1.不等式的基本性质教案和学案内容

系列一

2019一轮

•

数学

7．4

基本不等式及其应用

1．如果a＞0，b＞0，那么

叫做这两个正数的算术平均数．

2．如果a＞0，b＞0，那么

叫做这两个正数的几何平均数．

3．重要不等式：a，b∈R，则a2＋b2≥ (当且仅当a＝b时取等号)．

4．基本不等式：a＞0，b＞0，则 ，当且仅当a＝b时等号成立，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

5．求最小值：a>0，b>0，当ab为定值时，a＋b，a2＋b2有 ，即a＋b≥ ，a2＋b2≥ .简记为：积定和最小．

6．求最大值：a＞0，b＞0，当a＋b为定值时，ab有最大值，即 ，亦即 ；或a2＋b2为定值时，ab有最大值(a＞0，b＞0)，即 .简记为：和定积最大．

a＋b27．拓展：若a＞0，b＞0时，≤ ≤≤ ，当且仅当a＝b时等号成立．

112＋ab自查自纠

1.a＋ba＋b

2.ab

3.2ab

4.≥ab

225．最小值

2ab

2ab

a2＋b2a＋b2126．ab≤2

ab≤4(a＋b)

ab≤2

a2＋b27.ab

2

4

(教材习题改编)若x＞0，则函数y＝x＋的最小值为(

) xA．2

B．22

C．4

D．42 444解：y＝x＋≥2x·＝4，当且仅当x＝，即x＝2时取等号．故选C.

xxx

已知a，b∈R＋，且a＋b＝1，则ab的最大值为(

) 112A．1

B.

C.

D.

42211解：

因为a，b∈R＋，所以1＝a＋b≥2ab，所以ab≤，当且仅当a＝b＝时等号成立．故选B.

42

(河北省衡水中学2017届第三次调考)若a>0，b>0，lga＋lgb＝lg(a＋b)，则a＋b的最小值为(

) A．8

B．6

C．4

D．2 1111解：由a＞0，b＞0，lga＋lgb＝lg(a＋b)，得lg(ab)＝lg(a＋b)，即ab＝a＋b，则有＋＝1，所以a＋b＝a＋babbaba(a＋b)＝2＋＋≥2＋2·＝4，当且仅当a＝b＝2时等号成立，所以a＋b的最小值为4.故选C.

abab

若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为________．

24解：由xy＝1得x2＋2y2＝x2＋2≥22，当且仅当x＝±2时等号成立．故填22.

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数学

x

(2016·鄂州一模)已知x>0，则2的最大值为________．

x＋4x14441解：因为2＝，又x＞0，所以x＋≥2x×＝4，当且仅当x＝，即x＝2时取等号，所以0<≤4xxx4x＋4x＋x＋xx1x11，即2的最大值为.故填.

444x＋4

类型一

利用基本不等式求最值

xy

(1)(2017·山东)若直线＋＝1(a＞0，b＞0) 过点(1，2)，则2a＋b的最小值为________．

ab12xy12b4ab4a＋＝4＋＋≥4＋2解：＋＝1(a>0，b>0)过点(1，2)，可得＋＝1，所以2a＋b＝(2a＋b)·＝8，ababababab当且仅当a＝2，b＝4时取“＝”．故填8.

a4＋4b4＋1(2)(2017·天津)若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为________．

aba4＋4b4＋14a2b2＋111解：≥＝4ab＋≥24ab·＝4.前一个等号成立条件是a2＝2b2，后一个等号成立的条abababab122件是ab＝，两个等号可以同时取得，则当且仅当a2＝，b2＝时取等号．故填4.

224【点拨】基本不等式的应用在于“定和求积，定积求和”，必要时可以通过变形(拆补)、配凑的技巧，或利用常数代换、构造“和”或者“积”，使之为定值．

11

(1)(湖北荆州市2017届期末)已知x，y∈(0，＋∞)，且满足＋＝1，那么x＋4y的最小值为(

) x2yA．3－2

B．3＋22

C．3＋2

D．42 114yx解：因为x，y为正实数，所以x＋4y＝(x＋4y)(＋)＝3＋＋≥3＋2x2yx2y2＋2即x＝2＋1，y＝时等号成立．故选B.

4

12(2)(2015·湖南)若实数a，b满足＋＝ab，则ab的最小值为(

) abA.2

B．2

C．22

D．4 1212解：由＋＝ab，知a＞0，b＞0，所以ab＝＋≥2 abab2，即ab≥2ab4yx4yx·＝3＋22，当且仅当＝，x2yx2ya＝b，2，当且仅当12a＋b＝12

即aab，44＝2，b＝22时取“＝”，所以ab的最小值为22.故选C.

类型二

利用基本不等式求参数范围

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数学

m31

(2015·宁夏模拟)已知a>0，b>0，若不等式－－≤0恒成立，则m的最大值为(

) 3a＋babA．4

B．16

C．9

D．3 31m313b3a3b3a＋(3a＋b)＝10＋＋恒成立．因为＋≥解：因为a>0，b>0，所以由－－≤0恒成立得m≤ababab3a＋bab3b3a3b3a2·＝6，当且仅当a＝b时等号成立，故10＋＋≥16，所以m≤16，即m的最大值为16.故选B.

abab【点拨】一般地，对含参的不等式求范围问题通常采用分离变量转化为恒成立问题，对于“恒成立”的不等式，一般的解题方法是先分离然后求函数的最值．另外，要记住几个常见的有关不等式的等价命题：(1)a＞f(x)恒成立⇔a＞f(x)max；(2)a＜f(x)恒成立⇔a＜f(x)min；(3)a＞f(x)有解⇔a＞f(x)min；(4)a＜f(x)有解⇔a＜f(x)max.

ab

已知a，b为正实数，且ab＝1，若不等式(x＋y)x＋y>m对任意正实数x，y恒成立，则实数m的取值范围是(

) A．[4，＋∞)

B．(－∞，1] C．(－∞，4]

D．(－∞，4) abaybx＋＝a＋b＋＋≥a＋b＋2≥2ab＋2＝4，当且仅当a＝b，解：因为a，b，x，y为正实数，所以(x＋y)xyxyaybx＝，即a＝b，x＝y时等号成立，故只要m<4即可．故选D.

xy类型三

利用基本不等式解决实际问题

(江门市2017届调研)如图，某农场要修建3个形状、大小相同且平行排列的矩形鱼塘，每个面积为10 000平方米．鱼塘前面要留4米宽的运料通道，其余各边为2米宽的堤埂，问每个鱼塘的长、宽各为多少米时占地面积最少？

解：设每个鱼塘的宽为x米，且x＞0，

10 000则AB＝3x＋8，AD＝＋6，

x10 00080 00080 000＋6＝30 048＋则总面积y＝(3x＋8)＋18x≥30 048＋2·18x＝32 448，当且仅当18x＝xxx80 00020010 000，即x＝时，等号成立，此时＝150.

x3x200即鱼塘的长为150米，宽为米时，占地面积最少为32 448平方米．

3【点拨】建立关于x的函数关系式是解决本题的关键，在运用基本不等式求最小值时，除了“一正，二定，三相等”以外，在最值的求法中，使用基本不等式次数要尽量少，最好是在最后一步使用基本不等式，如果必须使用几次，就需要查看这几次基本不等式等号成立的条件是否有矛盾，有矛盾则应调整解法．

(2016·徐州质检)某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200 m2的十字形区域．现计划在正方形MNPQ上建一花坛，造价为4 200元/m2，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为210元/m2，再在四个空角(图中四个三角形)上铺草坪，造价为80元/m2. 好教育云平台

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数学

(1)设总造价为S元，AD的长为x m，试建立S关于x的函数关系式；

(2)计划至少投入多少元，才能建造这个休闲小区？

解：(1)设DQ的长为y m，则x2＋4xy＝200，

200－x2所以y＝.

4x1S＝4 200x2＋210×4xy＋80×4×y2

2400 000＝38 000＋4 000x2＋(0＜x＜102)．

x2400 000(2)S＝38 000＋4 000x2＋

x2400 000≥38 000＋24 000x2×

x2＝38 000＋216×108＝118 000，

400 000当且仅当4 000x2＝，即x＝10时取“＝”，所以Smin＝118 000(元)．故计划至少要投入11.8万元才能x2建造这个休闲小区．

1．要熟悉基本不等式的变式和推广，这对提高解题能力是有帮助的，常见的基本不等式的变式和推广有：

（a＋b）2a2＋b2a＋b2a2＋b212222①a＋b≥；②ab≤；③ab≤(a＋b)；④≤；⑤(a＋b)2≥4ab；⑥ab≥；2242112＋aba＋b＋c3a3＋b3＋c3⑦≥abc；⑧abc≤等．

33对于以上各式，要明了其成立的条件和取“＝”的条件．

2．在利用基本不等式求最值时，要注意一正，二定，三相等．“一正”是指使用均值不等式的各项(必要时，还要考虑常数项)必须是正数；“二定”是指含变数的各项的和或积必须是常数；“三相等”是指具备等号成立的条件，使待求式能取到最大或最小值．

3．基本不等式的应用在于“定和求积，定积求和；和定积最大，积定和最小”，必要时可以通过变形(拆补)、配凑、常数代换、运算(指数、对数运算、平方等)构造“和”或者“积”，使之为定值．

114．求＋型最值问题，常通过“1”来进行转化，但不是所有的最值都可以通过基本不等式解决，有一些看似可ab以通过基本不等式解决的问题，由于条件的限制，等号不能够成立，这时就不能用基本不等式来解决，而要借助于其他求值域的方法来解决．

5．基本不等式除具有求最值的功能外，还具有将“和式”转化为“积式”以及将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是抓住不等式两边的结构特征，找准利用基本不等式的切入点．

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数学

11．若a＞1，则a＋的最小值是(

) a－12aA．2

B．a

C．3

D.

a－111解：因为a＞1，所以a＋＝a－1＋＋1≥2a－1a－1立．故选C.

1（a－1）·＋1＝2＋1＝3，当且仅当a＝2时等号成a－12．(2016·西安模拟)以下函数中，最小值为2的是(

) 1A．y＝x＋

xB．y＝3x＋3x

1C．y＝lgx＋(0

D．y＝sinx＋2sinx－解：因为3x>0，3x>0，故3x＋3x≥2(当且仅当x＝0时取等号)．故选B.

13．(2015·大理模拟)已知a>0，b>0，且2a＋b＝4，则的最小值为(

) ab11A.

B．4

C.

D．2 4211解：因为a>0，b>0，所以4＝2a＋b≥22ab，得ab≤2，所以≥，当且仅当a＝1，b＝2时等号成立．故ab2－－选C.

4．(2015·昆明模拟)若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30，则xy的最大值是(

) 455A.

B.

C．2

D.

334解：因为x＞0，y＞0，所以4x2＋9y2＋3xy≥2·(2x)·(3y)＋3xy(当且仅当2x＝3y时等号成立)，所以12xy＋3xy≤30，所以xy≤2，所以xy的最大值为2.故选C.

5．(2016·辽宁师大附中模拟)函数y＝loga(x＋3)－1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋121＝0上，其中m，n均大于0，则＋的最小值为(

) mnA．2

B．4

C．8

D．16 解：x＝－2时，y＝loga1－1＝－1，所以函数y＝loga(x＋3)－1(a>0，a≠1)的图象恒过定点(－2，－1)，即A(－2，－1)．

因为点A在直线mx＋ny＋1＝0上，所以－2m－n＋1＝0，即2m＋n＝1.

122m＋n4m＋2nn4mn4m11因为m>0，n>0，＋＝＋＝2＋＋＋2≥4＋2··＝8，当且仅当m＝，n＝时取等mnmnmnmn42号．故选C.

a2＋b26．(河北省衡水中学2017届三调)已知a＞b，且ab＝1，则的最小值为(

) a－bA．1

B.2

C．2

D．22 a2＋b22＋66－22ab2ab解：ab＝1，所以＝a－b＋≥2（a－b）·＝22，当且仅当a＝，b＝时等号22a－ba－ba－b成立．故选D.

（x＋5）（x＋2）7．函数y＝(x＞－1)的值域为________．

x＋1（m＋4）（m＋1）4解：因为x＞－1，所以x＋1＞0，令m＝x＋1，则m＞0，且y＝＝m＋＋5≥2mm4m·＋m5

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数学

5＝9，当且仅当m＝2时取等号．故填[9，＋∞)．

8．(2015·天津)已知a>0，b>0，ab＝8, 则当a的值为________时log2a·log2(2b)取得最大值．

log2a＋log2（2b）211解：log2a·log2(2b)≤＝(log22ab)2＝(log216)2＝4，当a＝2b时取等号，结合a>0，424b>0，ab＝8，可得a＝4，b＝2.故填4.

49．已知0＜x＜，求x(4－3x)的最大值．

34解：已知0＜x＜，所以0＜3x＜4.

3113x＋4－3x24所以x(4－3x)＝(3x)(4－3x)≤332＝3，

2当且仅当3x＝4－3x，即x＝时“＝”成立．

324所以当x＝时，x(4－3x)取最大值为. 3310．已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：

(1)xy的最小值；

(2)x＋y的最小值．

82解：(1)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，又x＞0，y＞0，

xy82828则1＝＋≥2·＝，得xy≥64，

xyxyxy当且仅当x＝4y，即x＝16，y＝4时等号成立．

8y(2)解法一：由2x＋8y－xy＝0，得x＝，

y－2因为x＞0，所以y＞2，

8y16则x＋y＝y＋＝(y－2)＋＋10≥18，

y－2y－216当且仅当y－2＝，即y＝6，x＝12时等号成立．

y－282解法二：由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，

xy822x8y2x8y＋·(x＋y)＝10＋＋≥10＋2则x＋y＝·＝18，当且仅当y＝6，x＝12时等号成立．

xyyxyx

已知函数f(x)＝ex＋ex，其中e是自然对数的底数．若关于x的不等式mf(x)≤ex＋m－1在(0，＋∞)－－上恒成立，则实数m的取值范围为________．

解：由条件知m(ex＋ex－1)≤ex－1在(0，＋∞)上恒成立．

－－令t＝ex(x＞0)，则t＞1，

t－11且m≤－2＝－对任意t＞1成立．

1t－t＋1t－1＋＋1t－111因为t－1＋＋1≥2（t－1）·＋1＝3，

t－1t－111所以－≥－，

13t－1＋＋1t－1当且仅当t＝2，即x＝ln2时等号成立．

11－∞，－.故填－∞，－. 故实数m的取值范围是33

6

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数学

21．(海淀区2017届期中)函数y＝2x＋x的最小值为(

) 2A．1

B．2

C．22

D．4 2221解：因为2x＞0，所以，有y＝2x＋x≥22x·x＝22，当且仅当2x＝x，即x＝时取得最小值．故选C.

22222．(2016·甘肃模拟)下列函数中，最小值为4的是(

) 44A．y＝x＋

B．y＝sinx＋(0

xsinx2－C．y＝ex＋4ex

D．y＝x2＋1＋2

x＋14解：因为y＝x＋中x可取负值，所以其最小值不可能为4，故A选项错；由于00，所以y＝ex＋4ex≥2ex·4ex＝4，当且仅当exsinx2＝2时取等号，所以其最小值为4，故C选项正确；因为x2＋1≥1，所以y＝x2＋1＋2≥22，当且仅x＋1当x＝±1时取等号，所以其最小值为22，故D选项错．故选C.

3．(2016·肇庆模拟)如果log3m＋log3n＝4，那么m＋n的最小值是(

) A．4

B．43

C．9

D．18 解：log3m＋log3n＝log3mn＝4，所以mn＝34，而m＋n≥2mn＝18，当且仅当m＝n＝9时等号成立．故选D.

4．(北京市2017届高三入学定位考试)等差数列{an}中，如果a4＝2，那么a2a6的最大值为(

) A．2

B．4

C．8

D．16 a2＋a6解：由等差数列的性质及a4＝2，得a2＋a6＝4，所以a2a6≤2＝4，当且仅当a2＝a6＝2时取等号．故选B.

5．(2016·湖南模拟)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储x时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，8每批应生产产品(

) A．60件

B．80件

C．100件

D．120件

800800x解：由题意知平均每件产品的生产准备费用是元，则＋≥2 xx8800x800x×＝20，当且仅当＝，即x＝x8x8280时“＝”成立，所以每批应生产产品80件．故选B.

1a6．(2016·郑州模拟)已知不等式(x＋y)x＋y≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为(

) A．2

B．4

C．6

D．8 1aaxyaxy＋＝1＋＋＋a≥a＋1＋2a，当且仅当＝时等号成立．

解：因为(x＋y)xyyxyx要使原不等式恒成立，则只需a＋1＋2a≥9恒成立，

所以(a－2)(a＋4)≥0，解得a≥4，

所以正实数a的最小值是4.故选B.

π10，上取最小值时x＝________. 7．函数y＝2sinx＋在2sinx211ππ解：y＝2sinx＋≥22sinx·＝2，当且仅当2sinx＝1，即x＝时取等号．故填.

2sinx2sinx668．(2017·江苏)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．

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数学

900600900x＋≥4×2900＝240，当且仅当x＝，即x＝30时等号成立．故填30.

解：总费用4x＋×6＝4xxx9．点(x，y)在直线x＋2y＝3上移动，求2x＋4y的最小值．

解：已知点(x，y)在直线x＋2y＝3上移动，所以x＋2y＝3.

所以2x＋4y≥22x·4y＝22x2＝4，当且仅当

即x＋2y＝3，xy＋2y＝223＝42.

时“＝”成立．

3y＝43x＝，2所以当3y＝43x＝，2时，2x＋4y取最小值为42. 1210．(2016·湖南模拟)若直线ax＋by－1＝0(a>0，b>0)过曲线y＝1＋sinπx(0

ab1212b2a＋＝3＋＋≥3＋解：因为曲线y＝1＋sinπx(0

abab12故＋的最小值为3＋22. ab

(2016·襄樊月考)已知a，b为正实数．

2ab2(1)求证：＋≥a＋b；

ba（1－x）2x2(2)利用(1)的结论求函数y＝＋(0

x1－x223abb32222a解：(1)证明：因为a，b>0，所以(a＋b)b＋a＝a＋b＋＋≥a＋b＋2ab＝(a＋b)2.

ba22ab所以＋≥a＋b，当且仅当a＝b时等号成立．

ba（1－x）2x2(2)因为00，由(1)的结论，函数y＝＋≥(1－x)＋x＝1.

x1－x1当且仅当1－x＝x，即x＝时等号成立．

22（1－x）x2所以函数y＝＋

(0

x1－x

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．(成都市2017届诊断性检测)设集合A＝{0，1}，B＝{x|(x＋2)(x－1)<0，x∈Z}，则A∪B＝(

) A．{－2，－1，0，1}

B．{－1，0，1} C．{0，1}

D．{0} 解：由题意知B＝{－1，0}，故A∪B＝{－1，0，1}．故选B.

x＋22，则A∩B＝(

) x|≤02．(2015·湖北模拟)已知集合A＝{x|y＝x－2x－3}，B＝x－2A．[－1，1]

B．[－1，2) C．[1，2)

D．[－2，－1] 解：依题意，集合A＝{x|x≤－1或x≥3}，B＝{x|－2≤x<2}，A∩B＝{x|－2≤x≤－1}．故选D.

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数学

3．已知实数x，y满足ax＜ay(0＜a＜1)，则下列关系式恒成立的是(

) 11A.2＞2

B．ln(x2＋1)＞ln(y2＋1) x＋1y＋1C．sinx＞siny

D．x3＞y3

解：根据指数函数的性质得x＞y，此时x2，y2的大小不确定，故选项A，B中的不等式不恒成立；根据三角函数的性质，选项C中的不等式也不恒成立；根据不等式的性质知，选项D中的不等式恒成立．故选D.

4．(上海普陀区2017届质量调研)若a

) ．．．．1111A.>

B.>

aba－baC．a

D．a2>b2

11解：对于A：a＜b＜0，两边同除以ab可得，＞，故A正确；

ab11对于B：a＜b＜0，即a－b＞a，则两边同除以a(a－b)可得＜，故B错误；

a－ba对于C，根据幂函数的单调性可知，C正确；

对于D，a＜b＜0，则a2＞b2，故D正确．故选B.

5．(2016·贵阳模拟)若不等式(m－1)x2＋(m－1)x＋2>0的解集是R，则m的取值范围是(

) A．(1，9)

B．(－∞，1]∪(9，＋∞) C．[1，9)

D．(－∞，1)∪(9，＋∞) 解：①当m－1＝0，即m＝1时，2>0成立；

②当m>1时，(m－1)2－8(m－1)<0，1

综上可得实数m的取值范围是[1，9)．故选C.

x＋3y≤3，13136．(2017·全国卷Ⅰ)设x，y满足约束条件x－y≥1，

则z＝x＋y的最大值为(

) y≥0，A．0

B．1 C．2

D．3

解：如图，目标函数z＝x＋y经过A(3，0)时最大，故zmax＝3＋0＝3.故选D.

497．(2016·丽水模拟)已知a，b均为正数，且a＋b＝1，则＋的最小值为(

) abA．24

B．25

C．26

D．27 49499a4b9a4b9a4b23＋(a＋b)＝13＋＋≥13＋2解：＋＝×＝25，当且仅当＝，且a＋b＝1，即a＝，b＝ababbababa5549时等号成立，所以＋的最小值为25.故选B.

ab4x＋18．(2016·衡阳模拟)若不等式＜0和不等式ax2＋bx－2＞0的解集相同，则a，b的值为(

) x＋2A．a＝－8，b＝－10

B．a＝－4，b＝－9 C．a＝－1，b＝9

D．a＝－1，b＝2 4x＋111－2，－，所以不等式ax2＋bx－2＞0的解集为－2，－，二次方程ax2＋解：不等式＜0的解集为44x＋2好教育云平台

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•

数学

1b－＝－，－2＋4a1bx－2＝0的两个根为－2，－，所以

所以a＝－4，b＝－9.故选B.

41－2－＝，－2×4aa16b9．(河北省武邑中学2017届第三次调考)若不等式x2＋2x<＋对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，则实数x的ba取值范围是(

) A．(－2，0)

B．(－∞，－2)∪(0，＋∞) C．(－4，2)

D．(－∞，－4)∪(2，＋∞) a16ba16ba16b解：因为＋≥2·＝8，当且仅当a＝4b时取“＝”．若对任意a，b∈(0，＋∞)，x2＋2x<＋恒bababa成立，只要x2＋2x<8⇒－4

2x＋110．(2015·山东)若函数f(x)＝x是奇函数，则使f(x)>3成立的x的取值范围为(

) 2－aA．(－∞，－1)

B．(－1，0) C．(0，1)

D．(1，＋∞) 2解：因为函数f(x)为奇函数，所以f(0)＝，所以a＝1.

1－a2x＋12x＋12x＋1－3（2x－1）则x＞3，即x－3>0，即>0，

2－12－12x－12x－2故不等式可化为x<0，即1<2x<2，解得0

2－1故选C.

11k11．(经典试题)设a>0，b>0且不等式＋＋≥0恒成立，则实数k的最小值等于(

) aba＋bA．0

B．4

C．－4

D．－2 （a＋b）2（a＋b）2ab（a＋b）211k解：由＋＋≥0得k≥－，又＝＋＋2≥4(a＝b时取等号)，所以－≤－4，aba＋bababbaab（a＋b）2因此要使k≥－恒成立，应有k≥－4，即实数k的最小值等于－4.故选C.

aby≥－1，12．(2016·宁夏模拟)变量x，y满足约束条件x－y≥2，

若使z＝ax＋y取得最大值的最优解有无数个，则3x＋y≤14，实数a的取值集合是(

) A．{－3，0}

B．{－1，3}

C．{0，1}

D．{－3，0，1}

解：作出可行域如图所示，由z＝ax＋y得y＝－ax＋z.当a＝0时，直线y＝z，此时取得最大值的最优解只有一个，不满足条件．当－a>0，即a＜0时，y＝－ax＋z与直线y＝x－2平行，此时－a＝1，解得a＝－1，满足条件．当－a<0，即a＞0时，直线y＝－ax＋z与直线y＝－3x＋14平行，此时－a＝－3，解得a＝3，满足条件．综上满足条件的a＝－1或a＝3.故选B.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

x13．(2016·青海模拟)不等式＜0的解集是________．

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•

数学

解：可转化为整式不等式，得x(x－1)＜0，解得0

2x－y＋1≥0，14．(2016·全国卷Ⅲ改编)若x，y满足约束条件x－2y－1≤0，

则z＝2x＋3y－5的最小值为________．

x≤1，

解：作出不等式组满足的平面区域，如图所示，由图知当目标函数z＝2x＋3y－5经过点A(－1，－1)时取得最小值，即zmin＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10.故填－10.

15．(2016·厦门模拟)已知x>0，y>0，x＋y＋xy＝2，则x＋y的最小值是________．

x＋y424解：由x＋y＋≥x＋y＋xy＝2得x＋y≥，当且仅当x＝y＝时等号成立．故填.

23331|a|16．(江苏苏州2017届测试)已知a＋b＝2，b>0，当＋取最小值时，实数a的值是________．

2|a|b1|a|a＋b|a|ab|a|1b|a|3b|a|解：＋＝＋＝＋＋≥－＋2·＝，当且仅当a＜0，＝，即a＝－2，b＝42|a|b4|a|b4|a|4|a|b44|a|b44|a|b时取等号．故填－2. 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．(10分)(2016·湖北模拟)已知二次函数f(x)＝ax2－bx＋2 (a>0)．

(1)若不等式f(x)>0的解集为{x|x>2或x<1}，求a和b的值；

(2)若b＝2a＋1，解关于x的不等式f(x)≤0. 解：(1)不等式f(x)>0的解集为{x|x>2或x<1}，所以与之对应的二次方程ax2－bx＋2＝0的两个根为1，2，由b1＋2＝，a根与系数的关系得

解得a＝1，b＝3.

21×2＝，a(2)因为b＝2a＋1，所以f(x)＝(x－2)(ax－1)≤0，

1x－≤0.

即(x－2)a11当＜2，即a>时，

a21不等式f(x)≤0的解集为x|a≤x≤2；

11当＞2，即0

a21不等式f(x)≤0的解集为x|2≤x≤a；

11当＝2，即a＝时，

a2不等式f(x)≤0的解集为{2}．

1318．(12分)(2016·贵阳模拟)已知正实数x，y满足等式＋＝2. xy(1)求xy的最小值；

(2)若3x＋y≥m2－m恒成立，求实数m的取值范围．

133解：(1)2＝＋≥2，即xy≥3，当且仅当x＝1，y＝3时等号成立，所以xy的最小值为3.

xyxy1319xy119xy＋＝6＋＋≥6＋2(2)3x＋y＝(3x＋y)当且仅当x＝1，y＝3时等号成立，即(3x＋y)min×＝6，yx2xy22yx好教育云平台

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数学

＝6，所以m2－m≤6，所以－2≤m≤3. 19．(12分)(2016·济南模拟)设f(x)＝ax2－(a＋1)x＋1. (1)解关于x的不等式f(x)>0；

(2)若对任意的a∈[－1，1]，不等式f(x)>0恒成立，求x的取值范围．

解：(1)由题意得f(x)＝(x－1)(ax－1)＞0.

当a＝0时，不等式f(x)＞0的解集为{x|x<1}；

1当a<0时，不等式f(x)＞0的解集为x|a

1当0a或x<1；

当a＝1时，不等式f(x)＞0的解集为{x|x≠1}；

1当a>1时，不等式f(x)＞0的解集为x|x>1或x

(2)令g(a)＝(x2－x)a－x＋1.

2g（－1）＞0，－x＋1＞0，对任意的a∈[－1，1]，不等式f(x)＞0恒成立，等价于

即2

解得－1＜x＜1.

g（1）＞0，x－2x＋1＞0，所以x的取值范围是(－1，1)．

x≥1，20．(12分)(2016·南京模拟)已知x，y满足约束条件x－3y≤－4，

3x＋5y≤30.(1)求目标函数z＝2x－y的最大值和最小值；

(2)若目标函数z＝ax＋y取得最大值的最优解有无穷多个，求a的值；

(3)求z＝x2＋y2的取值范围．

解：(1)作出可行域如图所示，

27当直线z＝2x－y过点B(5，3)时，z有最大值；过点C1，5时，z有最小值，

2717所以zmax＝2×5－3＝7，zmin＝2×1－＝－.

55(2)当直线z＝ax＋y平行于直线3x＋5y＝30时，线段BC上的任意一点均使z取得最大值，此时满足条件的点即最优解，有无数个．

333又kBC＝－，所以－a＝－，所以a＝.

5555341，到原点距离最小值为(3)z＝x2＋y2，则z为(x，y)与原点(0，0)的距离，结合可行域，易知点A，最大33值为|OB|，|OC|，原点O到直线3x＋5y＝30的距离三者之一，计算得，最大值为|OB|＝34.故z＝x2＋y2的取34，34. 值范围是921．(12分)(2017·天津)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：

连续剧播放时长(分钟)

广告播放时长(分钟)

收视人次(万) 好教育云平台

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•

数学

70

60

5

5

60 25 甲

乙

已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．

(1)用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；

(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？

70x＋60y≤600，7x＋6y≤60，5x＋5y≥30，解：(1)由已知，x，y满足的数学关系式为x≤2y，x≥0，y≥0，x＋y≥6，

即x－2y≤0，x≥0，y≥0，

该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分．

(2)设总收视人次为z万，则目标函数为z＝60x＋25y.

12z12zz将它变形为y＝－x＋，这是斜率为－，随z变化的一族平行直线.为直线在y轴上的截距，当取得52552525最大值时，z的值最大．又因为x，y满足约束条件，所以由图2可知，当直线z＝60x＋25y经过可行域上的点zM时，截距最大，即z最大．

257x＋6y＝60，解方程组

得点M的坐标为(6，3)．

x－2y＝0，所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．

122．(12分)(上海普陀2017届调研)已知a∈R，函数f(x)＝a＋. |x|(1)当a＝1时，解不等式f(x)≤2x；

(2)若关于x的方程f(x)－2x＝0在区间[－2，－1]上有解，求实数a的取值范围．

11解：(1)当a＝1时，f(x)＝1＋，所以f(x)≤2x⇔1＋≤2x，(*)

|x||x|（2x＋1）（x－1）1①若x>0，则(*)变为，≥0⇔－≤x<0或x≥1，所以x≥1;

x222x－x＋1②若x<0，则(*)变为，≥0⇔x>0，所以x∈∅.由①②可得，(*)的解集为[1，＋∞)．

x11(2)f(x)－2x＝0⇔a＋－2x＝0，即a＝2x＋其中x∈[－2，－1].

|x|x11令g(x)＝2x＋，其中x∈[－2，－1]，则g′(x)＝2－2在[－2，－1]上大于0恒成立，所以函数g(x)在区间[－2，xx－1]上是增函数．

999－，－3

，故a∈－，－3．

所以－＝g(－2)≤g(x)≤g(－1)＝－3，即g(x)∈222好教育云平台

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