小结教案（名师）

均值不等式专题复习教学设计

教学过程：

一、复习引入：：

均值不等式以及与之相关的不等式内容

基本形式

其他形式

均值a2b2定若a,bR，则ab

理2及若a,bR，则a2b22ab

（当且仅当ab时取“=”）

重要（当且仅当ab时取“=”）. ab2a2b2变)若a,bR，则(

形22

（当且仅当ab时取“=”）

若a,bR*，则ab2ab

（当且仅当ab时取“=”）

abab

若a,bR，则2（当且仅当ab时取“=”）

*ab若a,bR，则ab

2*2（当且仅当ab时取“=”）

ab若ab0，则2

ba（当且仅当ab时取“=”）

指出：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．

（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”

师：均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有着广泛的应用．

师：均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围，证明不等式、解决实际应用问题方面有着广泛的应用，下面举例说明：

二、应用举例：

1、均值定理在求最值问题中的应用: 例1、（01年.北京春）若实数满足ab2，则3a3b的最小值是 . 分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且3a3b定值，因此考虑利用均值定理求最小值， 解：

3a和3b都是正数，3a3b≥23a3b23ab6

当且仅当3a3b时等号成立，由ab2及3a3b得ab1

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即当ab1时，3a3b的最小值是6．

11xy例2．若x,y是正数，则的最小值是（ ）

2y2x22A．3

2

B．7

22

C．4

D．9

211x1y122xy解：=

xy222y2xyx4y4x1xy12=x22

y2yx4x4y≥1+2+1=4 12x4x22当且仅当xy，即xy时等号成立

24y21故选C。

例3．设0x解：∵0x∴32x0

3，求函数y4x(32x)的最大值。

23

2292x32xy4x(32x)22x(32x)2

22当且仅当2x32x,即x330,时等号成立。

42二．均值定理在比较大小中的应用：

例4．（00年.全国卷）

1ab)，若ab1,Plgalgb,Q(lgalgb),Rlg(则P,Q,R的大小关22系是 . 分析：∵ab1

∴lga0,lgb0

Q1（lgalgb)lgalgbp

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ab1)lgablgabQ

22∴R>Q>P。

2、求最值：

三．均值定理在求变量取值范围中的应用：

Rlg(例5．若正数a,b满足abab3，则ab的取值范围是 . 分析：

因为a,b是正数

abab3333ab

∴a3b381ab

∵ab0∴ab9

当且仅当ab3即时等号成立。

故ab的取值范围是[9，+∞）。

abab（a,bR）点评：①本题考查不等式的应用、不等式的解法及运2算能力；②如何由已知不等式abab3出发求得ab的范围，关键（a,bR）abab（a,bR），这样2将已知条件转换为含ab的不等式，进而解得ab的范围.

三、课堂小结：

1、二元均值不等式具有将“和式”转化为“积式”，和将“积式”转化为“和式”的“放缩功能”. 2、创设应用均值不等式的条件，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧，而拆与凑的成因在于使等号成立. 3、注意均值定理成立的条件：“一正，二定，三取等”.

是寻找到ab与ab之间的关系，由此想到不等式第

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