三角形内角和定理优质课教案设计

《三角形内角和定理》教学设计

单位：卢龙县燕河营镇中学

姓名：盛保和

一、教学内容及内容分析

本节课是冀教版教科书七年级下册第九章第二节内容，是在学***角、同位角、内错角、同旁内角、探索两直线平行的条件及三角形内角和定理的基础上，进一步探索三角形内角和定理的证明。为今后学习多边形内角和、外角和、圆等知识打下良好的基础，具有承上启下的作用。且三角形内角和定理在日常生活中,如机械制造、工程设计、国防等领域具有广泛应用。

二、

教学目标

1、学生由对三角形内角和定理感性认识上升到理性推理证明，掌握三角形内角和定理的证明及简单应用。

2、学生亲历、探索撕纸过程，体会思维实验和符号化的理性运用，在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展合情推理能力，逐步养成逻辑推理能力。

3、经历三角形内角和定理不同种方法的推理证明过程，弘扬个性发展，体验解决问题的成就感，体会数学证明的严谨性和推理意义，感悟逻辑推理的数学价值。

三、教学问题诊断分析

这节内容是在前面学生对“三角形内角和等于180°”这个结论有了一定直观认识的基础上编排的，以往对这个结论也曾进行过简单的说理，这里则以严格的步骤演绎证明，旨在让学生从实践操作转移到理性思维上来，使学生初步掌握证明的要求和格式，促使学生养成严谨的数学思维方法，发展学生的证明素养。另外，三角形内角和定理从数量角度揭示三角形三内角之间的关系，是三角形的一个重要性质，既是今后几何推理的重要依据，又是计算角度的重

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要方法。故确定本节课的重点是：探索证明三角形内角和定理的不同方法，利用三角形内角和定理进行简单的计算或证明。

由于七年级学生受年龄特点的限制，思维往往依赖直观具体的图形。对几何证明，还比较生疏，同时此定理证明又需要添加辅助线，这是学生第一次接触添加辅助线的方法证明问题，掌握得如何直接影响本章乃至初中几何的学习。故确定本节课的难点为在三角形内角和定理的证明过程中如何添加辅助线。

四、教学过程设计

（一）创设情景、提出问题

师：同学们，三角形王国正在召开紧急会议，他们争论的不可开交，大家想知道它们在争论什么吗？

生：带着疑惑回答“想知道”！

师：那大家和老师一起看看它们到底在争论什么？（老师播放幻灯片）

A、我的三角形最大，所以我的内角和最大。

B、不对，我有一个大钝角，所以我的内角和最大。

C、我的三角形小，那我的内角和就小喽……

师：同学们，它们到底在争论什么呀？

生：谁的内角和最大？

师：你能够帮它们解决问题吗？

生：内角和相等都是1800。

师：那今天我们就一起研究三角形内角和。（教师板书）

问题1：我们在小学的时候就知道三角形内角和是1800，你还记得这个结论的探索过程吗? 生：通过度量、拼接的方法。

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学生展示拼接的方法。

师：通过前面的学习我们知道，测量会产生误差，问题解决得并不完美。拼接的方法存在着局限性，这就促使我们去寻找新的研究方向。

【设计意图】学生会提出度量、或拼图的方法，教师引导学生做小学做过的剪纸实验，并带领学生一起撕下三角形的任意两个角，拼在第三个角的顶点处。观察拼图结果，发现三个角拼在一起刚好是一个平角，总结出拼图方法，为下一环节说理证明作好准备，通过学生动手操作，把抽象知识形象化、具体化，把学生直接带入新课的学习，让他们感受到学习的乐趣，增加学习数学的信心。教育学生研究问题要有一个严谨的科学态度。

师：如图,当时我们是把∠A移到了∠1的位置,∠B移到了∠2的位置.如果不实际移动∠A和∠B,那么你还有其它方法以达到同样的效果? ∠A与∠1之间的数量关系是相等，位置关系是内错角，能否根据内错角相等，两直线平行定理？

【设计意图】启发学生添加辅助线，作BC的延长线CD，过点C作BA的平行线。

（二）活用化归，证明定理

师：你能用自己的语言说说这一结论的证明思路吗?你能用比较简洁的语言写出这一证明过程吗?与同伴交流. 已知: ∠A、∠B、∠C 是△ABC的三内角. 求证:∠A+∠B+∠C=180°

证明：延长BC到D，过点C作直线CE∥AB

3 A 1 E B 2 3 1 2 C

D

∴∠B＝∠ECD（两直线平行，同位角相等） ∠ACE=∠A（两直线平行，内错角相等） ∵∠ACE+∠ECD+∠ACB＝180°

∴∠A＋∠B＋∠ACB＝180°（等量代换）

师：同学们写得证明过程很好，在证明过程中，我们添画了射线CE、CD，使处于原三角形中不同位置的三个角，巧妙地拼凑到一起来。为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线。在平面几何里，辅助线通常画成虚线。

我们通过推理的过程，得证了命题：三角形的三个内角的和等于180°是真命题，这时称它为定理。即：三角形内角和定理。

【设计意图】培养学生运用基本事实和定理证明问题，从以前的活动中思考获取解决问题的方法；通过合作学习，培养探究新知的能力，学会与他人交流。

（三）开启智慧，分组探究

师：在证明三角形内角和定理时,小明的想法是把三个角“凑”到A处,他过点A作直线PQ∥BC(如图),他的想法可以吗?

证明:过点A作PQ∥BC,则

B C P A 1 3 2 Q ∠1=∠B(两直线平行,内错角相等), ∠2=∠C(两直线平行,内错角相等

又∵∠1+∠2+∠3=180° (平角的定义), ∴

∠BAC+∠B+∠C=180° (等量代换). 师：小明的想法已经变为现实,由此你受到什么启发?你有新的证法吗? 1、教师组织学生分组讨论：有了上面的知识作为铺垫，我们可以开展探究

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活动了，看哪组最先找到解决办法，找到的方法最多。

2、在学生开展探究的过程中，教师参与其中，对个别感到困难的小组可以进行适当的提示和引导。

3、教师指导学生添加辅助线，给出完整的“三角形内角和定理”的证明。

另一种证法：

证明：过A作AE∥BC，

∴∠B=∠BAE E

A

(两直线平行,内错角相等) ∠EAB+∠BAC+∠C=180°

(两直线平行,同旁内角互补) ∴∠B+∠C+∠BAC=180°

B

添加辅助线有哪哪些思路呢？启发学生归纳如下：

C

三角形内角和的证明实质是利用化归思想将三角形内角和转化为“平角等于180°”或“两直线平行，同旁内角和等于180°

【设计意图】在议一议的基础上引导学生探索新的证法并归纳；再启发学生思考：添加辅助线有哪些思路呢？并归纳。通过一题多解，初步体会思维的多向性，引导学生的个性化发展。让学生体会数学辅助线的桥梁作用，在潜移默化中，渗透初中阶段一个重要数学思想----转化思想，为学好初中数学打下基础。

例题：已知：如图，在△ABC中，∠A=60°，∠C=50°，点D和E分别在AB 和AC 上，且DE∥AB。求∠ADE的度数？

B

A D E

C 5

解：

∵ DE∥BC且∠C= 50°

∴∠AED=∠C= 50°(两直线平行,同位角相等) ∵在△ ADE中∠A=60°

∠A+∠ADE+∠AED=180°(三角形内角和定理) ∴∠ADE= 180°－60°－ 50°＝70°

方法总结：

在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线。在平面几何里，辅助线通常画成虚线。

思路总结：

为了证明三个角的和为1800,转化为一个平角或同旁内角互补,这种转化思想是数学中的常用方法。

（四）课堂达标检测

1、在△ABC中 ,∠C＝90°,∠A＝65°

，则∠B＝______ 2、在△ABC中 , ∠A + ∠B ＝

∠C , 则∠C＝______ 3、在△ABC中 , ∠A :∠B: ∠C＝1:3:5, 则∠A＝_____ 4、在△ABC中 , ∠A = 60° ,∠B=2∠C,则

△ABC中最大的角＝______ 5、如图：∠1＋

∠2＋

∠3＋

∠4=________

【设计意图】题目的设计由浅入深，在应用中加深对三角形内角和的理解，提高解决问题的能力，并对新知识进行巩固。

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（五）课堂小结

师：通过本节课的学习,你有哪些收获？还有哪些疑惑？

[判断评估] 1、三角形的内角有怎样的关系？

2、三角形内角和定理的证明，如何添加辅助线是关键。辅助线是怎样添加的？为什么这样添加？

3、学会运用定理解决实际问题。

（六）布置作业

1、练习 1题，习题9.2 1题. 2、反思：补充完善自己的数学学习笔记，记录自己的点滴进步

【设计意图】

1、作业1，巩固知识并及时反馈教学信息。

2、让学生学会学习，进行自我检查、评价。

五、板书设计：三角形内角和定理的证明

一、提出问题：

三角形的三个内角和等于180°。 二、分析命题：

证明三角内角和定理，关键是添加辅助线：1、构造平角 2、构造同旁内角。

三、练习：随堂练习。 【设计意图】有利于学生对本课知识的系统认识。

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