1.3 实习作业教学设计思路

第四专题

三角函数（一）

一、三角函数基本公式

（一）基本公式

1、诱导公式：奇变偶不变，符号看象限. 2、同角三角函数间的关系：sincos1,tan3、两角和差的三角函数公式

22sin,tancot1.

cos)coscossinsin；

②cos()coscossinsin；①cos(

③sin()sincoscossin；

④sin()sincoscossin；

)⑤tan(0tantantantan)；

⑥tan(. 1tantan1tantan点评：1、正、余弦和差公式的变式. sin()sin()sin2sin2；cos()cos()cos2sin2. 20、正切和差公式的变式. )tantantan()；

（1）tantantan()tantantantantan()；

（2）tan()tantantan()等. （3）tantantan(特别地，在三角形ABC中，有：tanAtanBtanCtanAtanBtanC. 30、一些基本结论. sin150cos750626200；

cos15sin75；

44tan150cot75023；

cot150tan75023. 4、二倍角公式 （1）二倍角正弦公式：sin22sincos. （2）二倍角余弦公式：cos2cossin. 注：二倍角的余弦公式的变式.

①cos2cossin12sin2cos1. ②sin22222221cos21cos22；cos.（注：该组公式又称为降幂公式）

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（3）二倍角正切公式：tan22tan. 1tan25、辅助角公式：asinbcos注：辅助角公式下的特例.

（1）sincosa2b2sin()，其中tanb. a2sin(4)；

（2）sin3cos2sin(6)等. 3)；

（3）3sincos2sin(（二）解法注意

1、诱导公式可变形.比如：对任意的角,满足2，则有

sincos,cossin,tancot. 2、变形的诱导公式都不可逆推. 比如：若sincos，则不一定有结论2成立. （三）化简与求值中的基本思想与方法

1、基本方法：直接套公式法；两边平方法；“1”的巧用；解方程组法等. 2、基本思想：化切为弦；化一（指将多个三角函数化为一个三角函数）；降次

；拆分角思

想等. （四）主要知识考点与典型题目选讲

考点1、考查三角函数定义

例1、（2011江西文）已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4,y)是角

终边上一点，且sin方法点拨：

25，则y__________. 答案：8

5高考练习：（2014全国大纲文）已知角的终边经过点(4,3)，则cos（

D

）

A、4334

B、

C、

D、

5555考点2、考查三角函数的化简与求值

方法1、直接运用基本公式求解

例2、（2012山东）若[37,]，sin2，则sin（

）

428A、3437

B、

C、

D、

答案：D 5544方法点拨：由sin23711cos23cos2sin. 8824

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14，则sin2（

）

tan1111A、

B、

C、

D、

5432例3、（2012江西）若tan方法点拨：运用化切为弦思想求解，答案：D. 高考练习：（2014全国新课标Ⅰ理）设(0,（

B

）

A、31sin)，(0,)，且tan，则

22cos2

B、220

C、32

D、22

例4、（2012福建）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数.

①sin13cos17sin13cos17；

②sin15cos15sin15cos15；

③sin18cos12sin18cos12；

④sin2(130)cos2480sin(18)0cos480；

⑤sin2(250)cos2550sin(25)0cos550.

（Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；

（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.

方法点拨：

2例5、（2014江西文）已知函数f(x)(a2cosx)cos(2x)为奇函数，且f()0，

202000202000202004其中aR，(0,). （Ⅰ）求a，的值；

（Ⅱ）若f()42，(,)，求sin()的值.

5232方法点拨：（Ⅰ）因f(x)(a2cosx)cos(2x)为奇函数，

而y1a2cosx为偶函数，所以y2cos(2x)为奇函数. 又(0,)，所以得22. 由f()0(a1)0a1.

4（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)

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1sin4x.

2

因f()2124sinsin. 452553又(,)，所以解得cos.

25所以sin(3)sincos03cossin030433.

100高考练习：1、（06陕西）cos43cos77sin43cos167的值为__________. 2、（06江苏）cot20cos103sin10tan702cos40=___________.

3、（05江西）若sin(240)cos(240)，则tan(600)________. 方法点拨：先按公式展开求出的值，再代入计算即可.答案：23. 4、（2012重庆）设tan，tan是方程x3x20的两个根，则tan()的值为

（

）A、3

B、1

C、1

D、3

答案：A 5、（06全国Ⅱ）若f(sinx)3cos2x,则f(cosx)（

）

A、3cos2x

B、3sin2x

C、3cos2x

D、3sin2x

6、（06安徽）若A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于A2B2C2的三个内角的正弦值，

则（

C

）

A、A1B1C1和A2B2C2都是锐角三角形

B、A1B1C1和A2B2C2都是钝角三角形

C、A1B1C1是钝角三角形，A2B2C2是锐角三角形

D、A1B1C1是锐角三角形，A2B2C2是钝角三角形

7、（03北京）设f(x)是定义在R上的奇函数，且在(1,0)上单调递减．又设、是某

个锐角三角形的两个内角，则下列结论正确的是（

B

）

A、f(sin)f(cos)

B、f(sin)f(cos)

C、f(sin)f(sin)

D、f(cos)f(cos)

8、（05北京）对任意的锐角、，下列不等关系中正确的是（ D ）

A、sin()sinsin

B、sin()coscos

C、cos()sinsin

D、cos()coscos

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200000

方法2、“1”的巧用

例6、（2013全国新课标Ⅱ）设为第二象限角，若tan(4)1isosc_____. ，则n2方法点拨：答案：

10

5高考练习：（09陕西）若3sincos0，则A

、1的值为（ ）

2cossin21052 B、 C、 D、2 答案：A

333方法3、运用解方程组思想求解

例7、（2010新课标）若cos4，是第三象限的角，则51tan1tan2（

）

2A、11

B、

C、2

D、2

答案：A 22高考练习：（2011全国大纲卷）已知(

答案：2,)，sin5，则tan2________. 54. 3例8、（2014江西理）已知函数f(x)sin(x)acos(x2)，其中aR，

(,). 22（Ⅰ）当a2，4时，求f(x)在区间[0,]上的最大值与最小值；

（Ⅱ）若f()0，f()1，求a，的值. 2方法点拨：（Ⅰ）由已知f(x)sin(x4)2cos(x2)2(sinxcosx)2sinx

243,]. 因为x[0,]，所以x[444故f(x)在区间[0,]上的最大值为sin(x). 2，最小值为1. 2（Ⅱ）由f()0及f()1得2cos(12asin)0. 22asinsina1

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因(1,)，所以cos0，故有12asin0sin. 222a解得a1，6. 方法4、结合“辅助角公式”求解

例9、（2013全国新课标Ⅰ）设当x时，函数f(x)sinx2cosx取得最大值，则

cos____________.答案：25

5高考练习：（09重庆）设ABC的三个内角A,B,C，向量m(3sinA,sinB)，

n(cosB,3cosA)，若mn1cos(AB)，则C（

）

A、25

B、

C、

D、

3663方法5、结合“拆分角思想”求解

例10、（2011浙江理）若02，20，cos(4)13，cos()，

3423则cos(2)（

）A、33536

B、

C、

D、

3399方法点拨：答案：C

例11、（2013重庆理）4cos50tan40（

）

A、2

B、方法点拨：答案：C

高考练习：（07四川）已知cos0023

C、3

D、221

2113，cos()，且0.

7142（Ⅰ）求tan2的值；

（Ⅱ）求.

答案：（Ⅰ）83.

（Ⅱ）.

347方法6、结合“两边平方法”求解

例12、（08浙江）若cos2sin5，则tan（

）

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A、11

B、2

C、

D、2

22方法点拨：

例13、（2011重庆理）若sin1cos，(0,)，则22cos2sin()4___________. 方法点拨：答案：

14. 2高考练习：1、设asin28cos28，bsin54cos54，csin78cos78，

则a，b，c的大小关系是（ ）

A、bac

B、bca

C、cba

D、cab

2、（2012辽宁）已知sincos2，(0,)，则tan（

）

A、1

B、00000022

C、

D、1

答案：A 2213，且，则cos2的值是________．

5243、（07浙江理）已知sincos4、（2013浙江理）已知R，sin2cosA、10，则tan2（

）

211

B、2

C、

D、2

答案：C 22考点3、考查解三角不等式

例14、（2011湖北）已知函数f(x)3sinxcosx,xR，若f(x)1，则x的取值范

围为（

）

A、{xk3xk,kZ}

B、{x2kxk3x2k,kZ}

{x|kC、655,kZ}

D、{x|2kx2k,kZ}

666方法点拨：先解一个周期内的不等式范围，再求解.答案：B.

高考练习：（2013湖南理）已知函数f(x)sin(x6)cos(x3)，g(x)2sin2x.

2（Ⅰ）若是第一象限角，且f()33，求g()的值；

5

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（Ⅱ）求使f(x)g(x)成立的x的取值集合.

方法点拨：（Ⅰ）f(x)sin(x6)cos(x3)3sinx.

由f()1333sin，∴g().

555（Ⅱ）{x2kx2k二、三角函数的图象

（一）三角函数的图象

2,kZ}. 3点评：正、余弦函数图象的五点作图法：函数yAsin(x)的图象的五点即：视

“x”为整体，令xt，第一点(t0,0)，第二点(t第四点(t2,A)，第三点(t,0)，

3,A)，第五点(t2,0)，根据上述五点，即可求得相应的x对应的五点. 2（备用）图象的平移结论：将函数ysinx的图象通过怎样的变换，就可以得到函数

ysin(x)(0)的图象？

结论一（先周期后平移）：将函数ysinx的图象先向左（0）或右（0）平移

．．．．．．个单位，再将所得的图象的所有点的横坐标伸长（01）或缩短（1）为原来

的1倍得到.

结论二（先平移后周期）：先将函数ysinx的图象上的所有点的横坐标伸长（01）

．．．．．．或缩短（1）为原来的倍得到，再向左（0）或右（0）平移个单位

1得到.

（二）解法注意

1、在x轴上，“左加右减”是指在x上进行.比如：若x有倍数，则应先提出倍数，再在x上

进行“左加右减”；（在y轴上，“上加下减”是指在等号的右边（即y的另一边）进行.）

2、平移前后两三角函数应同名，并且变换前后，x的系数要确保一致. 3、注意掌握“第一零点平移法”. （三）主要知识考点与典型题目选讲

π考点4、考查给三角函数图象求解析式

-例15、（2013四川理）函数f(x)2sin(x)，（0，

32Oy5π12x-2

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22）的部分图象如图所示，则，的值分别是（

）

A、2,3

B、2,6

C、4,6

D、4,3

答案：A 高考练习：1、（06四川）下列函数中，图像的一部分如右图所示的是（ ）

A、ysin(xC、ycos(4x

)

B、ysin(2x)

663) D、ycos(2x6)

2、（2010重庆）已知函数ysin(x)(0,||A、1,2)的部分图象如图所示，则（ ）

6y

1B、1,C、2,6

6

O 3D、2,6712x

考点5、考查画三角函数的图象

例16、（08山东）函数ylncosx（2x2）的图象是（

）

高考练习：（08江西）函数ytanxsinxtanxsinx在区间(（

）

32,2)内图象大致是

A

B

C

D

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（备用）（2013山东）函数yxcosxsinx的图象大致为（

D

）

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