小结第二课时教案

第三章

不等式

学习目标

1.整合知识结构，进一步巩固、深化所学知识.2.能熟练利用不等式的性质比较大小、变形不等式、证明不等式.3.体会“三个二次”之间的内在联系在解决问题中的作用.4.能熟练地运用图解法解决线性规划问题.5.会用基本不等式求解函数最值．

知识点一

“三个二次”之间的关系

所谓三个二次，指的是①二次函数图象及与x轴的交点；②相应的一元二次方程的实根；③一元二次不等式的解集端点．

解决其中任何一个“二次”问题，要善于联想其余两个，并灵活转化．

知识点二

规划问题

1．规划问题的求解步骤．

(1)把问题要求转化为约束条件；

(2)根据约束条件作出可行域；

(3)对目标函数变形并解释其几何意义；

(4)移动目标函数寻找最优解；

(5)解相关方程组求出最优解．

2．关注非线性：

(1)确定非线性约束条件表示的平面区域．可类比线性约束条件，以曲线定界，以特殊点定域．

(2)常见的非线性目标函数有①线的斜率；②的距离．

知识点三

基本不等式

利用基本不等式证明不等式和求最值的区别．

利用基本不等式证明不等式，只需关注不等式成立的条件．

利用基本不等式求最值，需要同时关注三个限制条件：一正；二定；三相等．

y－b，其几何意义为可行域上任一点(x，y)与定点(a，b)连x－a2x－a2＋y－b，其几何意义为可行域上任一点(x，y)与定点(a，b)

类型一

“三个二次”之间的关系

例1 设不等式x－2ax＋a＋2≤0的解集为M，如果M⊆[1,4]，求实数a的取值范围．

解

M⊆[1,4]有两种情况：

1 2

其一是M＝∅，此时Δ<0；其二是M≠∅，此时Δ＝0或Δ>0，下面分三种情况计算a的取值范围．

设f(x)＝x－2ax＋a＋2，

对方程x－2ax＋a＋2＝0，

有Δ＝(－2a)－4(a＋2)＝4(a－a－2)，

①当Δ<0时，－1

②当Δ＝0时，a＝－1或a＝2. 当a＝－1时，M＝{－1}[1,4]，不满足题意；

当a＝2时，M＝{2}⊆[1,4]，满足题意．

③当Δ>0时，a<－1或a>2. 设方程f(x)＝0的两根为x1，x2，且x1

那么M＝[x1，x2]，M⊆[1,4]⇔1≤x1

2222⇔f且f1＜a＜4且Δ>0，a≤18，，7即

1＜a＜4，a＜－1或a>2，a≤3，

，

18解得2

718综上可知，当M⊆[1,4]时，a的取值范围是(－1，]．

7反思与感悟

(1)三个二次之间要选择一个运算简单的方向进行转化，如1≤x10

则可化归为简单的一元一次不等式组．

(2)用不等式组来刻画两根的位置体现了数形结合的思想．

跟踪训练1 若关于x的不等式ax－6x＋a<0的解集是(1，m)，则m＝________. 答案

2 解析

因为ax－6x＋a<0的解集是(1，m)，

所以1，m是方程ax－6x＋a＝0的根，且m>1，

2222226⇒1＋m＝，a1·m＝a

m>1，

m＝2，⇒a＝2.

类型二

规划问题

2

x－4y≤－3，例2 已知变量x，y满足约束条件3x＋5y≤25，x≥1，

求z＝2x＋y的最大值和最小值．

解

如图，阴影部分(含边界)为不等式组所表示的可行域．

设l0：2x＋y＝0，l：2x＋y＝z，则z的几何意义是直线y＝－2x＋z在y轴上的截距，显然，当直线越往上移动，对应在y轴上的截距越大，即z越大；当直线越往下移动，对应在y轴上的截距越小，即z越小．

上下平移直线l0，可得当l0过点A(5,2)时，zmax＝2×5＋2＝12；当l0过点B(1,1)时，zmin＝2×1＋1＝3. 反思与感悟

(1)因为寻找最优解与可行域的外界斜率有关，所以画可行域要尽可能精确；(2)线性目标函数的最值与截距不一定是增函数关系，所以要关注截距越大，z越大还是越小．

跟踪训练2 某人承揽一项业务，需做文字标牌4个，绘画标牌5个．现有两种规格的原料，甲种规格每张3 m，可做文字标牌1个，绘画标牌2个；乙种规格每张2 m，可做文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张才能使得总用料面积最小．

解

设需要甲种原料x张，乙种原料y张，则可做文字标牌(x＋2y)个，绘画标牌(2x＋y)个，

22x＋2y≥4，由题意可得x≥0，y≥0，x，y∈N.2x＋y≥5，

所用原料的总面积为z＝3x＋2y，

作出可行域如图阴影部分(含边界)所示．

3

在一组平行直线3x＋2y＝z中，

经过可行域内的点A时，z取得最小值，

直线2x＋y＝5和直线x＋2y＝4的交点为A(2,1)，

即最优解为(2,1)．

所以使用甲种规格原料2张，乙种规格原料1张，可使总的用料面积最小．

类型三

利用基本不等式求最值

命题角度1 无附加条件型

例3 设f(x)＝50x. x2＋1(1)求f(x)在[0，＋∞)上的最大值；

(2)求f(x)在[2，＋∞)上的最大值．

1解

(1)当x>0时，有x＋≥2，

x∴f(x)＝50x50＝≤25.

x2＋11x＋x1当且仅当x＝，即x＝1时等号成立，

x∴f(x)在[0，＋∞)上的最大值是25. 1(2)∵函数y＝x＋在[2，＋∞)上是增函数且恒为正，

x∴f(x)＝50在[2，＋∞)上是减函数，且f(2)＝20. 1x＋x∴f(x)在[2，＋∞)上的最大值为20. 反思与感悟

利用基本不等式求最值要满足“一正、二定、三相等”，缺一不可，可以通过拼凑、换元等手段进行变形．如不能取到最值，可以考虑用函数的单调性求解．

跟踪训练3 求函数y＝1＋x(x＞3)的最小值．

x－34

解

∵y＝11＋x＝＋(x－3)＋3，x＞3，

x－3x－31＞0，

x－3∴x－3＞0，∴y≥2当且仅当1x－3x－＋3＝5. 1＝x－3，

x－3即x＝4时，y有最小值5. 命题角度2 有附加条件的最值问题

例4 函数y＝a1－x(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－1＝0(mn＞0)上，11则＋的最小值为________．

mn答案

4 解析

方法一

y＝a1－x(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A(1,1)，

∵点A在直线mx＋ny－1＝0上，

∴m＋n＝1，

11m＋n1∴＋＝＝≥mnmnmn1m＋n2＝4，

21当且仅当m＝n＝时，取等号．

21111方法二

＋＝(m＋n)(＋) mnmn＝2＋＋≥2＋2 nmmnnm·＝4，

mnm＋n＝1，当且仅当nm＝，mn

1即m＝n＝时取等号．

211∴＋min＝4. mn反思与感悟

当所给附加条件是一个等式时，常见的用法有两个：一个是用这个等式消元，化为角度1的类型；一个是直接利用该等式代入，或构造定值．

12跟踪训练4 设x，y都是正数，且＋＝3，求2x＋y的最小值．

xy12解

∵＋＝3，

xy

5

112∴＋＝1. 3xy112∴2x＋y＝(2x＋y)×1＝(2x＋y)×＋

3xy1y4x1＝4＋＋≥4＋2 xy33448＝＋＝. 333当且仅当＝y4x·

xyy4x，即y＝2x时，取等号．

xy1224又∵＋＝3，∴x＝，y＝. xy338∴2x＋y的最小值为. 3

x＋y≤3，1．设变量x，y满足约束条件x－y≥－1，y≥1，A．12 B．10 C．8 D．2 答案

B

则目标函数z＝4x＋2y的最大值为(

) 解析

画出可行域如图中阴影部分(含边界)所示，目标函数z＝4x＋2y可转化为y＝－2x＋z2，

作出直线y＝－2x并平移，显然当其过点A时，纵截距最大．

2z

x＋y＝3，解方程组y＝1，

得A(2,1)，

所以zmax＝4×2＋2×1＝10.

6

122．若不等式ax＋bx－2>0的解集为{x|－2

) 4A．－18 B．8 C．－13 D．1 答案

C 12解析

∵－2和－是方程ax＋bx－2＝0的两根．

4－2＋∴－1b－＝－，4a12－＝－，4a

a＝－4，∴b＝－9，

∴a＋b＝－13. 123．设a>b>0，则a＋＋ab1的最小值是(

) aa－bA．1 B．2 C．3 D．4 答案

D 12解析

a＋＋＝a(a－b)＋≥2＋2＝4. 当且仅当a(a－b)＝1且ab＝1，

即a＝2，b＝2时取等号．

2

1．不等式的基本性质

不等式的性质是不等式这一章内容的理论基础，是不等式的证明和解不等式的主要依据．因此，要熟练掌握和运用不等式的八条性质．

2．一元二次不等式的求解方法

对于一元二次不等式ax＋bx＋c>0(或≥0，<0，≤0)(其中a≠0)的求解，要联想两个方面的问题：二次函数y＝ax＋bx＋c与x轴的交点；方程ax＋bx＋c＝0的根．按照Δ>0，Δ＝0，Δ<0分三种情况讨论对应的一元二次不等式ax＋bx＋c>0(或≥0，<0，≤0)(a>0)的解集．

3．二元一次不等式表示的平面区域的判定

对于在直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，实数Ax＋By＋C的符号相同，取一个特殊点(x0，y0)，根据实数Ax0＋By0＋C的正负即可判断不等式表示直线哪一侧的平面区域，可简记为“直线定界，特殊点定域”．特别地，当C≠0时，常取原点作为特殊点．

4．求目标函数最优解的方法

7 2222abaa112＝a－ab＋ab＋＋a－baba1

a－b11＋ab＋

a－bab

通过平移目标函数所对应的直线，可以发现取得最优解对应的点往往是可行域的顶点，于是在选择题中关于线性规划的最值问题，可采用求解方程组代入检验的方法求解．

5．运用基本不等式求最值时把握三个条件：①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到．这三个条件缺一不可．

40分钟课时作业

一、选择题

1．若a<0，－1

) A．a>ab>ab C．ab>a>ab 答案

D 解析

∵a<0，－1

∴ab>0，ab<0. ∴ab>a，ab>ab. ∵0<1＋b<1,1－b>1>0，

∴a－ab＝a(1－b)＝a(1＋b)(1－b)<0，

∴a

∴a

) A．a<0或a>2 C．a＝0或a＝2 答案

B 解析

原点和点(1,1)在直线x＋y＝a两侧，将原点(0,0)和点(1,1)代入x＋y－a中，结果异号，即－a(1＋1－a)<0，故0

22222222B．ab>ab>a

D．ab>ab>a

22x－2≤2的解集是(

) x＋3B．{x|x≤－8或x>－3} D．{x|－3

A．{x|x<－8或x>－3} C．{x|－3≤x≤2}

答案

B 解析

原不等式可化为－8或x>－3. x－y＋1≤0，4．若实数x，y满足x>0，x－2－x－8－2≤0，即≤0，即(x＋3)(x＋8)≥0且x≠－3，解得x≤x＋3x＋3

则yx－1的取值范围是(

)

8

A．(－1,1) C．(－∞，－1) 答案

B 解析

可行域如图阴影部分，B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

D．[1，＋∞)

y的几何意义是区域内的点与点(1,0)连线的斜率，易求得x－1yyx－1>1或x－1<－1.

5．如果a∈R，且a2＋a<0，那么a，a2，－a，－a2的大小关系是(

) A．a2>a>－a2>－a B．－a>a2>－a2>a

C．－a>a2>a>－a2 D．a2>－a>a>－a2

答案

B 解析

∵a2＋a<0，

∴a(a＋1)<0，∴－1a>－a>a. 6．已知函数y＝x－4＋9x＋1(x>－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则a＋b等于( A．－3 B．2 C．3 D．8 答案

C 解析

y＝x－4＋9x＋1＝(x＋1)＋9x＋1－5，

因为x>－1，所以x＋1>0，

所以y≥2x＋9x＋1－5＝2×3－5＝1，

当且仅当x＋1＝9x＋1，即x＝2时，等号成立，

此时a＝2，b＝1，

所以a＋b＝3. 二、填空题

7．已知x，y∈(0，＋∞)，且满足x＋y34＝1，则xy的最大值为________．

答案

3

9 )

解析

因为x>0，y>0，＋＝1，

34所以＋≥2 34即

xyxyxy·＝

34xyxy13(当且仅当＝＝，即x＝，y＝2时取等号)，

33422xy3≤1，解得xy≤3，

所以xy的最大值为3. 8．若关于x的方程8x－(m－1)x＋m－7＝0的两根均大于1，则m的取值范围是________．

答案

[25，＋∞)

解析

令f(x)＝8x－(m－1)x＋m－7. ∵方程8x－(m－1)x＋m－7＝0的两根均大于1，

222m－1＞1，∴由二次函数图象得16f＞0m≥25或m≤9，解得m＞17，m∈R，Δ＝m－2－m－，

∴m的取值范围是{m|m≥25}．

9．函数y＝答案

2

42x＋2的最大值是________．

2x＋5解析

设t＝x＋2，从而x＝t－2(t≥0)，

则y＝. 2t＋12t当t＝0时，y＝0；

1当t>0时，y＝≤12t＋2 12＝，

142t·tt12当且仅当2t＝，即t＝时等号成立．

t232即当x＝－时，ymax＝. 24a2b210．已知a>0，b>0且a≠b，则＋与a＋b的大小关系是________________．

ba

10

a2b2答案

＋>a＋b

baa2b2a2b2解析

∵(＋)－(a＋b)＝－b＋－a

babaa2－b2b2－a21122＝＋＝(a－b)(－) babaa－ba－b2a＋b＝(a－b)＝，

abab22又∵a>0，b>0，a≠b，

∴(a－b)>0，a＋b>0，ab>0，

2a2b2a2b2∴(＋)－(a＋b)>0，∴＋>a＋b. baba三、解答题

11．已知a，b，c为不全相等的正数，求证：a＋b＋c>ab＋bc＋ca. 证明

∵a>0，b>0，c>0，

∴a＋b≥2ab>0，b＋c≥2bc>0，c＋a≥2ca>0. ∴2(a＋b＋c)≥2(ab＋bc＋ca)，

即a＋b＋c≥ab＋bc＋ca. 由于a，b，c为不全相等的正实数，故等号不成立．

∴a＋b＋c>ab＋bc＋ca. 12．某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲、乙两种产品所需煤、电力、劳动力、获得利润及每天资源限额(最大供应量)如表所示：

产品消耗量资源

煤(t)

电力(kw· h)

劳动力(个)

利润(万元)

问：每天生产甲、乙两种产品各多少吨时，获得利润总额最大？

解

设此工厂每天应分别生产甲、乙两种产品x吨、y吨，获得利润z万元．

甲产品(每吨) 9

4

3

6

乙产品(每吨) 4

5

10

12

资源限额(每天) 360 200 300

11

4x＋5y≤200，依题意可得约束条件3x＋10y≤300，x≥0，y≥0，作出可行域如图．

9x＋4y≤360，

利润目标函数z＝6x＋12y，

由几何意义知，当直线l：z＝6x＋12y经过可行域上的点M时，z＝6x＋12y取最大值．解3x＋10y＝300，方程组4x＋5y＝200，

得x＝20，y＝24，即M(20,24)．

所以生产甲种产品20吨，乙种产品24吨，才能使此工厂获得最大利润．

13．已知正数a，b，c满足：5c－3a≤b≤4c－a，b≥a＋c，求的最大值．

baccab解

题设条件可转化为＋≤4，ccbac－c≥1，3x＋y≥5，ab记x＝，y＝，则x＋y≤4，ccy－x≥1，3ab＋≥5，

且目标函数为z＝，它表示区域内的点与坐标原点连线的斜率．上述区域表示第一象限内三直线围成的如图所示的三角形及其内部．

yx

12

由方程组3x＋y＝5，x＋y＝4，

得交点坐标为C(172，2)，

此时zmax＝7，即ba的最大值为7.

13