复习参考题特级教师教学实录

3.4 基本不等式：教学目标

知识与技能

abab

21.创设用代数与几何两方面背景，用数形结合的思想理解基本不等式；

2.尝试让学生从不同角度探索基本不等式的证明过程；

3.从基本不等式的证明过程进一步体会不等式证明的常用思路，即由条件到结论，或由结论到条件

过程与方法

1.采用探究法，按照联想、思考、合作交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式教学；

2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用；

3.将探索过程设计为较典型的具有挑战性的问题，激发学生去积极思考，从而培养他们的数学学习兴趣

情感态度与价值观

1.通过具体问题的解决，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系并需要从理性的角度去思考，鼓励学生用数学观点进行归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学，培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯；

2.学习过程中，通过对问题的探究思考，广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量；

3.通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘、数学的简洁美、数学推理的严谨美，从而激发学生的学习兴趣教学重点

1.创设代数与几何背景，用数形结合的思想理解基本不等式；

2.从不同角度探索基本不等式的证明过程；

3.从基本不等式的证明过程进一步体会不等式证明的常用思路教学难点

1.对基本不等式从不同角度的探索证明；

2.通过基本不等式的证明过程体会分析法的证明思路教具准备

多媒体及课件

教学过程

导入新课

探究：下图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客，你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？

推进新课

同学们能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？如何找？

应该先从此图案中抽象出几何图形

此图案中隐含什么样的几何图形呢？哪位同学能在黑板上画出这个几何图形？

（其中四个直角三角形没有画全等，不形象、直观.此时教师用投影片给出隐含的规范的几何图形）

过程引导

设直角三角形的两直角边的长分别为a、b，那么，四个直角三角形的面积之和与正方形的面积有什么关系呢？

显然正方形的面积大于四个直角三角形的面积之和

同学们能否用数学符号去进行严格的推理证明，从而说明我们刚才直觉思维的合理性？

每个直角三角形的面积为1ab，四个直角三角形的面积之和为2ab.正方形的边长为2

a2b2，所以正方形的面积为a2+b2，则a2+b2≥2ab该如何证明此不等式，即a2+b2≥2ab

采用作差的方法，由a2+b2-2ab=(a-b)2，∵(a-b)2是一个完全平方数，它是非负数，即(a-b)2≥0，

所以可得a2+b2≥2ab合作探究

请同学们再仔细观察一下，等号何时取到

当四个直角三角形的直角顶点重合时，即面积相等时取等号（学生的思维仍建立在感性思维基础之上，教师应及时点拨）

从不等式a2+b2≥2ab的证明过程能否去说明当且仅当(a-b)2=0，即a=b时，取等号

（此处意在强化学生的直觉思维与理性思维要合并使用.就此问题来讲，意在强化学生数形结合思想方法的应用）

板书：

一般地，对于任意实数a、b，我们有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立. 过程引导

这是一个很重要的不等式.对数学中重要的结论，我们应仔细观察、思考，才能挖掘出它的内涵与外延.只有这样，我们用它来解决问题时才能得心应手，也不会出错

（同学们的思维再一次高度集中，似乎能从不等式a2+b2≥2ab中得出什么.此时，教师应及时点拨、指引）

当a＞0,b＞0时，请同学们思考一下，是否可以用a、b代替此不等式中的a、b答：完全可以为什么？

答：因为不等式中的a、b∈R板书：

ababab即ab

(a＞0,b＞0). 22这个不等式就是我们这节课要推导的基本不等式.它很重要，在数学的研究中有很多应用，我们常把ab叫做正数a、b的算术平均数，把ab叫做正数a、b的几何平均数，即两个2

正数的算术平均数不小于它们的几何平均数（此处意在引起学生的重视，从不同的角度去理解）

同学们尝试一下，能否利用不等式及实数的基本性质来推导出这个不等式呢？

要证：abab，①

2只要证a+b≥2ab，②

要证②，只要证：a+b-2ab≥0，③

要证③，只要证：(ab)0,④

显然④是成立的，当且仅当a=b时，④中的等号成立，这样就又一次得到了基本不等式

2（此处以填空的形式,突出体现了分析法证明的关键步骤，意在把思维的时空切实留给学生，让学生在探究的基础上去体会分析法的证明思路，加大了证明基本不等式的探究力度）

合作探究

老师用投影仪给出下列问题

如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DD′，连结AD、BD.你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？

（本节课开展到这里，学生从基本不等式的证明过程中已体会到证明不等式的常用方法，对基本不等式也已经很熟悉，这就具备了探究这个问题的知识与情感基础）

合作探究

同学们能找出图中与a、b有关的线段吗？

可证△ACD ∽△BCD,所以可得CD由射影定理也可得CDab

ab

ab表示半弦长，ab表示半径长2abab2

由半径大于半弦可得当且仅当点C与圆心重合，即当a=b时可取等号，

所以也可得出基本不等式abab

(a＞0,b＞2

课堂小结

本节课我们研究了哪些问题？有什么收获？

我们通过观察分析第24届国际数学家大会的会标得出了不等式a2+b2≥2ab

由a2+b2≥2ab,当a＞0，b＞0时，以a、b分别代替a、b，得到了基本不等式ab(a＞0,b＞0).进而用不等式的性质，由结论到条件，证明了基本不等式在圆这个几何图形中我们也能得到基本不等式布置作业

课本习题

板书设计

基本不等式ab

ab

2ab的证明

2一、实际情景引入得到重要不等式

课时小结

a2＋b2≥2ab

二、定理

若a＞0，b＞0，课后作业

则abab2

证明过程探索：