二次函数求实际问题中的最值教学设计及教案分析

二次函数周长最小问题教学设计 课题名称

知识点描述

预备知识

适用对象

设计思路

一、正文讲解

二次函数中周长最小问题

如何利用二次函数的性质解决周长最小问题

听本课之前需了解的知识：二次函数的解析式求法及性质

、将军饮马问题、

九年级学生

从将军饮马问题到利用二次函数性质解决三角形周长最小和四边形周长最小

教学过程

内

容

本节课重点讲解：二次函数中周长最小问题

引例：

1、二次函数周长最小问题的实质是利用

(

两点之间线段最短

)

2、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地，但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

解：作B点与河面的对称点B′，连接AB′，可得到马喝水的地方C，

如图所示，

由对称的性质可知AB′=AC+BC，

根据两点之间线段最短的性质可知，C点即为所求．

分析：根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．本题考查的是最短路线问题，解答此题的关键是熟知两点之间线段最短．

利用

基本

知识

来解

决实

际问

题

二、拓展提升：

2yxbxc经过点A（-1,0）与点B(3，0),3、如图，已知抛物线与y轴交于点C. （1）求该抛物线的解析式；

（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，说明理由. y

【分析】（1）抛物线y=x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（﹣1，0），B（3，0），求得b，c值；（2）由AC长为定值，要使△QAC的周长最小，只需QA+QC最小．又能求得由几何知识可知，Q是直线BC与对称轴x=1的交点，再求得BC的直线，从而求得点Q的坐标．

（1）∵抛物线y=x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（﹣1，0），B（3，0），

CxAOB∴，

解之，得，

∴所求抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣3；

（2）在抛物线y=x2﹣2x﹣3的对称轴上存在点Q，使得△QAC的周长最小．

∵AC长为定值，

∴要使△QAC的周长最小，只需QA+QC最小．

∵点A关于对称轴x=1的对称点是B（3，0），

∴由几何知识可知，Q是直线BC与对称轴x=1的交点，

抛物线y=x2﹣2x﹣3与y轴交点C的坐标为（0，﹣3），设直线BC的解析式为y=kx﹣3．

∵直线BC过点B（3，0），

∴3k﹣3=0，

∴k=1．

∴直线BC的解析式为y=x﹣3，

∴当x=1时，y=﹣2．

∴点Q的坐标为（1，﹣2）．

4、已知点A（3，4），点B为直线x=-1上的动点，设B（-1，y）．

（1）如图1，若点C（x，0）且-1＜x＜3，BC⊥AC，求y与x之间的函数关系式；

（2）在（1）的条件下，y是否有最大值？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由；

（3）如图2，当点B的坐标为（-1，1）时，在x轴上另取两点E，F，且EF=1．线段EF在x轴上平移，线段EF平移至何处时，四边形ABEF的周长最小？求出此时点E的坐标．

【分析】（1）过点A作AE⊥x轴于点E，先证明△BCD∽△CAE，再根据相似三角形对应边成比例即可求出y与x之间的函数关系式；

（2）先运用配方法将y=﹣x2+x+写成顶点式，再根据自变量x的取值范围即可求解；

（3）欲使四边形ABEF的周长最小，由于线段AB与EF是定长，所以只需BE+AF最小．为此，先确定点E、F的位置：过点A作x轴的平行线，并且在这条平行线上截取线段AA′，使AA′=1，作点B关于x轴的对称点B′，连接A′B′，交x轴于点E，在x轴上截取线段EF=1，则点E、F的位置确定．再根据待定系数法求出直线A′B′的解析式，然后令y=0，即可求出点E的横坐标，进而得出点E的坐标．

【解答】解：（1）如图1，过点A作AE⊥x轴于点E．

在△BCD与△CAE中，

∵∠BCD=∠CAE=90°﹣∠ACE，∠BDC=∠CEA=90°，

∴△BCD∽△CAE，

∴BD：CE=CD：AE，

∵A（3，4），B（﹣1，y），C（x，0）且﹣1＜x＜3，

∴y：（3﹣x）=（x+1）：4，

∴y=﹣x2+x+（﹣1＜x＜3）；

（2）y有最大值．理由如下：

∵y=﹣x2+x+=﹣（x2﹣2x）+=﹣（x﹣1）2+1，

又∵﹣1＜x＜3，

∴当x=1时，y有最大值1；

（3）如图2，过点A作x轴的平行线，并且在这条平行线上截取线段

AA′，使AA′=1，作点B关于x轴的对称点B′，连接A′B′，交x轴于点E，在x轴上截取线段EF=1，则此时四边形ABEF的周长最小．

∵A（3，4），∴A′（2，4），

∵B（﹣1，1），∴B′（﹣1，﹣1）．

设直线A′B′的解析式为y=kx+b，

则，

解得．

∴直线A′B′的解析式为y=x+，

当y=0时，x+=0，解得x=﹣．

故线段EF平移至如图2所示位置时，四边形ABEF的周长最小，此时点E的坐标为（﹣，0）．

总结基本解题方法：利用两点之间线段最短求周长最小值

1）首先判断图形中哪些边是定值，哪些边是变量

三、结尾方法

2）利用二次函数轴对称性及两点之间线段最短找到两条变化的边，

并求其和的最小值

3）周长最小值即为两条变化的边的和最小值加上不变的边长

自我教学反思

一节微课时间很短，要想能够全部灵活掌握此典型题型还需要不断的强化训练。

二次函数周长最小问题教学设计

遵化市第二中学

孙小娜