1.3 二项式定理（通用）教案评析

高中数学教案

选修2--3第1章计数原理

课题

§1.3.1二项式定理

二项式定理和二项展开式

第一课时

教学目标

知识与技能：掌握二项式定理和二项展开式的通项公式，并能用它们解决与二项展开式有关的简单问题。

过程与方法：培养归纳猜想，抽象概括，演绎证明等理性思维能力。

情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。

二项式定理和二项展开式的通项公式. 培养归纳猜想，抽象概括，演绎证明等理性思维能力.

教学重点

教学难点

教具准备：与教材内容相关的资料。

教学设想：教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。

教学过程：

学生探究过程： 问题情境

n1.

在n=1,2,3,4时，研究(a+b)的展开式. 1(a+b)= , 2(a+b)= , 3(a+b)= , 4(a+b)= . 猜想(a+b) ｎ＝？

学生活动

3 （a+b）展开式中的每一项都是从（a+b）（a+b）（a+b）的每个括号里各取一个字母的乘积。

一般地，由

ｎ (a+b)=（a+b）（a+b）（a+b）……（a+b）可知，其展开式是从每个括号里各取一个字3n-rr母的一切可能乘积的和。可见，（a+b）的展开式中项都具有ab（r=0，1，2……n）的形式，其系数就是在

（a+b）（a+b）……（a+b）的n个括号中选r个取b的方法种数。

具体地，

………………………………

构建数学

0n1n112n22rnrrnn

ｎCnaCnabCnabCnabCn(a+b) =

b这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做 (a+b)的 ，其中Cnｎ r（r=0,1,2,……,n）叫做 ， 叫做二项展开式的通项，它是展开式的第 项，展开式共有 个项. 数学应用

例1用二项式定理展开：

（1）(a3b)9； （2）(

1 x27)

2x

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例2求（1+2x）的展开式中第4项的二项式系数和系数

例3求（x-71x)的二项展开式中的常数项。

2x

巩固练习：

1.求（2a+3b）6的展开式的第3项. 2.求（3b+2a）6的展开式的第3项. 1(3 x3)n展开式的第r+1项.

3.写出的2x

x274.用二项式定理展开：

1.(a3b)92.()2x

课外作业：第36页

习题1.5

1，

2，3 教学反思：

ｎ (a+b) =

ｎ这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做 (a+b)的 ，其中叫做 ， 叫做二项展开式的通项，Crn（r=0,1,2,……,n）它是展开式的第 项，展开式共有 个项. 掌握二项式定理和二项展开式的通项公式，并能用它们解决与二项展开式有关的简单问题。

培养归纳猜想，抽象概括，演绎证明等理性思维能力。教材的探求过程将归纳推理与演绎推理有机结合起来，是培养学生数学探究能力的极好载体，教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。

2

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课题

§1.3.2二项式定理

解决二项展开式有关的简单问题

第二课时

教学目标

知识与技能：进一步掌握二项式定理和二项展开式的通项公式

过程与方法：能解决二项展开式有关的简单问题

情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。

二项式定理和二项展开式的通项公式。

解决二项展开式有关的简单问题。

教学重点

教学难点

教具准备：与教材内容相关的资料。

教学设想：教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。

教学过程：

学生探究过程：

一．复习：

n(a+b)= （nN）,这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做 (a+b)的 ，其中Crn（r=0,1,2,……,n）叫 n 做 ， 叫做二项展开式的通项，通项是指展开式的第 项，展开式共有 个项. 二．例题

例1选择题

（1）(xa2ax)6的展开式中，第五项是………………………………………（ ）

1520156x2 A. B.3 C. D.

xxxa（2）(3a1a)15的展开式中，不含a的项是第……………………………（ ）项

A.7 B.8 C.9 D.6 9（3）（x-2）的展开式中，第6项的二项式系数是……………………………（ ）

A.4032 B.-4032 C.126 D.-126 （4）若(x111)n的展开式中的第三项系数等于6，则n等于………………（ ）

A.4 B.4或-3 C.12 D.3 53（5）多项式(1-2x)(2+x)含x项的系数是…………………………

………（ ）

A.120 B.-120 C.100 D.-100

3

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例2.求(x-1)-(x-1)+(x-1)-(x-1)+(x-1)的展开式中x的系数.

例3.求二项式(33

例4.二项式(xx

巩固练习：

1. (3x2345212)7的展开式中的有理项.

1n)的展开式中第三项系数比第二项系数大44，求第4项的系数.

4x22)n展开式中第9项是常数项，则n的值是…………………

（ ）

A.13 B.12 C.11 D.10 2.(5375)24的展开式中的整数项是…………………………………（ ）

A.第12项 B. 第13项 C. 第14项 D. 第15项

253. 在(x+3x+2)的展开式中，x的系数为…………………………（ ）

A.160 B.240 C.360 D.800 52474.(1-x)(1+x+x)的展开式中，含x项的系数是 . 5.(|x|12)3

展开式的常数项是 . |x|课外作业：第36页

习题1.5

4，

5，6 教学反思：

二项式定理是指(ab)nn1n22nrranC1bC2bCrb

nananan这样一个展开式的公式.它是(a+b)2=a2+2ab+b2，(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3…等等展开式的Cnnb一般形式，在初等数学中它各章节的联系似乎不太多，而在高等数学中它是许多重要公式的共同基础，根据二项式定理的展开，才求得y=xn的导数公式y′=nxn1，同时lim(1－n1n)=e≈n

4

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2.718281…也正是由二项式定理的展开规律所确定，而e在高等数学中的地位更是举足轻重，概θ率中的正态分布，复变函数中的欧拉公式ei=cosθ+isinθ，微分方程中二阶变系数方程及高阶常系数方程的解由e的指数形式来表达.且直接由e的定义建立的y=lnx的导数公式y=1与积分x公式1n=dxlnx+c是分析学中用的最多的公式之一.而由y=x的各阶导数为基础建立的泰勒公xn(n1)f(x)f(x0)f[x0(xx0)]0式；f(x)=f(x0)+(x－x0)2+…(x－x0)n+(xx0)n1(θ∈1!n!(n1)!(0，1))以及由此建立的幂级数理论，更是广泛深入到高等数学的各个分支中.

怎样使二项式定理的教学生动有趣

正因为二项式定理在初等数学中与其他内容联系较少，所以教材上教法就显得呆板，单调，课本上先给出一个(a+b)4用组合知识来求展开式的系数的例子.然后推广到一般形式，再用数学归纳法证明，因为证明写得很长，上课时的板书几乎占了整个黑板，所以课必然上得累赘，学生必然感到被动.那么多的算式学生看都不及细看，记也感到吃力，又怎能发挥主体作用？

怎样才能使得在这节课上学生获得主动？采用课前预习；自学辅导；还是学生讨论，或读，议、讲，练，或目标教学，还是设置发现情境？看来这些办法遇到真正困难时都会无能为力，因为这些方法都无法改变算式的冗长，证法的呆板，课堂上的新情境与学生的认知结构中的图式不协调的事实. 而MM教育方式即数学方法论的教育方式却能根据习题理论注意到充分利用数学方法与数学技术把所要证明或计算的形式变换得十分简洁，心理学家皮亚杰一再强调“认识起因于主各［］体之间的相互作用”1只有客体的形式与学生主体认知结构中的图式取得某种一致的时候，才能完成认识的主动建构，也就是学生获得真正的理解. ［］MM教育方式遵循“兴趣与能力的同步发展规律”和“教，学，研互相促进的规律”2在教学中追求简易，重视直观，并巧妙地在应用抽象使问题变得十分有趣，学生学得生动主动，充分发挥其课堂上的主体作用.

5

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课题

§1.3.3二项式系数的性质及应用

二项式系数的四个性质

第三课时

教学目标

知识与技能：掌握二项式系数的四个性质。

过程与方法：培养观察发现，抽象概括及分析解决问题的能力。

情感、态度与价值观：要启发学生认真分析书本图1－5－1提供的信息，从特殊到一般，归纳猜想，合情推理得到二项式系数的性质再给出严格的证明。

培养归纳猜想，抽象概括，演绎证明等理性思维能力，二项式定理和展开式的通项公式。

培养观察发现，抽象概括及分析解决问题的能力。

教学重点

教学难点

教具准备：与教材内容相关的资料。

教学设想：教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。

教学过程：

学生探究过程：

一复习

n1.(a+b)的展开式的二项式系数

2.组合数的性质

二、新课：

探索二项式系数的性质

n写出(a+b)的展开式的二项式系数

ｎ＝1时为

1

1 ｎ＝2时为

1

2

1 ｎ＝3时为

1

3

3

1 ｎ＝4时为

1

4

6

4

1 ｎ＝5时为

1

5 10

10

5

1 ｎ＝6时为

1

6 15

20 15

6

1 ………………………………………………………………………

二项式系数的特点：（二项式系数的性质）

（1）对称性 mnm与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，这一性质可直接由公式Cn 得Cn 到．

（2）增减性与最大值 kk1CnCnnk1, kkn1时二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取2得最大值。

因此，当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等，且最大。

6

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（3）各二项式系数的和

012nCnCnCnCn?0n1n112n22rnrrnn(ab)nCnaCnabCnabCnabCnb中令ab1得

012nCnCnCnCn2n. 在例1证明在(ab)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．

10例2、用二项式定理证明：99-1能被1000整除

2n)的展开式中，第4项的二项式系数是倒数第2项的二项式系数的7倍，例3、已知(3xx求展开式中x的一次项．

巩固练习：书本35页， 1， 2， 3， 4， 5 课外作业：第36页

习题1.5

9，

11，12

7

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教学反思：

二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段。

二项式定理概念的引入，我们已经学过(a+b)2=a2+2ab+b2，(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3，那么对一般情况；(a+b)n展开后应有什么规律，这里n∈N，这就是我们这节课“二项式定理”要研究的内容. 选择实验归纳的研究方式，对(a+b)n一般形式的研究与求数列{an}的通项公式有些类似，大家想想，求an时我们用了什么方法，学生：先写出前n项，再观察规律，猜测其表达式，最后用数学归纳法证明，老师：大家说得很正确，现在我们用同样的方式来研究(a+b)4的展开，因(a+b)4=(a+b)3(a+b)，我们可以用(a+b)3展开的结论计算(a+b)4(由学生板演完成，体会计算规律)然后老师把计算过程总结为如下形式：

(a+b)4=(a+b)3(a+b)=(a3+3a2b+3ab2+b3)(a+b)=a4+3a3b2+ab3+3a2b2+3ab3+b4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4. 对计算的化算：对(a+b)n展开式中的项，字母指数的变化规律是十分明显的，大家能说出它们的规律吗？学生：a的指数从n逐次降到0，b的指数从0逐次升到n，老师：大家说的很对，这样一来展开式的项数就是从0到n的(n+1) 项了，但唯独系数规律还是“犹抱琵琶半遮面”使我们难以发现，但我们仍可用an,anan来表示，它这样一来(a+b)n的展开形式就可写成(a+b)n=ana0nn1rnrrnnr的表达形式.为此我a1banabanb现在的问题就是要找anna01n们要采用抽象分析法来化简计算。

8