小结教案1

《基本不等式求最值》教学设计

从化区第六中学 赖彩芬

一、教材分析

（一）本节教材所处的地位和作用 基本不等式又叫均值不等式，选自人教A版（必修5）第3章第4节的内容，

本节内容具有变通灵活性、应用广泛性、条件约束性等特点，所以本节内容是培

养学生应用数学知识，灵活解决数学问题，学数学用数学的好素材；同时本节知

识又渗透了化归等重要数学思想，所以有利于培养学生良好的思维品质．

（二）教材处理 均值不等式是不等式一章中最基础、应用最广泛的灵活因子，式中三个条件“一正、二定、三相等”缺一不可，如果三个条件不直接具备可以人为构造：“不正化正，不定构造，不等转化函数单调性”。本课时围绕“不正化正，不定构造”两大类型设计例题和变式练习，和学生一起探索、研究、归纳，总结出一般性的解题方法和解题规律。

（三）教学目标

知识目标：

（1）会用均值不等式解决简单的最大（小）值问题；

（2）通过具体题目进一步掌握分类讨论思想、转化与化归思想、换元思想、整体思想等重要的数学思想. 能力目标：

（1）学生对问题的探索、研究、归纳，能总结出一般性的解题方法和解规

律，提高学生的抽象概括能力；

（2）通过学生的口头表述和书面表达提高学生的数学表达和数学交流的能

力；

（3）通过例题、变式练习树立学生的化归思想. 德育目标：

通过解决问题，增强学生严谨的治学态度，让学生在体验学习过程中，增强学习数学的自信心.

（四）教学重点、难点

重点：应用均值不等式求函数的最值. 难点：通过配凑、裂项、转化、分离常数等变形手段，创设应用均值不等式的

情境. 二、学情分析

学生已学习了不等关系和不等式的性质，这为本节课的复习小结奠定了必要的知识基础。我所教的两个班都是分层教学B班，学生具有一点的分析能力、观察能力，但数学基础相对比较薄弱，缺乏知识的探究归纳能力。

三、教法分析

（－）教学方法

在均值不等式的应用中采用归纳法；在训练部分，主要采用讲练结合法进行 . （二）教学手段

根据本节知识特点，为突出重点，突破难点，增加教学容量，利用计算机和传统书写辅导教学．

四、教学过程设计

(一）基础回顾

如果 ，那么abab，当且仅当 时取“=”号. 2（1）ab≥

(

,当且仅当

时取“=”号. )

（2）ab≤ (

,当且仅当

时取“=”号. )

可用来求

的最值

（

为定值）

利用基本不等式求最值问题时要抓住 ，三个条件缺一不可.

可用来求

的最值

（

为定值）

【设计意图】

通过复习、整理“均值不等式”变式（1）、（2），让学生在利用“均值不等式”求解最值的过程，要有结构意识和条件意识。

（二）例题讲练 通过例1和变式的学习和练习，让学生在利用“均值不等式”求解最值或范围的过程中，要强调各项必须为正数,若为负数,则添负号变正；当各项性质符号不确定时，要有分类讨论意识；方法二利用绝对值性质代替分类讨论，也是值得向学生介绍的解题手段。通过例2、例3、例4、例5及各例相应变式的学习和练习，让学生在利用“均值不等式”求解最值或范围的过程中，深化“定值”意识，若和或者积不为定值，可通过不定构造：加减项配凑、裂项配凑、分离常数、常值整体代换、消元代换、三角换元等变形手段，创设应用基本不等式的解题环境。应用基本不等式求解最值，方法不唯一，在例题和变式的操作过程中，也体现了一题多解，拓宽了学生的解题思路。各例题的编排本着由

简单到复杂，层层递进的原则，而变式的匹配，解恰又是一个模仿、巩固、提升的过程，具体如下：

例1、

已知函数f(x)4x9(x0).求函数f(x)的值域. x939

12,（当且仅当4x,即x时取等号）x2x解：1x0时，f(x)24x2当x0时，

-x>0,(-4x)+(-9f(x)=-[(-4x)+(-)]12x99)2(4x)()12xx

93（当且仅当4x,即x时取等号）

x2综上可得，函数f(x)的值域为(-,12][12,).

要点归纳：利用基本不等式求最值时,各项必须为正数,若为负数,则添负号变正.

另解点析：

|f(x)||4x993|4|x|12,当且仅当|x|=时等号成立.

x|x|24（x0,且x1）的最值. lgx变式练习1、求函数f(x)3lgx解：

当x1时，lgx0,f(x)32lgx47，

lgx（当且仅当lgx=4时，即x100时取等号.）

lgx当0

（当且仅当-lgx=-44)]32(lgx)()1lgxlgx4时，即x102时取等号.）

lgx综上可得函数的值域为(-,1][7,).

另解点析：

|lgx

44||lgx|4,当且仅当|lgx|=2时“=”成立. lgx|lgx|

例2、

已知x1,求x

1的最小值以及取得最小值时x的值. x1111(x1)12(x1)13.

x1x1x1解：由于x1,x10,x当且仅当(x1)=1时，即x2取等号.

x1所以最小值为3，取得最小值时x的值为2.

要点归纳：通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式. 变式练习2、已知x<51,求y=4x2的最大值. 44x5511解：由于x,5-4x>0.

y=4x-2+=-(5-4x)+3-2+3=1.

44x554x1当且仅当5-4x=,即x1时“=”成立.

54x所以当x=1时y取得最大值为1.

例3 、（1）已知0x2，当x______时，函数yx2(2x2)有最大值_______; （2）a,b是正数且2ab4，求ab的最大值

变式练习3：a,b是正数且a解答过程：（略）

解法1：构造ab=(a)2b4，求ab的最大值

2

要点归纳：通过乘除项的方法配凑成基本不等式的形式. 解法2：消元a=4-b2b代入2

解法3：从和式中直接使用基本不等式

……

2x2x3例4、

求函数（fx）（x0)的最大值，以及此时x的值.x变式练习4：函数yx25x12的最小值为

.

解答过程：（略）

要点归纳：通过裂项的方法配凑成基本不等式的形式.

例5、已知x0,y0，且191，求xy的最小值. xy

错解： 1191962=,xy6,xyxyxyxy2xy12,xy的最小值为12.

要点归纳：

当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能使等号成立，并且要保证取等号的条件的一致性，否则就会出错！

解法1:

x+y=(19y9x)(xy)10xyxy106

16,y9x19当且仅当=时“=”成立,又1，所以x=4,y=12时x+y取得最小值16.

xyxy要点归纳：

整体代换，常值的活用，创造可用成基本不等式的形式.

解法2

由1x99x1得y,又x0,y0,x

1,yx1xyx9x999x9x11061016.当且仅当x1，x1x1x1x1即x=4时“=”号成立. 所以xy的最小值为16. 要点归纳：消元代换，创造可用成基本不等式的形式. 解法3:由题意设1919,ysin2,cos2,（0）即x，所以222sincosxycos29sin2=10+2sincos2219sin2cos29sin29cosxysin2cos2sin2cos2cos29sin21322sincos16,当且仅当时“=”成立，即，时xy取得最44sin2cos2小值16. 要点归纳：三角换元，创造可用成基本不等式的形式. 变式练习5、已知a0,b0,且a2b2,求t

解

t11的最小值. ab2ba1111b2a1时“=”(a2b)()(3）（32）2，当且仅当ab2ab2ab2

成立，又a+2b=2，所以仅当a22-2,b=2-2时t取得最小值322.

2三、课堂小结

利用基本不等式求最大（小）值问题时要抓住“一正、二定、三相等”.“一正”就是要求a,b都为正数；“二定”就是要求和a+b或积ab必须是定值；“三相等”就是看等号能否成立.三个条件缺一不可.

如果三个条件不直接具备可以人为构造，“不正化正，不定构造（通过配凑、裂项、转化等变形手段）”，创设应用基本不等式的解题环境。

四、课后练习

1、

下列函数中最小值为4的是（ C ）

A.yx44(0x)

B.ysinxxsinxC.y4exex

D.ylog3xlogx3(0x1)

2、

若ab2，则33的最小值是（

B

）

abA.18

B.6

C.23

D.243

x26x14(x1)的最小值是

10

. 3、函数yx14、已知x>0,y>0,且x+2y+xy=30,则xy的最大值是

18

. b21,求a1b2的最大值. 5、已知a,b(0,),a22(提示：由ab

五、作业

ab想到….) 21、已知m>0,n>0,m+n=3,求2、求函数y=x+82的最小值；mn1的值域.

x23、已知a、b是正数且2a+3b=6,求ab的最大值