9.3 三角形的角平分线、中线和高优秀公开课教案

《三角形的高、中线与角平分线》学案

秦皇岛市第二中学

张爽

一、内容和内容解析

1．内容

三角形高线、中线及角平分线的概念、几何语言表达及它们的画法．

2．内容解析

本节内容概念较多，有三角形的高、中线、角平分线和重心等有关概念；需要学生动手的频率也较高，要掌握任意三角形的高、中线、角平分线的画法，培养学生动手操作及解决问题的能力；鼓励学生主动参与，体验几何知识在现实生活中的真实性，激发学生热爱生活、勇于探索的思想感情．

理解三角形高、角平分线及中线概念到用几何语言精确表述，这是学生在几何学习上的一个深入．学习了这一课，对于学生增长几何知识，运用几何知识解决生活中的有关问题，起着十分重要的作用．它也是学习三角形的角、边的延续以及三角形全等、相似等后继知识一个准备．

本节的重点是了解三角形的高、中线及角平分线概念的同时还要掌握它们的画法，难点是钝角三角形的高的画法及不同类型的三角形高线的位置关系．

二、目标和目标解析

1．教学目标

（1）理解三角形的高、中线与角平分线等概念．

（2）会用工具画三角形的高、中线与角平分线．

2．

教学目标解析

（1）经历画图实践过程，理解三角形的高、中线与角平分线等概念．

（2）能够熟练用几何语言表达三角形的高、中线与角平分线的性质．

（3）掌握三角形的高、中线与角平分线的画法．

（4）了解三角形的三条高、三条中线与三条角平分线分别相交于一点．

三、教学问题诊断分析

三角形的高线的理解：三角形的高是线段，不是直线，它的一个端点是三角形的顶点，另一个端点在这个顶点的对边或对边所在的直线上．

三角形的中线的理解：三角形的中线也是线段，它是一个顶点和对边中点的连线，它的一个端点是三角形的顶点，另一个端点是这个顶点的对边中点．

三角形的角平分线的理解：

三角形的角平分线也是一条线段，角的顶点是一个

端点，另一个端点在对边上．而角的平分线是一条射线，即就是说三角形的角平分线与通常的角平线有一定的联系又有本质的区别．

四、教学过程设计

1．抛砖引玉，提出问题

先演示画三角形的一条高，再给出问题：

（1）任画一个三角形，你能画出它的三条高吗？

（2）同一个三角形的三条高线有什么位置关系？

（3）不同类型的三角形的三条高线的交点位置有什么差别？

师生活动：先让学生画图实践，教师下位随机点拔，再让会画和不会画的学生相互交流提点，然后带着问题讨论，最后各小组派代表发言，师生共同归纳概念和画法．

【设计意图】这一环节是一个重要的实践活动，需要学生动手实践，动口交流，动脑思考，加深理解高线的概念和掌握画高线的作图能力．

2．从实践上升到理论，形成概念

师生活动：

定义：从三角形的一个顶点出发，向对边引垂线，这个顶点和垂足之间的连线段叫做三角形的高线,简称三角形的高．

三角形的高有三条,特别强调：钝角三角形的高有两条在三角形外部，一条在三角形内部．直角三角形的两直角边就是高线．任何三角形的三条高所在直线交于一点，这点叫三角形的垂心．

归纳：锐角三角形有 条高，它们相交于一点，交点在三角形 ；

直角三角形有 条高

，它们相交于一点，交点在三角形 ；

钝角三

角形有 条高，它们所在直线相交于一点，交点在三角形 ．

注意：三角形的高是线段．

（几何语言）

∵AD是ΔABC上的高， ∴AD⊥BC (∠ADB＝∠ADC＝90)．

逆向：∵AD⊥BC垂足是D，

∴AD是ΔABC的边

BC 上的高．

几何语言表达可在学完三个定义之后统一学习．便于学生比较记忆形成知识结构．

【设计意图】让学生体会由实践到理论的过程，培养学生的归纳总结能力．

补充说明：要养成习惯，画好高线后，随手标明垂直的记号和垂足的字母．

师生活动：结合具体图形，教师引导学生养成良好的作图习惯．

【设计意图】进一步加深学生对几何符号和几何语言的熟悉．

3．类比学习，掌握几何探究的基本方法

用相同的探究方法引导学生学习三角形的中线和角平分线．

师生活动：与高线的探究类似．

4．归纳总结，形成知识结构

师生活动：师生共同完成这个表格．

三角形的重要线段

定义

图形

表示法

三角形的高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段 1．AD是△ABC的BC上的高线．

2．AD⊥BC于D．

3．∠ADB=∠ADC=90°．

三角形的中线：三角形中,连结一个顶点和它对边中点的线段 1．AE是△ABC的边BC上的中线．

2．BE=EC．

三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段 1．AM是△ABC的∠BAC的平分线． 2．∠1=∠2．

【设计意图】通过这一活动的设计，提高学生归纳概括的能力，了解几何语言简洁性．

5．

应用巩固

课本上P5第1、2题 补充练习：

（1）如图，AE是△ABC的中线，EC＝6，DE＝2，则BD的长为(

)．

A．2

B．3 C．4

D．6 解析：因为AE是△ABC的中线，

所以BE＝EC＝6．

又因为DE＝2，

所以BD＝BE－DE＝6－2＝4．

答案：C （2）下列说法正确的是(

)．

①平分三角形内角的射线叫做三角形的角平分线；

②三角形的中线、角平分线都是线段，而高是直线；

③每个三角形都有三条中线、高和角平分线；

④三角形的中线是经过顶点和对边中点的直线．

A．③④ B．③ C．②③ D．①④

解析：任何一个三角形都有三条高、中线和角平分线，并且它们都是线段，不是射线或直线，因此只有③正确，故选B．

答案：B （3）三角形的三条高在(

)．

A．三角形的内部 B．三角形的外部

C．三角形的边上 D．三角形的内部、外部或边上

解析：三角形的三条高交于一点，但有三种情况：当是锐角三角形时，这点在三角形内部；当是直角三角形时，这点在三角形直角顶点上；当是钝角三角形时，这点在三角形外部，所以只有D正确．

答案：D

学生通过解决这样的应用问题，特别是（3）中又要用到分类讨论的思想，学生通过解决问题的过程加深理解不同类型的三角形其高线都是交于一点，但交点位置却不同．

【设计意图】除了考查学生的灵活运用的能力外，逐步培养学生一些基本的数学思想，还能突破难点加深学生对三角形高线位置的理解，一举多得．

6．总结反思

教师和学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题．

（1）三角形的高、中线、角平分线等有关概念及它们的画法． （2）三角形的高、中线、角平分线的几何表达及性质的简单应用．

师生活动：教师引导，学生小结．

【设计意图】学生共同总结，互相取长补短，再一次突出本节课的学习重难点．

7．布置作业

教科书第8页第3，4题．