2.基本不等式优质课一等奖

课题: §3.4基本不等式ab第1课时

ab

2授课类型：新授课

【教学目标】

1．知识与技能：师生共同合作从多个角度推导基本不等式，让学生初步了解用分析法证明基本不等式，培养学生分析问题能力与逻辑思维能力。

感知基本不等式的几何意义，知道定理中取等号的条件是：这两个数相等；能够利用基本不等式解决形如yaxb（a>0,b>0,）的最值问题。

x2．过程与方法：通过问题情境，让学生感觉学习基本不等式的必要性；从而引出基本不等式，要引导学生从数和形两方面深入地探究不等式的证明，达到数与形结合的完美统一。

3．情态与价值：通过定理的证明培养学生的逻辑推理能力，通过定理的应用揭示数学的应用价值．体会数学来源于生活，数学服务于生活．

【教学重点】

应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式ab【教学难点】

利用基本不等式abab的证明过程。

2abb求形如yax（a>0,b>0,）函数的最值。及基本不等式2x的几何解释。

【教学过程】

一.

创设情景，引入新课

这节内容从实际问题情境展开探讨，激发学生对数学的兴趣。

若花10万元购买了一辆家用汽车,如果每年使用的保险等费用0.9万元, x年总维修费为(11x)x万元，则这种汽车使用x年后，x为多少时（整数年）,它的年平均费用最少?

1010二.讲授新课

1．通过对数学大会的有关介绍，探究图形中的不等关系通过面积间存在的数量关系分析，抽象出不等的关系。激发学生的学习热情。

（1）如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？

将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为a2b2。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为ab。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：ab2ab。

当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有2222a2b22ab

1

（2）．得到结论：一般的，如果a,bR,那么a2b22ab(当且仅当ab时取""号)

（3）．思考证明：培养了学生严谨的数学态度

你能给出它的证明吗？

证明：因为

a2b22ab(ab)2

当ab时,(ab)20,当ab时,(ab)20,

所以，(ab)20，即(a2b2)2ab.

2.

得出结论，展示课题内容

利用换元推导基本不等式abab。通过比较，加深学生对结论的感知与理解。等号是2否成立的问题，使学生不断的产生疑问，并通过探究解决问题提高能力。通过证明，不仅培养了学生严谨的数学态度，而且还可以从中学习到作差法，分析法等证明的初步过程，培养一题多解的意识。

（1）

用上述不等式ab2ab.试比较

ab与用作差法证明：

用分析法证明：

22ab的大小，并给以证明

2abab （！）

2只要证 a+b （2）

要证 要证（2），只要证 a+b- 0 （3）

要证（3），只要证 _______0 （4）

2显然，（4）是成立的。当且仅当a=b时，（4）中的等号成立。

（2）理解基本不等式abab的几何意义

2探究：课本第98页的“探究”

从不同侧面理解不等式的实质，培养学生的探究精神。

在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式abab的几何解释吗？

2易得ＣD＝ab. 这个圆的半径为ababab，其中当且仅当点C与，显然，它大于或等于CD，即22ab成立。

2圆心重合，即a＝b时，等号成立. 因此：基本不等式ab

2

（3）深化认识：

在数学中，我们称ab为a、b的算术平均数，称ab为a、b的几何平均数.本节定2理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 三.

应用举例，巩固提高

通过练习让学生熟悉基本不等式，学会简单应用。能解决实际问题，学生从中体会到了学习数学的乐趣和重要性。

1

练习1.已知x0,当x取什么值，x的值最小？最小值是什么？

x

1

练习2.

x0,当x取什么值，x的值最大？最大值是什么？x，求函数

10x1x10练习3. 已知.

解决实际问题的最小值。

四. 归纳小结，反思提高

总结梳理本节课内容使学生形成系统的认识。培养学生养成归纳总结的习惯。

1．知识：

22abab(a0,b0)

ab2ab(a,bR)解决应用2当且仅当ab时等号成立

当且仅当ab时等号成立问题

几何解释

代数证明

（代数法，

分析法等）

2．思想方法：数形结合，转化与化归、数形结合数学思想

【课堂小结与作业】

请大家想一想，这节课你有哪些收获？

3 y(xZ)的最小值？

【板书设计】

3.4 基本不等式

a2b22ab(a,bR)abab(a0,b0)

2当且仅当ab时等号成立当且仅当ab时等号成立

几何解释

代数证明

（代数法，

分析法等）

解决求最值问题及实际生活问题

4

§3.4基本不等式abab

2 （第一课时）

学科 数学

汉沽五中 张先改

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