，同时也是要让学生学会分析问题的方法。让学生从实际问题中寻找变量之间的关系．而关键是充分运用反比例函数分析实际情况，建立函数模型，并且利用函数的性质解决实际问题．

分析：（1）问首先要弄清此题中各数量间的关系，容积为104，底面积是S，深度为d，满足基本公式：圆柱的体积

＝底面积×高，由题意知S是函数，d是自变量，改写后所得的函数关系式是反比例函数的形式，（2）问实际上是已知函数S的值，求自变量d的取值，（3）则是与（2）相反。

先由学生独立思考，然后小组内合作交流，教师和学生最后合作完成。

课型

新授

www.czsx.com.cn 解：（1）根据圆柱的体积公式，有S·d＝104．

104

变形得

S＝

．

d

所以储存室的底面积S是其深度d的反比例函数．

104（2）把S=500代入S＝

，得

d104

500＝

d

解得

d=20

即施工队施工时应该向下挖进20米．

104（3）根据题意，把d＝15代入S＝

，得

d104

S＝

≈666.67．

15

当储存室的探为15m时，储存室的底面积应改为666.67m2才能满足需要．

当我们把这个“煤气公司修建地下煤气储存室”的问题转化成反比例函数的数学模型时，后面的问题就变成了已知函数值求相应自变量的值或已知自变量的值求相应的函数值，借助于方程，问题变得迎刃而解二：应用举例

【例2】码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物，把轮船装载宪毕恰好用了8天时间．

(1)轮船到达目的地后开始卸货，卸货速度v(单位：吨／天)与卸货时间t之间有怎样的函数关系?

(2)由于遇到紧急情况，船上的货物必须在不超过5日内卸载完毕，那么平均每天至少要卸多少吨货物? 学生先独立思考，然后小组交流合作．教师应鼓励学生运用数形结合，用多种方法来思考问题，充分利用好方程，不等式，函数三者之间的关系

例2是一道利用反比例函数的定义和性质来解决的实际问题，此题的实际背景较例1稍复杂些，目的是为了提高学生将实际问题抽象成数学问题的能力，掌握用函数观点去分析和解决问题的思路。

引导学生分析：此题类似应用题中的“工程问题”，关系式为工作总量＝工作速度×工作时间，由于题目中货物总量是不变的，两个变量分别是速度v和时间t，因此具有反比关系，（2）问涉及了反比例函数的增减性，即当自变量t取最大值时，函数值v取最小值是多少？

www.czsx.com.cn 从题设中，不难发现：v和t之间的函数关系，实际上是卸货速度与卸货时间之间的关系．根据卸货速度＝货物的总量÷卸货时间，就可得到v和t的函数关系．但货物的总量题中并未直接告诉，如何求得．

让学生回答：题中告诉了我们码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物，把轮船装载完毕恰好用了8天时间，根据装货速度×装货时间＝货物的总量，可以求出轮船装载货物的总量，即货物的总量为30×8＝240吨．

下面同学们来自己完成．

解：

三：课堂练习：

1、

课本练习1 两位学生板演，其余学生在练习本上完成，教师可巡视学生完成情况，对“学困生”要提供一定的帮助

解：(1)根据圆锥体的体积公式，我们可以设漏斗口的面积为Scm，，漏斗的深为dcm，则容积为1升＝l立方分米＝1000立方厘米．

13000

所以，S·d＝1000，

S＝

．

3d3000

(2)根据题意把S＝100cm2代入S＝

,中，得

d3000

100＝

．

d＝30(cm)．

d所以如果漏斗口的面积为100cm2，则漏斗的深为30cm．

2、同步学习

四：课后作业

同步学习

小结：

本节课是用函数的观点处理实际问题，并且是蕴含着体积、面积这样的实际问题，而解决这些问题，关键在于分析实际情境，建立函数模型，并进一步明确数学问题，将实际问题置于已有的知识背景之中，用数学知识重新解释这是什么?可以是什么?逐步形成考察实际问题的能力，在解决问题时，应充分利用函数的图象，渗透数形结合的思想

课题

26.2 实际问题与反比例函数（二）

课型

新授

www.czsx.com.cn 1、学会把实际问题转化为数学问题，进一步理解反比例函数关系式的构造，掌握用反比例函教学

目标

数的方法解决实际问题．

2、感受实际问题的探索方法，培养化归的数学思想和分析问题的能力

3、体验函数思想在解决实际问题中的应用，养成用数学的良好习惯．

重点

难点

难点

突破

方法

用反比例函数解决实际问题．

构建反比例函数的数学模型．

本节的两个例题与学生的日常生活联系紧密，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用，不但能巩固所学的知识，还能提高学生学习数学的兴趣。本节的教学，要引导学生从已有的生活经验出发，按照上一节所讲的基本思路去分析、解决实际问题，注意体会数形结合及转化的思想方法，要告诉学生充分利用函数图象的直观性，这对分析和解决实际问题很有帮助。

教学过程与师生行为

（一）创设情境，导入新课

公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了著名的“杠杆定律”：若两物体与支点的距离反比于其重量，则杠杆平衡．也可这样描述：阻力×阻力臂＝动力×动力臂．

为此，他留下一句名言：给我一个支点，我可以撬动地球！

（二）合作交流，解读探究

【例3】小伟想用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，•分别是1200N和0.5m．

（1）动力F和动力臂L有怎样的函数关系？当动力臂为1.5m时，•撬动石头至少要多大的力？

（2）若想使动力F不超过第（1）题中所用力的一半，则动力臂至少要加长多少？

【分析】分析：题中已知阻力与阻力臂不变，即阻力与阻力臂的积为定值，由“杠杆定律”知变量动力与动力臂成反比关系，写出函数关系式，得到函数动力F是自变量动力臂l的反比例函数，当l＝1.5时，代入解析式中求F的值；（2）问要利用反比例函数的性质，l越大F越小，先求出当F＝200时，其相应的l值的大小，从而得出结果。

解：

（1）由杠杆定律有

FL=1200×0.5 600，

l600当L=1.5时，

F==400．

1.5得函数解析式

F=（2）由（1）可知

FL=600

www.czsx.com.cn 得函数解析式L=

当F=600

2001×400=200时，

=3（m），

2

∴要加长3-1.5=1.5（m）．

若想用力不超过400牛顿的一半，则动力臂至少要加长1.5米

思考

你能由此题，利用反比例函数知识解释：为什么使用撬棍时，动力臂越长越省力？

【例4】一个用电器的电阻是可调节的，其范围为110～220欧姆，已知电压为220伏，这个用电器的电路图如上图所示。

（1）输出功率P与电阻R有怎样的函数关系？

（2）用电器输出功率的范围多大？

可先由学生独立思考，领会反比例函数在物理学中的综合应用，教师不断地引导学生完成。

2202分析：根据物理公式PR＝U，当电压U一定时，输出功率P是电阻R的反比例函数，则P，R2（2）问中是已知自变量R的取值范围，即110≤R≤220，求函数P的取值范围，根据反比例函数的性质，电阻越大则功率越小，得220≤P≤440

2202解：（1）根据电学知识，当U=220时，有P①

R2202即输出功率P是电阻R的反比例函数，函数式为P=

R（2）从①式可以看出，电阻越大，功率越小。

2202440

把电阻的最小值R=110代入①式，得到输出功率的最大值：P=1102202220；

把电阻的最大值R=220代入①式，则得到输出功率的最小值P=220因此用电器的输出功率在220瓦到440瓦之间。

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结合例4，想一想为什么收音机的音量可以调节，台灯的亮度及风扇的转速可以调节？音量、亮度、及转速随

的减小而增大，随

的增大而减小。

利用反比例函数可以解决实际生活中的很多问题，大大地方便我们的生活。

课堂练习：

1、

课本练习

2、

同步学习

小结．

反比例函数与现实生活联系非常紧密，特别是为讨论物理中的一些量之间的关系打下了良好的基础．用数学模型的解释物理量之间的关系浅显易懂，同时不仅要注意跨学科间的综合，而本学科知识间的整合也尤为重要，例如方程、不等式、函数之间的不可分割的关系．

课后作业

同步学习

教学反思