1.3 二项式定理（通用）优质课教案整理

§1.3.3 二项式定理的应用（教案）

1.3.3 二项式定理的应用（一）

【教学目标】

1．掌握二项式定理及其展开式的通项公式．

2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．

3．会用赋值法解决与二项展开式有关的简单问题4．运用二项式定理的通项求某些特定项。

【重点难点】

重点：二项式定理的通项公式的应用、二项式展开式中各项系数的和、二项式展开式的系数．

难点：二项式系数与二项展开式中项的系数的区别．

【教学过程】

一、知识梳理

（一）复习二项式定理

1n11rnrrnnabnCn0anCnabCnabCnb,nN

这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做（a+b)n的二项展开式，其中rCn(r0,1,2,,n)叫做二项式系数。

注意展开式以下几个特点：

（a+b)n的二项展开式共有n+1项

(1)

项数：n12(2)

二项式系数：都是组合数,依次为C0，C，C，…，Cn

nnn(3)指数的特点：a的指数

由n

0( 降幂)。

b的指数由0

n（升幂）。

a和b的指数和为n。

（二）通项公式

rnrrrnrr二项式定理中的Cnab叫做二项展开式的通项，用Tr1表示。即Tr1Cnab

注意：

（1）Tr1表示二项展开式的第r+1项；

（2）通项公式中的a与b的位置不能换

rnrr（3）要得到Cnab，即在(a+b)n中，有r个因式取b，余下n-r个因式取a。

r（4）二项式系数是Cn，某项的系数包括二项式系数和二项式中a,b系数及常数部分。

二、二项式定理的应用

（一）展开式的应用

1.二项式定理的逆用

（1）12Cn4Cn2Cn

（答案：3）

5432（2）(x1)5(x1)10(x1)10(x1)5(x1)

（答案：x1）

512nnn评析：定理的逆用是全面掌握好定理的一个必不可少的环节，利用逆向思维解题也是数学思想的一个重要组成部分。

2.二项式系数的性质

（1）二项式系数和为CnCnCnCn

（答案：2）

20180413公开课薛怀维

1 012nn

§1.3.3 二项式定理的应用（教案）

（2）奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和等于2n-1, 024即：奇数项二项式系数和CnCnCn

（答案：2n1）

）

135偶数项二项式系数和CnCnCn

（答案：2n13.系数求和

例题1：若（1+2x）7=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7，

求:（i）展开式中各项系数和。（ii）a0+a2+a4+a6的值。

解：利用赋值法，令x=1，得

（1+2）7=a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=37=2187

（1）

令x=-1，

（1-2）7=a0+a1-a2+a3-a4+a5-a6+a7=-1

（2）

（1）+（2），得

2a0+2a2+2a4+2a6=2187-1=2186

即a0+a2+a4+a6=1093

2018(12x)(1)a2018a1a2a3a0a1xa2x2a2016x2018,(xR)，则2222322018的值为______ （答案：—1）

（2）若(3x1n)的展开式中各项系数之和为64，则n值为______

（答案：6）

x（3）（3+2x）3=a0+a1x+a2x2+a3x3，求（a0+a2）2—（a1+a3）2的值。

解：令x=1，得a0+a1+a2+a3=（3+2）3

（1）

令x=-1，得a0-a1+a2-a3=（3-2）3

（2）

（1）×（2），得

（a0+a1+a2+a3）（a0-a1+a2-a3）=（a0+a2）2-（a1-a3）2=（3+2）3（3-2）3=—1

评析：二项展开式abCnaCnan0n1n11rnrrnnbCnabCnb,nN是一个恒等式，a，b可取任意的复数，n为任意的自然数。

由这个恒等式a，b取值的任意性，我们可以令a，b分别取一些不同的值来解决某些问题，这就是我们所说的“赋值法”。

（二）通项公式的应用

例题2：已知在(3x123x)n的展开式中，第6项为常数项

(1)求n；

(2)求含x2的项的系数；

(3)求展开式中所有的有理项．

解：(x3123x)的展开式中第r1项为Tr1C(x)nrn3nr11r(3)r()rCnx22xn2r3

（1）因为第6项为常数项，所以r=5时20180413公开课薛怀维

n2r0，所以n=10 32

§1.3.3 二项式定理的应用（教案）

（2）由（1）得

1rr

(x的展开式中第r1项为Tr1()C10x)223x3110102r3

102r14522得r=2，所以含x2的项的系数为()2C10

324102rZ得r=2或r=5或r=8，所以展开式中所有的有理项分别为

（3）由312245263452x，第6项第3项C10()x，第9项

248256x2由评析：在求展开式中的指定项问题时，一般是利用通项公式，把问题转化为解方程(或方程组)．这里必须注意隐含条件n，r均为非负整数且r≤n. 1x3x展开式中的常数项为（

）C

1、A、-1320

B、1320

C、-220

D、220

121xx展开式中含x3项的二项式系数为（

）D

2、

A、-10

B、10

C、-5

D、5

513x2x的展开式中x8的系数是________(用数字作答).

3、5Tk1C(x)解：二项展开式通项为k535k1kk1572k()()C5x22x，

1k15令7k82，解得k2，

1225()C58x22.

因此的系数为nC(ab)评析：的展开式的二项式系数与该项的系数是两个不同的概念，前者只是指n，它仅是与二k项式的幂的指数n及项数有关的组合数，而与a，b的值无关；而后者是指该项除字母外的部分，即各项的系数不仅与各项的二项式系数有关，而且也与a，b的系数有关．在求二项展开式特定项的系数时要充分注意这个区别。

（三）二项式定理的灵活应用

1.两个二项式乘积的问题

（1）【2017课标1，理6】(1A．15

16x2的系数为（

）

)(1x)展开式中x2

C．30

D．35 B．20 (1解：因为11666)(1x)1(1x)(1x)x2x2，

20180413公开课薛怀维

3

§1.3.3 二项式定理的应用（教案）

116442(1x)Cx15x222662221C6x15x，x2则(1x)展开式中含x的项为展开式中含x的项为x，

2x故前系数为151530，选C. 评析：对于两个二项式乘积的问题，第一个二项式中的每项乘以第二个二项式的每项，分析好x的项共有几项，进行加和.这类问题的易错点主要是未能分析清楚构成这一项的具体情况，尤其是两个二项式展开式中的r不同. （2）【2017课标3，理4】(xy)(2xy)5的展开式中x3y3的系数为（

）

A．80

B．40

C．40

D．80

2解：因为(xy)(2xy)5x(2xy)5y(2xy)5，

r由(2xy)5展开式的通项公式：Tr1C5(2x)5r(y)r得：

当r=3时，当r=2时，(2xy)5展开式中xy的系数为C52(1)40

(2xy)5展开式中xy的系数为C52(1)80

3333323232则x3y3的系数为80—40=40，选C. 2.三项展开问题

（1）【2015高考新课标1，理10】(x2xy)5的展开式中，x5y2的系数为(

)

（A）10

（B）20

（C）30

（D）60

12（2）【2015高考上海，理11】在1x2015的展开式中，x项的系数为 x1111解：因为1x2015(1x)2015(1x)10C10(1x)92015xxx82845.

x，系数为C10所以x2项只能在(1x)10展开式中，即为C10101010，

rnrr评析：主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系数，对“要得到Cnab，即在(a+b)n中，有r个因式取b，余下n-r个因式取a”的拓展应用。

三、课堂小结

（一）二项式定理

1.二项展开式

2.通项公式

（二）二项式定理的应用

20180413公开课薛怀维

4

§1.3.3 二项式定理的应用（教案）

1.二项式定理的逆用

2.二项式系数的性质

3.系数求和（特殊化应用，赋值法）

4.求展开式中的指定项（方程思想的应用，待定系数法）

四、作业：

20180413公开课薛怀维

5

§1.3.3 二项式定理的应用（教案）

备用内容：

1.已知(3xx2)2n的展开式的二项式系数和比(3x1)n

的展开式的二项式系数和大992，

求(2x)的展开式中：(1)二项式系数最大的项；(2)系数的绝对值最大的项．

解：由已知得22n1x2n2n992，所以2n=32，所以n=5 5512n110xx110

（2）(2x)展开式中第r+1项与第r项系数绝对值之比为

x

（1）(2x)=(2x)，二项式系数最大的项为第6项C10(2x)()2C108064

1x555r111(r1)!(10(r1))!11rC10210r，在r{1,2,3,,10}为减函数

r111r2r22r2r!(10r)!C102

由111r11得r，所以系数的绝对值前4项递增，后7项递减，

2r334第4项系数的绝对值为C102715360，第5项系数的绝对值为C102613440，

所以系数的绝对值最大的项为第4项：C10(2x)()15360x

2.整除或余数问题

92（1）求91除以100的余数

371x34解：9192(1009)92

0129192

C9210092C9210091(9)C9210090(9)2C92100(9)91C92(9)92

100K9

而992(101)92

012909192C921092C921091(1)C921090(1)2C92102(1)90C9210(1)91C92(1)92

92100N9201100N1000801

92得91100(KN10)81

所以91除以100 的余数为81 （2）求证：511能被7整除。

519220180413公开课薛怀维

6