复习参考题优秀教案案例

不等式微专题教学设计

教材分析：本节选自人教版高中数学必修五3、1不等关系与不等式。此微专题是在学生理解了不等式的概念后，对不等式在解决高中数学中的运用进行的微扩充。

教学目标：1、熟悉基本不等式的前提下，掌握对几种不等式的应用；

2、掌握几种不等式求最值得方法及选择最合适的不等式；

3、通过对基本不等式和不等式微专题的方式，增强学生对知识的探索能力，培养学生逻辑思维。

重点：熟悉几种不等式，并合理选择不等式在解题中的应用。

难点：几种不等式中的灵活变化和不等式条件的结合。

教学过程：问题抛出---求y3x5的最小值. 问题再次抛出---y3x546x的最大值. 解析：或者解析如下：

x50,6x

3x546x23x546x12x56xx526x21,可设x5sin,6xcos,0,2y3x546x变形为y3sin4cos5sin当

2时，y有最大值5.若是了解了柯西不等式：

给定两组实数：a1,a2,则a1b1a2b2an,b1,b2,2bn.an2b12b22bn2anbna12a22即两组数“乘积的平方不大于平方和的乘积”。解析：函数定义域是5,6，3x546x

3242x56x5

所以高中数学中掌握几种不等式对解决问题有促进作用。

一、均值不等式

设a1,a2,Hnan是n个正实数，记：n11a1a21anan调和平均

Gnna1a2an几何平均

aa2An1na12a22算术平均Qnnan2平方平均an

定理：HnGnAnQn,等号成立当且仅当a1a2例题：

已知a,b,c>0,且a+b+c=1,求证：13

11-a1b1c8abc;2a2b2c2解析：1、1-a1b1cbcacab2bc2ac2ab8abc均值不等式a2b2c2abc2、33a2b2c21331a2b2c23平方平均数Qn算术平均数An

二、排序不等式（排序原理）：

设a1a2an,b1b2bn为两组有序实数，则a1b1a2b2a1bj1a2bj2a1bna2bn1当且仅当a1a2anbn同序和；anbjn乱序和，其中j1,j2，jn是1,2，n的任意排列；anb1反序和.反序和乱序和同序和，an或b1b2bn时等号成立。

例题：已知0<<<<,求证：2sincossincossincos解析提示：乱序和>反序和.1sin2sin2sin22

三、切比雪夫不等式

设a1a2a1bna2bn1an,b1b2anb1bn为两组有序实数，则bn1a1a2anb1b2na1b1a2b2anbn反序和两组数的和的积的n分之一同序和.aAbBcC例题：在ABC中，求证：.abc3解析：在ABC中，ABCaAbBcC即1ABCabc3

aAbBcCabc3

四、贝努力不等式

对任意x1,n为正整数，有1x1nx.证明：（数学归纳法）n1当n1,2时，命题成立；2假设当nk时，命题成立，则当nk1时，k1k1x1x1x1kx1x1k1xkx21k1x所以，当nk1时，不等式成立综上所述，原命题成立.n1例题：证明数列1是单调递增的.n

五、糖水不等式

若m是一个正数，且ba0,则aam.bbm135991例题：求证.2461001013599解析：设A=246100246100B=35710111则有A2ABA10010135991即24610010

六、琴生不等式

函数fx是定义在a,b上的函数，对任意x1,x2a,bfx1fx2,称fx为a,b上的凹函数；2xxfxfx2,称fx为a,b上的凸函数.2若都有f12122

1若都有fx1x22推广：若函数

fx对其定义区间上任意n个点x1,x2,fx1fx2nfx1fx2nfxnfxn,xn,恒有xx2xnf1,则fx在定义区间为凸函数；nxx2xnf1,则fx在定义区间为凹函数.n

例题一：（2015陕西高考）设fxlnx,0ab,若pfab,1abqf,rfafb,则p,q,r的大小关系是什么？22

解析：由题意，f111lnablnalnbfafbpr222fafbabfx为凸函数，fqrp.22

ablnab

例题二：2016云师大附中二模在ABC中，证明解析：设函数fx1,xABC9.fx为凹函数，9ABCABCfff3fABC3故，ABC9.

课后作业：1、已知a,b,c0,且abc1,求证：15a115b115c136.112、已知a,b0,求a2b的最小值.b2a3、在ABC中，求sinAsinBsinC的最大值.

板书设计：

不等式微专题

柯西不等式

一、均值不等式 四、贝努力不等式

例题： 例题：

二、排序不等式 五、糖水不等式

例题： 例题：

三、切比雪夫不等式 六、琴生不等式

例题： 例题：

作业：