阅读与思考 九连环教学实录及点评

“等差数列的前n项和”教学设计

成都十二中数学组

郭勇

[教材分析] 数列是高中数学的重要内容之一，是初中数学的许多内容的具体运用，是函数的延伸和拓展----离散型函数，也是进一步学习极限的基础。它有着广泛的实际应用，如银行利息的计算、产品规格的设计、堆放物品的数量计算、人口增长、细胞分裂等，都要用到数列的一些知识。学习数列，要经常观察、分析、归纳、猜想，要正确的运用公式进行运算、处理数据，还要综合运用所学知识解决生活中的一些问题，这些都有助于学生数学能力的提高。因此，数列是培养学生数学能力的良好题材。

本章以两个最基本的数列——等差数列为载体，通过研究等差数列的定义、通项公式、前n项和公式，以及它们在生活中的简单应用，展现研究数列的一般方法。如根据数列的递推公式求通项公式的方法，根据数列的通项公式求数列的前n项和公式的方法等。

本节课是在研究数列的基本知识（通项公式、递推公式、前n项和）、等差数列的概念和通项公式的基础上，研究等比数列的前n项和公式，为进一步研究其应用奠定基础。

[学生分析] 通过对数列的概念、数列的通项公式、数列的递推公式及等差数列的学习，学生能根据递推公式写出数列的前几项，能根据数列的前几项，观察、分析、归纳数列的通项公式，具备一定的分析能力。

通过对数列前n项和的定义及等差数列的概念的学习，并复习小学gaosse算子，学生已掌握推导等差数列前n项和公式的方法，能根据数列的前n项和公式求数列的通项公式，具备一定的运算能力。

通过对等比数列的学习，学生已掌握等比数列的概念及等比数列通项公式的特征。

这些知识和能力，为学生进一步探究等差数列的前n项和公式奠定了坚实的基础。

[设计思想]

建构主义强调，应当把学习者原有的知识经验作为新知识的生长点，引导学习者从原有的知识经验中，生长新的知识经验。教师的角色应该是学生建构知识的忠实支持者、帮助者和引导者、学生学习的高级伙伴或合作者。在建构意义的过程中，教师要善于使学生把当前学习内容尽量与自己已有的知识经验联系起来，并对这种联系加以认真思考。教师应该给学生提供复杂的真实问题，教师不仅必须开发或发现这些问题，而且必须认识到复杂问题有多种答案，激励学生对问题解决的多种观点。教师必须提供学生元认知工具和心理测量工具，培养学生评判性的认知加工策略，以及自己建构知识和理解的心理模式，帮助他们掌握应对各种挑战所需要的知识、技能和策略，养成独立自主和控制自己学习的习惯，让学习者能够成为独立的思考者和独立解决问题者。

“等差数列的前n项和”的传统教学思路是：在解决特殊等差数列1，2，3，…..n的前n项和的基础上，通过抽象、类比，解决一般等差数列的前n项和。这有利于学生接受和理解利用“倒加”求数列前n项和的方法，但却限制了学生的思维活动空间，失去了学生自主探究的机会。

为了学生的发展，促成学生自主、合作、探究的学习方式，本节课直接以核心问题“探究等差数列的前n项和公式”促进学生活动。学生通过把教师设计的数学问题层层展开、亲历亲为，完成对“探究等差数列的前n项和公式”的探索，让学生从中感受到集体的力量，结合自身的努力和缜密的数学思维，体会出数学的严谨，感受数学的乐趣。

在教学设计中采用了“分层递进，转化探究”的方法，首先让学生由数列前n项和的定义Sna1a2

an入手，利用等差数列的定义和性质，整堂课围绕如何“探究等差数1

列的前n项和公式”这一核心问题展开。为突破学生活动推导公式的思路这一难点，我们试图引导学生在小组讨论的基础上实现：①观察Sn与n、d的关系，寻求他们之间的联系，体现建构与生成的教学理念；②通过对Sn与an表达式的观察，寻求Sn与an之间的联系，体现多元性的新课程理念；③通过对特殊的S1、S2、S3表达式的观察寻找其共同特点，总结一般规律证明，实现学生对试验——猜想——验证——证明的归纳思想的了解。

本堂课力求实现学生“自主性学习、探究性学习、合作性学习、体验学习”的综合性学习方式。强调每个学生都要以良好的心态发掘自己的潜在智能，努力联系自身的生活、学习经验，大胆尝试、勤于动手，学会通过“做中学”，通过亲历事实索取反思体悟获得真正属于自己的知识。强调在与同学、与老师、与社会人的交往沟通、合作探究、团结拼搏中，进行资源共享，交流分享，学会用合力提升自己，用合力促进共同发展。强调在自主互动中学会寻找事物整合点进行综合思维，在综合学习活动中实现个性智能建构。

【目标分析】

结果性目标：通过典型的高斯算子案例的探究，了解“倒加”的基本思想、方法及初步

应用．

体验性目标：让学生经历1+2+3+…….+100的数据处理的过程，培养他们对数据的直观

感觉，归纳一般性的a1+a2+……+an的和式的过程；

通过自主探索与小组交流、合作的过程，完成数学语言和符合语言的相互转化，导出等

差数列的前n项和公式。通过探索活动，进一步渗透方程的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想，对学生进行思维的严谨性的训练，培养他们实事求是的科学态度、勇于克服困难的坚强意志、合作意识和团队精神，增强他们对数学学习的自信心和对数学的情感。

通过反思评价，使学生掌握等比数列的前n项和公式，并能运用公式解决简单的实际问题。

[核心问题]:

探索等差数列前n项和公式

[教学媒体]

多媒体

[教学重、难点] 重点：等差数列前n项和公式的推导及意义的理解。

难点：获得推导公式的思路。

2

[教学环节] 教学环节

教师活动

学生活动

设计意图及预设

提出问题：研究等问题差数列的前n项提出

和式

1、巡视、引导、收集学生解决核心问题的方法和问题探索的结果。

解决

2、对较好的探索方案进行展示，积极评价。

用核心问题调动学生的积极性。

1、积极主动地投入到探寻《等差数列的前n项和》公式的活动中。

2、展示小组成果、交流、评价。

1、在观察和的表达式中发现解决问题的方法。

2、让学生在解决问题的过程中进一步认识转化思想、方程思想、分类讨论思想等。

1、知识：等差数列的前n项和公式：设等比数列{an}的公差为d,前n项和为sn.

反思引导

提炼

分组讨论、归纳

2、方法（利用各方法的异同总结）

（1）方法的不同点：各方法命名

（2）方法的相同点：①分类讨论思想，②转化思想

③方程思想④归纳法

1、已知Sn为等差数列an的前n项和，与等差数列对比S10100,S10010，求S110.

相关内容，回到问拓展题的解决过程中，对比反思，领悟提升。

练习

2、已知Sn为等差数列an的前n项和，完善思维，提升巩固。

a49,a96,Sn63，求n；

[板书设计]

等差数列的前n项和

核心问题：探索等差数列的前n项和公式

1、探索公式：

方法一：

方法二：

3 方法三：

2、反思提炼

知识：强调公式及其变形

方法命名

方法：归纳法、分内讨论思想、转化思想、

方程思想

[教学流程]

开始

提出核心问题

展示课件

巡视、引导

探索求和公式

学生展示交流

交流展示探索结果

描述探究方法

学生展示，教师板书

小组讨论归纳

反思提炼

拓展练习

课件展示

布置作业

结束

4

三、教学反思反馈

1.信息搜集

搜集并整理本节课上学生的活动情况，本节课以下几方面完成得较好: (1)问题的提出真实有效。本课问题的产生和提出来源于等差数列前n项求和学习中的问题。情境营造虽然简单，但整个问题的提出自然、真实、针对有效，核心问题设置较为恰当，与体验性目标和结果性目标紧扣一致的。

(2)学生活动相当充分有效。作为一节高二新课，更关注学生的“学”。放手把时间交还给学生，学生先后经历了独立探究、小组合作、全班展示交流三个活动环节。由于学生活动充分所以在全班展示环节，学生的展示有内容，有层次，有高潮。

(3)教师的评价实施较好。整节课教师的评价是比较到位的，尤其在全班展示环节。教师对每一个展示同学都有注意情感的鼓励和回答内容实质的把握，点评点拨有效，追问恰当，语言精练简洁。

(4)反思提升水到渠成。由于学生活动充分，因此在反思提升环节，无论是从知识上还是从思想上的提升都是有根基，有效地避免了空洞、插标签。较好地实现了体验性目标和结果性目标。

(5)题目的设计有根有据，有精心的设置安排。

(6)课堂氛围融洽和谐，学生的学习的情绪集中饱满。整节课师生之间，生生之间的交流明晰、自然、流畅、愉快。

但这节课从核心问题的设置、体验性目标的表述、解决问题活动过程中教师的评价、运用反馈环节这四方面也还有可以调整的地方。

2.反思判断

川大附中校本教研公开课目标达成点检测表

执教教师

基本

年

级

信息

课题名称

核心

问题

结果性

教学

目标

目标

体验性

目标

检测点

检测工具（题）

探索等差数列前n项和公式

等差数列的前n项和

高二

上课时间

2017年5月

9日

第

2节

郭勇

学

科

数学

通过典型的高斯算子案例的探究，了解“倒加”的基本思想、方法及初步应用．

让学生经历1+2+3+…….+100的数据处理的过程，培养他们对数据的直观感觉，归纳一般性的a1+a2+……+an的和式的过程

等差数列的前n项和

1．设数列an是等差数列，且a28，a155，Sn是数列an的前n项和，则

A．S10S11

B．S10S11

C．S9S10

D．S9S10

5

2．在等差数列an中，a5120，则a2a4a6a8 . 3．.已知Sn为等差数列an的前n项和，a125,a416.

⑴当n为何值时，Sn取得最大值；

⑵求a2a4a6a8a20的值；

⑶求数列a的前n项和T.

nn学生人分类等级

分类标准

数

①能正确恰当运用两个等差数列求和公式

②理解等差数列前n项和与二次函数的区A 别，并运用解决问题

③解答过程表达规范，书写工整

④正确求解，答案无误

检测

①能正确运用两个等差数列求和公式

统计

②理解等差数列前n项和与二次函数的区别

（学生总人④正确求解，答案无误

数：45 ①等差数列求和公式运用不够熟练

人）

②了解等差数列前n项和与二次函数的区别C ③解答过程表达不够规范、工整

④答案有误

①等差数列求和公式运用不够熟练

②知道等差数列前n项和与二次函数的区别

D ③解答过程不规范

④答案有误

1 1% 2 6.5% B ③解答过程表达不够规范、工整

5 13% 30 79.5% 所占百分比

6

①从学生的完成情况中可以看到，有79%的学生正确无误且规范完整地运用公式解决有关等差数列前n项和的问题，较好地达成了本节课的结果性目标和体验性目标。还有13%的学生能正确地运用公式解决有关等差数列前n项和的问题，但整个解答过程不够规范，书写也不够工整。因此本节课上完后有92.5%的学生是掌握了有关等差数列前n项和的问题，的确较好地达成了本节课的体验性目标和结果性目标。

②全部学生都能意识到利用“定位、定量”解决问题，但有6.5%的同学掌握还不够扎实。若在上课时在对学生的运用反馈环节的评价更为到位、具体、充分些，学生检测分在课后此检测题的完成情况应该会更好些。因此，在课堂上教师有的放矢的针对性析

评价对学生而言是非常重要和有意义的，应该引起充分的重视。

（可附③从学生的检测题中看到有3位同学在利用“定位、定量”上不够规范，若在上课页）

对表达规范上作更明确的评价，尤其在运用反馈的题目点评是能够更明确地指出，学生应该可以体验和掌握得更充分些。

④所有学生都能使用“定位、定量”解决问题，绝大部分学生都能克服“定位、定量”正确求解出最终答案。但还有1位数学学困生在利用“定位、定量”问题上有些混淆不清。因此，在大班教学的情况下，在学生活动环节，教师在对学困生的辅导，评价方面还应当格外用心和照顾，在课后也应给予相应的辅导和帮助才能最大可能地真正实现一节课的体验性目标和结果性目标。

学生深度体验全班38人，总共有30位学生能正确恰当地作图分析，“定位、定量”熟练掌握，解典型实答过程表达规范，书写工整，正确求解，答案无误。这些学生通过本节课真正较好例

地达成了本节课的体验性目标和结果性目标。

（可附页）

3.反馈调整

基于本节课的核心问题设置较为恰当，因此较好地达成了体验性目标和结果性目标，整节课的完成是比较好的。还有以下有待改进和完善之处。

(1)在学生解决问题的展示环节，教师的评价指向性、引导性还可以更强些，更明确些。再者，对于学生的评价，比如教师的鼓励性评价还可以更为充分些。

(2)运用反馈环节的要求还是拔高了一些。十分钟的活动时间，从课堂完成情况可以看到，只有一大半的学生能够充分体验和完成，还有小部分学生的时间是不够的，运用反馈的时间稍显仓促。

7

四川大学附属中学（成都市第十二中学）

核心问题教学评价表

评价者信息

姓名

郭勇

学科

数学

学校

川大附中

公开课信息

教师

郭勇

学科

数学

时间

2017.11.8

班级及其特征

文科班（C）

课题名称 等差数列的前n项和

核心问题 探索等差数列的前n项和公式 评价指标

评价目标

一级指标

评价结果

二级指标

核心问题

利于活动体验

三级指标

内含学科问题和学生活动方式

问题情景与真实生活密切相关

能引发新知识、新方法的生成

8 7 7 7 7 7 8 8 7 7 7 7 每项指标最高评8分

合计 87 分

具有核心问题教学形态

两类目标正确全面

教学目标

关联体验目标恰当

价值引导恰当

目标价值引导显现

教学环节清晰完整

教学环节

环节内容合理充实

完整合理落实

学生活动时间充分

教学要素

技术促进活动形式内容

相互匹配促进

学科特点突出氛围浓郁

问题目标环节两两匹配

实现活动体验中的学习与发展课堂与现实世界有恰当关联

拓展学习视野

有基于缄默知识的问题解决

有缄默知识运用的追踪剖析

有真实而且完整的实践活动

投入实践活动

能够全身心地浸渍于活动中

具有核心问题教学实质

活动的内容结果均丰富深入

有核心问题的深层意义感受

感受意义关联

有以知识为中心的关联感受

有以个人为中心的关联感受

有实质性反思活动的开展

自觉反思体验

有课堂新因素的追踪利用

有体验的交流与改善重构

乐于自我的表达与认真的倾听

乐于对话分享

乐于合作中成果与思路的分享

有宽容的对话氛围和多向交流

认可体验评价

认同体验评价

参与体验评价

利用体验评价

选择一个表现突出的二级指标，在相应三级指标引导下，以现场学生表现为依据，于本表的第二页写出150字以上的简要评价。

8

核心问题教学实质的简要评价（包括发展性建议）：

本节课可以考虑将核心问题由：合理设计问题，使学生探索等差数列的前n项和公式

的基本步骤：实际问题的解决、归纳并提出问题、类比解决问题、分析疏理方法、应用解决

问题、灵活应用并解决问题。这样更好地凸显了学科之间的关联，以及更明确了学生活动内

容和活动方式。此外，教师评价方面还可以做得更好些。比如，第一个学生展示的时候，结

合之前教师的引导评价自主地完善了力的合成，作为教师完全可以不吝啬地多一

点肯定性，鼓励性评价。

再比如，在学生解决问题的展示环节，如果能有意识地紧扣反思提升中的知

识和方法，进行多一点有效地引导性的评价，那么在反思提升的过程中的整个生

成感会更强一些。

对评价表的修改意见：

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