1.3 二项式定理（通用）课堂实录及点评

导学案

年级：

高二

科目：

数学

主备：郭楚杰

审核：林树宏

课题：二项式定理

课型：

复习课

课时

: 2课时

【使用教材】《高考备考学案》第71课时

【教材分析】二项式定理的知识在高考中经常以客观题的形式出现，多为课本例题、习题迁移的改编题，难度不大，重点考查运用二项式定理去解决问题的能力和逻辑划分、化归转化等思想方法。为此，只要我们把握住二项式定理及其系数性质，会把实际问题化归为数学模型问题或方程问题去解决，就可顺利获解。

【学情分析】通过高二内容的学习，学生已经对二项式定理能够解决简单求项问题，目前要解决的是易错点和难点单调性问题。另学生的运算能力较差，应多给予锻炼。

【教学目标】



知识与技能

1．能用计数原理证明二项式定理．

2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 

过程与方法

通过让学生经历二项式定理的发现过程，以提高学生分析、比较、概括、化归的数学能力,使学生初步了解用组合思想解决二项式定理的相关概念，培养学生综合运用知识解决问题的能力



情感态度价值观

在教学中充分揭示“数”与“形”的内在联系，体会数、形的统一美，激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索、勇于创新的精神

【教学重点】二项式的基本概念．

【教学难点】最大系数的求法、二项式中赋值法

教学过程设计过程

教学环节

教学内容

教师活动

学生活动

设计意图

用组合思0n1n1rnrrnn(ab)nCnaCnabCnabCnb．

知识梳理

想推导二2．展开式的特点

项式(1)共有

项. 定理(2)各项的次数和都等于二项式的幂指数 ，即a与b的指数和为n. 展开式，并(3)字母a按 排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零，

复习字母b按 排列，从第一项开始，次数由n逐项增1直到n. 相关概念

01n1n (4)二项式的系数依次为Cn，Cn

，…，Cn，Cn.

3．二项式系数的性质

(1)对称性

在展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，

环节一

1．二项式定理

独立粗略填写的回知识顾以点

前学过的内容！

0n1n1rnr

即Cn，…，Cn． Cn,CnCnCn(2)增减性与最大值

二项式系数先增后减，且在中间取得最大值，

当n为偶数时，中间一项_____最大；

当n为奇数时，中间两项__________相等，且为最大值．

012(3)CnCnCn024CnCnCnnCn_____；

135CnCnCn

________．

学生学生独立独立完成

完成

回顾基础

环节二

基础自测

1．（2013丰台二模）(x)展开式中的常数项是（

A ）

A．6

B．4

C．4

D．6

2．（2013全国高考）(x2)的展开式中x的系数是（C

）

A．28 B．56 C．112 D．224

3．（2013肇庆质检）(x)的展开式中含x的正整数指数幂的项数是（

B

）

A．0

B．2

C．4

D．6 4．(2013湛江一模）若(x1)5a0a1(x1)a2(x1)2

861x41x10a5(x1)5，则a0（

B

）

A．1

B．32

C．1

D．32

环节三

【例1】（2013辽宁高考）使得(3x的展开式中含有）（nN）考点1

xx二项展开常数项的最小的n为（

）

式中的系A．4

B．5

C．6

D．7

数

【答案】B 1n*师生共同完成例1；

点35通nrrnrrnrr22【解析】Tr1Cn(3x)(x)3Cnx，

公55中令nr0，则nr，

二22式∴含有常数项的最小的n为5．

数16系)展开式中含x2项的系【变式】（2014韶关质检）二项式(2x的x别

数是 ．

【答案】192

每组C1同学上黑板完成评变式1

项式要项系与数区二式数系的别

项系与数区16(2x1)6【解析】(2x，

)3xxrr6r

∵(2x1)6的通项Tr1C6(2x)6r(1)r(1)r26rC6x，

∴令6r5，解得r1．

1∴x2项的系数是(1)125C6192．

【例2】已知(x1)10a1a2xa3x2a11x10．若数列a1，a2，师生考点2

共同展开式的a3，…，ak，(1k11,kZ)是一个单调递增数列，则k的最大值完成环节四

特点

是 ．

【答案】６

【解析】∵(x1)a1a2xa3xa11x，

∴(x1)C10C10xC10xC10x，

∵展开式中共有11项，第6项的系数最大，

前6项的系数递增，后6项的系数递减，

∴k的最大值是6．

101098201010210每组B1同学上例2；

黑板完成点评变式2

单调性问题

对称性与单调性问题

【变式】（2013全国高考）设m为正整数, (xy)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(xy)2m1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a7b，则m（

）

A．5 B．6

D．8

【答案】B mm1m【解析】依题意aC2m，bC2m1C2m1，

mm∵13a7b，∴13C2m7C2m1，

C．7∴13(2m)7(2m1)，

m(2mm)m(2m1m)7(2m1)，解得m6．

m1∴132（2013全国高考）已知(1ax)(1x)5的展开式中x的系数为5,环节五

【例3】考点3

则a（

）

二项式的2A．4

B．3

C．和与积

D．1

师生共同完成例3；

【答案】D

rr【解析】(1x)5的展开式的通项Tr1C5x，

21∵x的系数为5，∴1C5aC55，解得a1．

2每组A1同学上黑板完成点评变式3

用组合思想解决积问题

和问题与积问题

【变式】(x2)(151)的展开式的常数项是（

）

2xA．3

B．2

C．

D．

2【答案】D 【解析】∵(151)x2的展开式为Tr1C5r(15rrrr2r10)(1)(1)Cx，

52x14令2r102，解得r4，∴2的系数为(1)4C55，

x05令2r100，解得r5，∴x的系数为(1)5C51，

∴展开式的常数项是152(1)3．

环节六

归纳总结

rnrr1．在使用通项公式Tr1Cnab时，要注意：

⑴通项公式是表示第r1项，而不是第r项；

r⑵展开式中第r1项的二项式系数Cn与第r1项的系数不同．

2．二项式定理应用通常有以下几类题型：

⑴通项应用型：利用通项公式研究具体某一项系数的性质等问题；

⑵系数配对型：展开两因式乘积或可化为两因式乘积的三项式，求某项系数；

⑶系数性质型：灵活应用二项式系数性质或赋值求系数和．

师共归总本课容

生同纳结节内师共归总本课容

生同纳结节内总回本课容

结顾节内

环节七

课后练习

课时作业 第71课时

课后课后课后巩固

巩固

巩固