小结与思考教学设计(第二课时)

课 题

第三章

代数式复习——找规律

1．知识与技能目标：探索规律并用代数式表示规律，体会字母表示数的意义，培养数感与符号意识。 教学目标

2．过程与方法目标：在归纳猜想的过程中，体会数形结合的思想。

3．情感态度与价值观目标：在合作学习及相互交流中，培养学生的团结协作的精神。

教学重点

教学难点

教具准备

教学过程

从几种类别的找规律题中提炼方法，感悟数学模型的价值。

应用探究得到的思想方法解决类似问题。

多媒体课件

教 学 内 容

教师活动内容、方式

学生活动方式

通过数学史小故事，思考数论在数学发展过程中的作用，以及数学家的研究对后来者设计意图

用“毕达哥拉斯学派”对数论的研究创设情境，使学生感受数学是个引人入胜、趣味无穷的科学

学生在解决前5组数字规律的时候都一、情境引入

同学们，在本节课的开始，老师想和大家分享一个数学史的小故事：这是古希腊著名的数学家——毕达哥拉斯，他创建的毕达哥拉斯学派提出了这样一个理论：“万物皆数”、“数是万物的本源”。由此，毕达哥拉斯学派对数进行了深入的研究，提出了：奇数、偶数、素数、平方数、完全数、三角形数、正方形数、五边形数······，的帮助

数究竟有什么样的魅力，让数学家痴迷于此？今天就让我们一起追寻数学家的脚步，探寻那些藏在数字里的秘密。

观察数字变化的特点，表达用代数式表达第

n 个数的规律

二、热身训练

观察下列一组数，说说你发现的规律：

全班齐答前五组，较为轻松，点名学生回答最主要目的是让学生在经历从特殊到一般的过程中体会字母表示数的简明性、一般性

1，2，3，4，5，6，7，···，第

n 个数是

. 后一组数字规律2，4，6，8，10，12，···，第

n 个数是

. 并解释原因

1，3，5，7，9，11，···，第

n 个数是

.

再尝3，5，7，9，11，13，···，第

n 个数是

. 先独立思考，

，

，

，

， ，···，第

n 个数是

.

，

，

，

，

，···，第

n 个数是

. 你能根据你观察到的数的排列规律，说出第n 个数吗？最后一组数有什么样的特点？如何表达它的变化？

试运用学过的知识表达最后一组数的规律

教师活动内容、方式

三、方法探究

通过刚刚的几组数字规律，相信同学们心里一定有自己的想法，那我们再来看看下面几组数字，归纳一些比较实用的方法：

探究1 观察下列一组数，说说你发现的规律：

学生活动方式

表述一般规律并叙述主要方法，对几组较典型的数的变化规律进行设计意图

对学生找规律时常用的几种方法进行归纳

从数的规律过渡到代数式的规律，抓住研究对象，方法其实是共通的，在复习知识点的同时也适当地整合已学知识

将代数式的规律回归数字的规律进行分析，有助于学生原有知识向新知识的迁移

5，9，13，17，21，25，···，第

n 个数是

. 归纳，能用具体数3，9，27，81，243，729，···，第

n 个数是

. 据来验证规律的1，4，9，16，25，36，···，第

n 个数是

. 正确性

这几组的数是如何变化的？后面一个数与前面一个数有怎样的关系？这些数和序号有没有关系？你找出的规律正确吗？能不能试着验证一下？

板书：数：

理解记忆，积累几种常用方法，用自己的语言分析规律

、（

）

···

我们发现在寻找这一类数的规律的过程中，我们经常会比较后一位数与前一位数的大小关系、数字与序号的对应关系等等，因此，这类方法我们可以进行一些汇总。回忆第三章所学内容，对代数式的简单地概括为：作差作除试乘方，抓住方法显规律！

我们除了能够运用字母来表示数组变化的一般规律，我们第三章学习的主角是什么？对了，代数式！那么对于代数式，比方说单项式，我们可以研究它的哪些方面呢？从这两个方面出发，我们一起来看一看，单项式是不是也存在着某些规律？

探究2 观察下列关于

的单项式，探究其规律：

，

，

，

，

，

，···. 按照上述规律，第2018个单项式是（

）. (A)

(B)

(C)

(D)

你能不能试着写出第n个单项式？那么只要使n为2018时便可求出第2018个单项式的系数与次数。请你运用本题分析的方法解决变式练习，注意与本题的区别：

【变式】有一串单项式： ，-

，

，

-

，

，

-

，···，请写出

个单项式

.

这里的系数变化有一些小的变化，你能准确地表达出来吗？请你试一试。

概念有更加深入的理解

系数与次数

正负交替的单项式的系数可以用-1的几次幂来决定它的符号，再表示系数的绝对值的规律。与之前数字规律的区别就在于第一个数或系数的正负情况，

应变化-1的指数实现符号的变化

教师活动内容、方式

板书：式：

·、（

）系数

次数数的规律变化无穷又是有法可循的，我们数学研究的对象除了数字还有什么？图形世界里是不是也有某些规律？让我们继续研究: 探究3.1 如图是一组有规律的图案，它们由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第

个图案中有_____个涂有阴影的小正方形(用含有

的代数式表示). 学生活动方式

····

图形

观察图形，从两个角度表达图形的变化情况：①找到随着图案个数的增加，不变的基本图形；②从涂有阴影的小正方形的个数出发，分析个数的变化情况

设计意图

借助图形的变化培养学生观察与表达能力

学生可以从数字与图形两个角度出发，分析变化情况，渗透数形结合的意识

变式练习无形之中要求学生先找到第

个图案的规律，再求

的值，考察了找规

对于这样的图形，你发现它有什么规律？你还有没有

其他的方法？

按照前一题的方板书：形：基本图形

法分析解决问题，请你运用你发现的方法，继续完成变式练习：

同时注意到题目【变式】如图，用黑白两种颜色的菱形纸片，按黑色之间的区别

纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案.若第

个图案中

有2020个白色纸片，则

的值为（

）

(A) 671

(B) 672

(C) 673

(D) 674

观察图形，尝试从

熟悉的图形入手，律题目的对于简单的图形，我们已经能够从数字与图形两个方面来发现规律了，那么，对于一些较复杂的图形，你能不能准确地找到图形里隐藏着的规律呢？

探究3.2 如图所示的图形都是由同样大小的小圆圈按找到解题方法

分割图形后再找逆推

学生尝试运用之前的方法寻找规律，培养学生动手操作的

能力

一定规律组成的，其中第①个图形中一共有4个小圆圈，小圆圈的个数变第②个图形中一共有10个小圆圈，第③个图形中一共有19个小圆圈，按此规律排列下去，第⑦个图形中的小圆圈有

个. 化情况

教师活动内容、方式

学生活动方式

设计意图

学生思考后回答：

在复杂图三角形、正方形

请你想一想，在这些图形中，有没有你熟悉的图形？分别来看看，在这些我们熟悉的图形里，小圆圈的个数变化情况：以三角形为例，在第一个图形里，第一层有1个小圆圈，第二层有2个小圆圈，在第二个图形里，第三层有3个小圆圈······以此类推，我们可以得到一串连续的正整数的和，其实这些数就是毕达哥拉斯学派研究的“三角形数”。同样的，我们不难发现，正方形里的个数变化也有着平方的关系，这样的数你觉得它们叫什么？对了，正方形数！感兴趣的同学可以课后了解一下。

我们在解决这道题目的时候运用了什么样的方法？

板书：形：割

有了这种思考的方向，你能不能也试着完成变式的问题？

【变式】观察下列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第5个图形有_______个太阳.

在分析题目的过程中，及时学习了解新的概念，并抓住分析问题的主要方法

正方形数

形中找规律，帮助学生发散思维，同时与课题引入时的数学史小故事相呼应，激发学生学习数学的兴趣与好奇心

对图形进行分割，

找到了我们一些

我们熟悉的图形：

把不规则图形转化为规则图形

运用已学得的知识解决类似问题

培养学生合作探究的意识

在小组讨论的过程中，学生思想碰撞出的火花，能够加深他们对题目的研究，以及对方法的提炼

四、合作交流

我们通过对数与形的研究，已经得到了许多解决问题和发现规律的方法，现在请你们运用你发现的方法解决

了解基本要求，独下面的问题，先独立思考2分钟，再按照规则小组讨论。

立思考问题，寻找用大小相等的小正方形按一定规律拼成下列图形，则第

个图形中小正方形有

个. 想一想，你还有没有其他的方法？

尽可能多的方法

小组交流、分享思路与方法，组内达成共识且记录好交流成果

教师活动内容、方式

请每位小组派一位代表向大家展示你们组的研究成果。看来大家对这道题目的研究都很深入，能从多个角学生活动方式

小组代表上台展示解题方法，进行设计意图

培养学生动手及表达的能力

从已学过的知识中联系新的知识，对问题进行再认知，深化理解

布置课堂练习题，及时获得学生对课程掌握情况的反馈

培养学生度进行分析，同时我们还发现了解决图形问题的新方法：点评，共享成果

补！

板书：形：补

五、计算探究

其实我们在第三章还学习了一种特殊的代数式求值问题，你们知道是什么吗？对！就是运算程序，在运算程序里同样也会有一些找规律的问题，火眼金睛的你们能找出来吗？

探究4 如图所示的运算程序中，若开始输人的x值为24，我们发现第1次输出的结果为12，第2次输出的结果为6，···，第2018次输出的结果为

.

回忆运算程序的有关知识，应用运算程序来发现规律：数字的循环问题

学生综合运用本节课的知识完成题目并说明理由

只要你耐心细致地去罗列一下，规律就在你的眼前。

六、拓展延伸

【试一试】对于正数

，规定

，计算：

①

；

；

(

)

；

；

(

)

；

②

··+

+

+

+

+

+

+·

回顾本节课的教学内容，从知识和方法两个层面进行总结，抓住数学结合的思想方法以及图形问题中“割”、“补”、“割

+

+

+···+

+

+

的值. 七、课堂小结

小结：1.

这节课你有什么收获？

2.探究数字与图形规律的过程中你用到了哪些数学方法？领悟到了什么样的数学思想？

+补”等解决策略

养成及时

归纳总结，分享学习心得

总结知识的习惯

授课人：吴顺婷 2018年11月7日