1.3 二项式定理（通用）全国优秀课堂实录

1.3 二

项

式

定

理

一、教学目标：

知识与技能：

能解决二项展开式有关的简单问题，进一步掌握二项式定理和二项展开式的通项公式

过程与方法：

教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。

情感、态度与价值：

让学生探索、发现数学知识和掌握数学知识的内在规律的过程中不，不断获得成功积累愉快的体验，不断增进学习数学的兴趣，同时还通过探索这一活动培养学生善于和他人合作的精神. 二、教学重点、难点

重点：二项式定理及通项公式的掌握及运用

难点：二项式定理及通项公式的掌握及运用

三、教学模式与教法、学法

教学模式：本课采用“探究——发现”教学模式．

四、教学过程

近年来高考考题呈现：

16121xx17年全国1卷）6、展开式中

x2的系数为：

533xy的系数为：

1y2xy17年全国3卷）4、

的

展开式

中

2xx的展开式中，

x16年全国1卷）14、

53的系数是：

52x15年全国1卷）10、

(一)温故知新

222xy的展开式中，

xy5122

的系数是：

4ay1x15年全国2卷）15、的

展开式

中

x的奇次幂项的系数之和为32，则a

⑴(ab)a2abbC2aC2abC2b；

0312233⑵(ab)3a33a2b3ab2b3C3aC3abC3ab2C3b

202⑶(ab)(ab)(ab)(ab)(ab)的各项都是4次式，

4

1

即展开式应有下面形式的各项：a4，a3b，a2b2，ab3，b4，

00展开式各项的系数：上面4个括号中，每个都不取b的情况有1种，即C4种，a4的系数是C4；恰有1个取1122b的情况有C4种，a3b的系数是C4，恰有2个取b的情况有C4种，a2b2的系数是C4，恰有3个取b的情3344况有C4种，ab3的系数是C4，有4都取b的情况有C4种，b4的系数是C4，

04132223344∴(ab)4C4aC4abC4abC4abC4b．

(二) 探究新知

0n1n二项式定理：(ab)nCnaCnabrnrrCnabnnCnb(nN)

⑴(ab)的展开式的各项都是n次式，即展开式应有下面形式的各项：

nan，anb，…，anrbr，…，bn，

⑵展开式各项的系数： 00每个都不取b的情况有1种，即Cn种，an的系数是Cn；

11恰有1个取b的情况有Cn种，anb的系数是Cn，……，

r恰有r个取b的情况有Cn种，anrrbr的系数是Cn，……，

nn有n都取b的情况有Cn种，bn的系数是Cn，

0n1n∴(ab)nCnaCnabrnrrCnabnnCnb(nN)，

这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(ab)的二项展开式，⑶它有n1项，各项的系r数Cn(r0,1,nn)叫二项式系数，

rnrrrnrr⑷Cnab叫二项展开式的通项，用Tr1表示，即通项Tr1Cnab．

1⑸二项式定理中，设a1,bx，则(1x)n1CnxrrCnxxn

(三)应用巩固

例1．展开(114)．

x1414464111112313解一：

(1)1C4()C4()C4()()1234．

xxxxxxxxx1414144413123xCxCxCx1解二：(1)()(x1)()444

xxx

2

1464xx12x3x4．

例2．展开(2x16x)．

解：(2x1x)61x3(2x1)6

112321x3[(2x)6C6(2x)5C6(2x)4C6(2x)3C6(2x)2C6(2x)1]

64x3192x2240x16060121xx2x3．

例3．求(xa)12的展开式中的倒数第4项

解：(xa)12的展开式中共13项，它的倒数第4项是第10项，

T9129933991C12xaC12xa220x3a9．

例4．求（1）(2a3b)6，（2）(3b2a)6的展开式中的第3项．

解：（1）T221C6(2a)4(3b)22160a4b2，

（2）T221C6(3b)4(2a)24860b4a2．

点评：(2a3b)6，(3b2a)6的展开后结果相同，但展开式中的第r项不相同

例5．（1）求(x33x)9的展开式常数项；

（2）求(x33x)9的展开式的中间两项

解：∵Trx9r3rr2r993rr1C9(3)(x)C93x2，

∴（1）当93r0,r6时展开式是常数项，即常数项为T6327C932268；（2）(x33x)9的展开式共10项，它的中间两项分别是第5项、第6项，

15TC4389x91242，T5109x959236C93378x3

x

例6．（1）求(12x)7的展开式的第4项的系数；

3

（2）求(x19x)的展开式中x3的系数及二项式系数

解：(12x)7的展开式的第四项是T331C7(2x)3280x3，

∴(12x)7的展开式的第四项的系数是280．

（2）∵(x1)9的展开式的通项是Trx9r(1rrr92rxr1C9x)(1)C9x，

∴92r3，r3，

∴x3的系数(1)3C3C3984，x3的二项式系数984．

（四）课堂练习：

1.求2a3b6的展开式的第3项. 2.求3b2a6的展开式的第3项. 3.写出(3x1n23x)的展开式的第r+1项. 4.求x32x7的展开式的第4项的二项式系数，并求第4项的系数. 5.用二项式定理展开：

（1）(a3b)5；（2）(x22x)5. 1116.化简：（1）(1x)5(1x)5；（2）(2x23x12)4(2x23x2)4 7．xxlgx5展开式中的第3项为106，求x．

2n 8．求1xx展开式的中间项

答案：1.

T22(3b)22160a4b2

2.

T2221C6(2a)621C6(3b)62(2a)4860a2b43.

Tr1Cr(3x)n(11rn2rrrrn323x)2Cnx

4.展开式的第4项的二项式系数C335，第4项的系数C33772280

5.

（1）(a3b)5a55a43b10a33b210a2b5ab3bb3b2；

（2）(x2512x)32x2x58xx5x20xxxx40x232x3.

4

6.

（1）(1x)5(1x)5220x10x2；

1（2）(2x23x112)4(2x23x12)4192x432x

7.

xxlgx5展开式中的第3项为C25x32lgx106x32lgx105

2lg2x3lgx50lgx1,lgx52x10,x101000

2n8.

x1x展开式的中间项为(1)nCn2n

五、小结

1.二项式定理的探索思路:观察——归纳——猜想——证明；二项式定理及通项公式的特点六、作业

1.课堂检测

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