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3.4 基本不等式

一、基本不等式：abab

2abab

21、重要不等式：a2＋b2≥2ab(a、b∈R)

当且仅当“a＝b”时“＝”成立。

注意：（1）不等式成立的条件是“a＝b”，如果a、b不相等，则“＝”不成立；（2）不等ab2ab2a2b2a2b2)

③)≥ab

式的变形

：①ab≤

②ab≤(

≥(2222④2(a＋b)≥(a＋b)

222ab＋≥ab

(a、b∈R)

当且仅当“a＝b”时“＝”成立。

2ab注意：（1）内容：a＞0，

b＞0，当且仅当“a＝b”时“＝”成立；（2）其中叫做正22、基本不等式：数a、b的算术平均数，ab叫做正数a、b的几何平均数，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

例1：求证对于任意实数a，b，c，有a＋b＋c≥ab＋bc＋ca，当且仅当a＝b＝c时等号成立。

222222【证明】：∵

a＋b≥2ab

c＋b≥2bc

a＋c≥2ac 222222∴

2(a＋b＋c) ≥2ab＋2bc＋2ac

，∴

a＋b＋c≥ab＋bc＋ca 当且仅当a＝b＝c时等号成立。

222变式练习1：若0＜a＜1，0＜b＜1，且a≠b，则a＋b，2ab，2ab，a2＋b2中最大的一个是（

）

A：a＋b22

B：2ab

C：2ab

D：a＋b

11变式练习2：下列不等式：（1）x＋≥2；（2）｜x＋｜≥2；（3）若0＜a＜1＜b，则xxlogab＋logba≤－2；（4）若0＜a＜1＜b，logab＋logba≥2。其中正确的是_______________。

均值不等式推广：211ab

≤

ab

≤

ab

≤

2a2b2

2

调和平均数

几何平均数

算术平均数

平方平均数

当仅且当“a＝b”时“＝”成立。

1

二、最值定理

已知x、y都是正数。

（1）如果积xy是定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2P，即x＋y≥2xy；

xy2S2)。

（2）如果和x＋y就定值S，那么x＝y时，积xy有最大值，即xy≤(24利用基本不等式必须满足三个条件：“一正”、“二定”、“三取等”。

应用一：求最值

例2：已知函数f(x)＝3x＋12(x≠0)

x1212≥23x＝12 xx（1）当x＞0时，求函数的最值；（2）当x＜0时，求函数的最值；

【解析】：（1）当x＞0时，f(x)＝3x＋当且仅当3x＝12，即x＝2时，“＝”成立。

x121212＝－(－3x＋)≤－23x≤－12，

xxx（2）当x＜0时，－x＞0，f(x)＝3x＋当且仅当－3x＝－12时，即x＝－2时，“＝”成立。

x变式练习：求下列函数的最值

112（1）y＝3x＋

（2）y＝x＋

x2x2应用二：凑项

例3：已知x＜51，求函数f(x)＝4x－2＋的最大值。

44x51不是常数，所以4x5【解析】：解：因4x50，所以首先要“调整”符号，又(4x2)对4x2要进行拆、凑项，

511x,54x0，y4x254x3231

44x554x1，即x1时，上式等号成立，故当x1时，ymax1。

54x1变式练习1：

f(x)＝＋x (x＞3)的最小值为_____________。

x3当且仅当54x

2

例4：当0＜x＜4时，求f(x)＝x(8－2x)的最大值。

【解析】：当

，即x＝2时取等号 当x＝2时，yx(82x)的最大值为8。

变式练习1：设0x【解析】：∵0x3，求函数y4x(32x)的最大值。

23∴32x0

222x32x9∴y4x(32x)22x(32x)2

22当且仅当2x32x,即x330,时等号成立。

42变式练习2：

0x2，求函数f(x)＝x(23x)的最大值。

3x的最值。

x23x1应用三：

分离

例5：若x＞0，求函数f(x) ＝

变式练习1：当x＞0时，则f(x)＝

2x的最大值为________。

x21x27x10变式练习2：已知x＞－1，求函数f(x)＝的最小值。

x1

【解析】：当,即时,y2（x1)

459（当且仅当x＝1时取“＝”号）。

x1变式练习3：若对任意x＞0，

x≤a恒成立，则a的取值范围为___。

2x3x1应用四：整体代换

例6：已知x0,y0，且211，则xy的最小值是______________。

xy

3

变式练习1：已知x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，则

11的最小值为________。

xy变式练习2：已知x0,y0，且

212，则xy的最小值是______________。

xy变式练习3：若函数f(x)＝ax2－2 (a＞0，a≠1)的图象恒过点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0，其中m、n均大于0，则12的最小值为_____________。

mn变式练习4：设x＞0，y＞0且x＋2y－2xy＝0，若x＋2y－m≥0恒成立，则实数m的取值范围是______________。

【解析】：x＋2y－2xy＝0，

1111＋＝1，

则(x＋2y)( ＋)≥4，故m≤4 2yx2yx变式练习5：已知正项等比数列{an}满足a2017＝2a2016＋3a2015，若存在不同的两项ap、am使得apam＝33×a1，则【解析】：

14的最小值是______________。

mp11

6应用四：条件最值

ab例7：若实数满足ab2，则33的最小值是___________。

abab【解析】：

3和3都是ab2正数，33≥23a3b23ab6

ababab当33时等号成立，由ab2及33得ab1即当ab1时，33的最小值是6。

变式练习1：若log4xlog4y2，求11的最小值，并求x，y的值。

xy11xyxy＝＝

16xyxy【解析】：∵log4x＋log4y＝log4(x×y)＝2，∴x×y＝16∴≥

2xy1＝，当且仅当x＝y＝4时“＝”成立。

2164

变式练习2：已知函数f(x)＝4x＋__________。

【解析】：6 a

(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，则a＝x变式练习3：设x＞0，y＞0，z＞0，且x＋y＋z＝1，若则实数m的取值范围是_________________。

【解析】：xy1＋－m≥0恒成立，zxyxyxy111＋－m≥0恒成立，则＋≥m恒成立，则令f(x)＝zzxyxyxy＋zxyxyzxyxy＝＋＝1＋＋≥3，故m≤3。

zzzxyxy应用五：换元

例8：求函数f(x)＝x25x42的最值。

【解析】：f (x) ＝x241x42＝x24＋1x42

[不能用均值不等式：

∵

22x24＋1x42≥2，

当且仅当x24＝1x42，即：x＋4＝1，x＝－1，此时x没有实数解。]

f (x) ＝x241x241t＝x24＋1x24

令x24＝t ( t≥2) ∴

f (t ) ＝

t＋

( t≥2 ) 函数f(t )在2,上单调递增。

∴

当t＝2时，f(t)有最小值5

即25x24＝2，x＝0，f(x)min＝

2变式练习1：求函数f(x)＝的值域。

x29x21变式练习2：求函数f(x)＝2sinx,x(0,)的最小值。

sinx

5

课

后

综

合

练

习

1、设a、b是正实数，以下不等式：（1）ab＞＋b＞4ab－3b；（4）ab＋222ab2；（2）a＞｜a－b｜－b；（3）aab2＞2。恒成立的序号为（

）

ab22222A：（1）（3）；

B：（1）（4）；

C：（2）（3）；

D：（2）（4）

【解析】：D

（1）≥

（2）a＋b＞｜a－b｜（3）a＋3b＋b－4ab＝a＋4b－4ab≥4ab－4ab＝0；

2、若a、b均大于1的正整数，且ab＝100，则lga×lgb的最大值是（

）

A：0

B：1

C：2

D：【解析】：B 3、若x＞0，则x＋5

24的最小值是（

）

xA：2

B：3

C：22

D：4 【解析】：D 4、已知0＜x＜1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为（

）

A：1132

B：

C：

D：

3243ab【解析】：C 5、设a＞0，b＞0若3是3与3的等比中项，则A：8

B：4

C：1

D：【解析】：B 11＋的最小值（

）

ab1

4x22x26、函数f(x)＝(x＞－1)图象的最低点坐标是__________。

x1【解析】：(0，2) 27、若a＞0，b＞0，且x＝1是函数f(x)＝12x―2ax―2b的零点，则ab的最大值为______。

【解析】：9 8、若正数a、b满足ab＝a＋b＋3，求ab的取值范围。

【解析】：ab≥9 y229、已知x＞0，y＞0，且x＋＝1，求x1y的最大值。

22【解析】：

32

4210、已知不等式x－ax＋a－2＞0的解集为(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，其中x1＜0＜x2，则x1＋x2＋22＋的最大值为（

）

x1x26

A：33

B：0

C：2

D：－

22【解析】：∵

x1＜0＜x2，∴

x1×x2＝a－2＜0

∴x1＋x2＋＝a＋2(x1x2)22＋＝x1＋x2＋x1x2x2x12a4＝a－2＋＋4≤0 a2a211、如图，在△ABC中，D为BC的中点，E为AD上任一点，且BE＝BA＋BC，则A1＋1的最小值为_______________。

EBDC【解析】：322

12、若两个正实数x，y满足14y2＋＝1，且不等式x＋＜m－3m有解，则实数m的取x4y值范围是(

) A：(－1，4)

B：(－∞，－1)∪(4，＋∞)

C：(－4，1)

D：(－∞，0)∪(3，＋∞)

y2y142【解析】：选B

∵不等式x＋

13、某工厂拟建一座平面图为矩形，且面积为400平方米的三级污水处理池，如图所示，池外圈造价为每米200元，中间两条隔墙造价为每米250元，池底造价为每平方米80元(池壁的厚度忽略不计，且池无盖).若使水池的总造价最低，那么污水池的长和宽分别为(

) A：40米，10米

B：20米，20米

C：30米，y240米 D：50米，8米

3【解析】选C.设总造价为y元，污水池的长为x米，则宽为米，总造价y=(2x+2·)·200+2×250·+80×400=400(x+)+32000 ≥400×2

+32000=56000(元)，当且仅当x=7 ，

即x=30时等号成立，此时污水池的宽为米.

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