3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义教学实录及点评

3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义

【学情分析】：

学生在建立了复数的概念以后,很重要的一个问题就是建立复数集里的各种运算.由于实数是复数的一部分,在建立复数运算时应当遵循的一个原则是作为复数的实数,在复数集里运算时和在实数集里的运算应当是一致的. 复数兼备代数形式和几何形式(点表示和向量表示),对复数代数形式的加减运算及其几何意义的学习有助于理解复数两种表示形式的统一,同时也提供了一个数形结合思想的载体. 【教学目标】：

（1）知识与技能：

了解复数代数形式的加减运算,了解复数代数形式的加、减运算的几何意义. （2）过程与方法：

从实数集中的相关概念以及运算出发，对比引出复数的加减法的定义，对比复数的代数形式，复数的向量形式同样具备其自身的加减法法则。培养学生类比、化归、数形结合的思想方法。

（3）情感态度与价值观：

通过复数的代数形式的加减运算的学习，体会数集运算定义的完备性与一致性，增加对数学逻辑美的认识。

【教学重点】：

复数代数形式的加减运算及其几何意义。

【教学难点】：

复数代数形式的加减运算几何意义。

一、

知识回顾

复习引入

1.虚数单位i：它的平方等于1,即i21;

2.复数的分类：对于复数zabia,bR：

3.复数几何意义：

复数zabia,bR

复平面内的点Za,b

一一对应

zabia,bR复数

复平面内的向量OZ=a,b

一一对应

我们把实数系扩充到了复数系,那么复数之间是否存在运算呢?答案是肯定的,这节课我们就来研究复数的加减运算.

1

【设计意图】通过复习回顾复数概念、几何意义等相关知识,使学生对这一知识结构有个清醒的初步认知,逐渐过渡到对复数代数形式的加减运算及其几何意义的学习情境,为探究本节课的新知识作铺垫. 二、课堂探究

探究一:复数的加法

我们知道实数有加、减、乘等运算，且有运算律：

a+b=b+a ； ab=ba ；(a+b)+c=a+(b+c) ；(ab)c=a(bc) ； a(b+c)=ab+ac 3 那么复数应怎样进行加、减、乘运算呢？你认为应怎样定义复数的加、减、乘运算呢？运算律仍成立吗？

1.复数代数形式的加法

我们规定,复数的加法法则如下: 设z1abi,z2cdi(a,b,c,dR)是任意两个复数,那么：

z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i

提出问题：

(1)当b=0,d0时,与实数加法法则一致吗?

(2)它的实质是什么?类似于实数的哪种运算方法? 学生明确: (1)一致; (2)实质是实部与实部相加,虚部与虚部相加,类似于实数运算中的合并同类项．

【设计意图】加深对复数加法法则的理解,且与实数类比,了解规定的合理性:将实数的运算通性、通法扩充到复数,有利于培养学生的学习兴趣和创新精神．

2.复数加法的运算律

实数的加法有交换律、结合律,复数的加法满足这些运算律吗? 对任意的z1,z2,z3C,有

z1z2z2z1（交换律）, (z1z2)z3z1(z2z3)（结合律）. 【设计意图】引导学生根据实数加法满足的运算律,大胆尝试推导复数加法的运算律,学生先独立思考,然后小组交流.提高学生的建构能力及主动发现问题,探究问题的能力．

3.复数加法的几何意义

我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？

设OZ1,OZ2分别与复数abi,cdi对应,则有OZ1(a,b),OZ2(c,d),由平面向量的坐标运算有

OZ1OZ2(ac,bd). 这说明两个向量OZ1与OZ2的和就是与复数(ac)(bd)i对应的向量.因此,复数的加法可以按照向量加法的平行四边形法则来进行.这就是复数加法的几何意义.如图所示：

y

Z2(c,d)

Z

Z1(a,b)

O

x

2

由图可以看出,以OZ1、OZ2为邻边画平行四边形OZ1ZZ2,其对角线OZ所表示的向量OZ就是复数(ac)(bd)i对应的向量. 探究二:复数的减法

1.复数的减法法则

我们规定,复数的减法是加法的逆运算,即把满足

(cdi)(xyi)abi

的复数xyi叫做复数abi减去cdi的差,记作(abi)(cdi).根据复数相等的定义,有

cxa,dyb, 因此

xac,ybd, 所以

xyi(ac)(bd)i, 即

(abi)(cdi)(ac)(bd)i. 这就是复数的减法法则,所以两个复数的差是一个确定的复数. 【设计意图】复数的减法运算法则是通过转化为加法运算而得到的,渗透了转化的数学思想方法,是学生体会数学思想的素材.让学生自己动手推导减法法则,有利于培养学生的创新能力和互助合作的学习习惯.考查学生的类比思想,提高学生主动发现问题,探究问题的能力．

2.复数减法的几何意义

设OZ1,OZ2分别与复数abi,cdi对应,则这两个复数的差z1—z2与向量OZ1—OZ2（即Z2Z1）对应,这就是复数减法的几何意义.如图所示. y

O

Z1Z2

x

【设计意图】两个复数的差z1—z2（即OZ1—OZ2）与连接两个终点Z1,Z2,且指向被减数的向量对应,这与平面向量的几何解释是一致的;它不仅又一次让我们看到了向量这一工具的功能,也使数和形得到了有机的结合．注意：只有将差向量平移至以原点为起点时,其终点才能对应该复数. 三、运用新知

例1.计算：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i). 解:(5-6i)+(-2-i)-(3+4i) =（5-2-3）+（-6-1-4）i =-11i 例2．

计算(1－3i )+(2+5i) +(-4+9i).

3

解：

原式=（1+2-4）+（-3+5+9）i =-1+11i

【设计意图】直接运用复数的加、减法运算法则进行,就是将它们的实部、虚部分别相加、减,实数范围的运算律在复数范围内仍然成立.

变式训练: 若复数z满足z＋3＋4i＝5＋2i，则z＝________. 解：∵z＋3＋4i＝5＋2i，

∴z＝(5＋2i)－(3＋4i)＝2－2i. 四、巩固提升

计算：

（1）（2+4i）+(3-4i)；(2)5-(3+2i)；(3)(-3-4i)+(2+i)-(1-5i)；(4)(2-i)-(2+3i)+4i 五、课堂小结 (一)知识: 1.复数代数形式的加法、减法的运算法则; 2.复数加法、减法的几何意义. 3.几点说明:

(1)复数的加(减)法法则规定的合理性:它既与实数运算法则,运算律相同,又与向量完美地结合起来; (2)复数的加(减)法实质是:复数的实部与实部、虚部与虚部分别相加减; (3)多个复数相加减:可将各个复数的实部与实部、虚部与虚部分别相加减．

(4)复平面内的两点间距离公式:dz1—z2. 其中z1,z2是复平面内的两点Z1和Z2所对应的复数,d为点Z1和点Z2间的距离. 即两个复数差的模的几何意义是:两个复数所对应的两个点之间的距离．

(二)思想方法:类比的思想、转化的思想、数形结合的思想．

【设计意图】通过课堂小结,增强学生对复数代数形式的加法、减法的运算法则及几何意义的理解,及时查缺补漏,从而更好地运用知识,解题要有目的性,加强对数学知识、思想方法的认识与自觉运用．深化对知识的理解,完善认识结构,领悟思想方法,强化情感体验,提高认识能力.引导学生自我反馈、自我总结,并对所学知识进行提炼升华,使知识系统化.让学生学会学习,学会内化知识的方法与经验,促进学习目标的完成. 六、布置作业 1.计算：(1)(24i)(34i);

(2)(34i)(2i)(1.

2.复数6+5i与3+4i对应的向量分别是OA与OB,其中O是原点,求向量AB,BA对应的复数,并指出其对应的复数位于第几象限. 答案: 1.(1)5; (2)22i. 2.9i,位于第三象限; 9i,位于第一象限. 【设计意图】引导学生先复习,再作业,培养学生良好的学习习惯,是让学生会用复数代数形式的加法、减法的运算法则进行计算

4

七、教后反思

1.本教案的亮点是: （1）本节中由于复数的加法法则是规定的,从问题入手,引导学生思考,让学生理解这种规定的合理性．在复数加法的运算律及几何意义的处理上,都是让学生自主探究,使学生在参与中学会学习,学会合作,突出体现以学生为主,教师为辅的新课程理念．

(2)对于复数减法的处理,采用了类比的数学思想方法,让学生自主探究,自己总结,且法则可以用已学的知识推导,使学生体会其中的思想方法,培养学生的创新能力和运用数学思想方法解决问题的能力．

八、板书设计

一、知识回顾

二、探究新知

变式训练

三、运用新知

五、课堂小结

四、巩固提升

六、作业

例1

3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义

例2

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