阅读与思考 九连环教学实录

《等差数列》第一课时教案

一、教学内容分析

本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学5》（人教版）第二章数列第二节等差数列第一课时。

数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。一方面, 数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学***学课程中数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。同时等差数列也为今后学习等比数列提供了“联想”、“类比”的思想方法。

二、学生学习情况分析

我所教学的学生是我校高一（3）班的学生，是本校该年级基础、习惯较差的一个班。大部分学生的基础都十分薄弱，学习数学的兴趣不浓，所以我在授课时注重从具体的生活实例出发，注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的有效发展。

三、设计思想

1．教法

⑴诱导思维法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构；有利于突出重点，突破难点；有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性。

⑵分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性。

⑶讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。

2．学法

引导学生首先从四个现实问题（数数问题、女子举重奖项设置问题、水库水位问题、储蓄问题）概括出数组特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列概念的特点，推导出等差数列的通项公式；可以对各种能力的同学引导认识多元的推导思维方法。

用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。

在引导分析时，留出“空白”，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的问题弄清。

四、教学目标

1.知识目标：通过本节课的学习使学生能理解并掌握等差数列的概念，能用定义判断一个数列是否为等差数列，引导学生了解等差数列的通项公式的推导过程及思想，会求等差数列的公差及通项公式，能在解题中灵活应用，初步引入“数学建模”的思想方法并能运用；

2.能力目标：并在此过程中培养学生观察、分析、归纳、推理的能力，在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力；通过阶梯性练习，提高学生分析问题和解决问题的能力。

3.情感目标：在解决问题的过程中培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；使学生认识事物的变化形态，养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。并通过一定的实例激发同学们的民族自豪感和爱国热情。

五、教学重点与难点

重点：

①等差数列的概念。

②等差数列的通项公式的推导过程及应用。

难点：

①理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义。

1

②理解等差数列是一种函数模型。

关键：

等差数列概念的理解及由此得到的“性质”的方法。

六、教学过程

教学环节

情境设计和学习任务

上节课我们学习了数列。在日常生活1.创中，人口增长、教育贷款、存款利息设情等等这些大家以后会接触得比较多的景

实际计算问题，都需要用到有关数列的知识来解决。今天我们就先学习一类特殊的数列。

由学生观察分析并得出答案：

在现实生活中，我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列：0，5，___,___,___,___,…

2000年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重被正式列为比赛项目。该项目共设置了7个级别。其中较轻的4个级别体重组成数列（单位：kg）：48，53，58，63。

水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清理水库的杂鱼。如果一个水库的水位为18m，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每2.探天的水位组成数列（单位：m）：18，索研15.5，13，10.5，8，5.5 究

我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息。按照单利计算本利和的公式是：本利和=本金×（1+利率×存期）.例如，按活期存入10 000元钱，年利率是0.72%。那么按照单利，5年内各年末的本利和分别是：

时间

年初本年末本利和金（元）

（元）

第1年

10 000

10 072

第2年

10 000

10 144

第3年

10 000

10 216

第4年

10 000

10 288

第5年

10 000

10 360

各年末的本利和（单位：元）组成了学生活动

倾听

观察分析，发表各自的意见2 设计意图

课堂引入

引向课题

数列：10 072，10 144，10 216， 10 288，10 360。

思考：同学们观察一下上面的这四个数列：

0，5，10，15，20，…… ①

48，53，58，63 ②

18，15.5，13，10.5，8，5.5 ③

10 072，10 144，10 216， 10 288，10 360 ④

观察分析并得出答案: 引导学生观察相邻两项间的关系，得到：

对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 5 ；

对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 5 ；

通过分析，激发学生学习的探究知识的兴趣，引导揭示数列的共性特点。

3.发看这些数列有什么共同特点呢？

现规律

[等差数列的概念] 对于以上几组数列我们称它们为等差数列。请同学们根据我们刚才分析等差数列的特征，尝试着给等差数列下个定义：

等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。

这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。那么对于以上四组4.总等差数列，它们的公差依次是5，5，结提-2.5，72。

高

提问：如果在与中间插入一个数A，使，A，成等差数列数列，那么A应满足什么条件？

由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A叫做a与b的等差中项。

不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项。

对于数列③，从第2项起，每一项与前一项的差都等于

-2.5 ；

对于数列④，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 72 ；

由学生归纳和概括出，以上四个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数（即：每个都具有相邻两项差为同一个常数的特点）。

学生认真阅读课本相关概念，找出关键字。

由学生回答：因为a，A，b组成了一个等差数列，那么由定义可以知道：A-a=b-A 所以就有

深入探究，得到更一般化的结论

3 通过学生自己阅读课本，找出关键字，提高学生的阅读水平和思维概括能力，学会抓重点。

让学生参与到知识的形成过程中，获得数学学习的成就感。

引领学习更深入的探究，提高学生的学***。

如数列：1，3，5，7，9，11，13…中5是3和7的等差中项，1和9的等差中项。

9是7和11的等差中项，5和13的等差中项。

看来，

从而可得在一等差数列中，若m+n=p+q 则

[等差数列的通项公式] 由学生经过分析写出通项公式：

学会发现规对于以上的等差数列，我们能不能用通项公式将它们表示出来呢？这是我们接下来要学习的内容。

⑴、我们是通过研究数列的第n项与序号n之间的关系去写出数列的通项公式的。下面由同学们根据通项公式的定义，写出这四组等差数列的通项公式。

5.总结提高

⑵、那么，如果任意给了一个等差数列的首项和公差d，它的通项公式是什么呢？

①这个数列的第一项是5，第2项是10（=5+5），第3项是15（=5+5+5），第4项是20（=5+5+5+5），……由此可以猜想得到这个数列的通项公式是

②

这个数列的第一项是48，第2项是53（=48+5），第3项是58（=48+5×2），第4项是63（=48+5×3），由此可以猜想得到这个数列的通项公式是

③

这个数列的第一项是18，第2项是15.5（=18-2.5），第3项是13（=18-2.5×2），第4项是10.5（=18-2.5×3），第5项是8（=18-2.5×4），第6项是5.5（=18-2.5×5）由此可以猜想得到这个数列的通项公式是

④这个数列的第一项是10072，第2项是10144（=10172+72），第3项是10216（=10072+72×2），第4项是10288（=10072+72×3），第5项是10360（=10072+72×4），由此可以猜想得到这个数列的通项公式是

引导学生根据等差数列的定义进行归纳：

4 律，并加以总结。

引导学生进行理性分析与推导，从而得出公式。

所以

思考：那么通项公式到底如何表达呢？

5.总得出通项公式：由此我们可以猜想得结提出：以为首项，d为公差的等差数列高

的通项公式为

也就是说，只要我们知道了等差数列的首项和公差d，那么这个等差数列的通项就可以表示出来了。

例1、⑴求等差数列8，5，2，…的第20项. ⑵-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是，是第几项？

分析：

⑴要求出第20项，可以利用通项公式求出来。首项知道了，还需要知道的是该等差数列的公差，由公差的定义6.应可以求出公差；

用巩⑵这个问题可以看成是上面那个问题固

的一个逆问题。要判断这个数是不是数列中的项，就是要看它是否满足该数列的通项公式，并且需要注意的是，项数是否有意义。

例题评述：从该例题中可以看出，等差数列的通项公式其实就是一个关于、、d、n（独立的量有3个）的方程；另外，要懂得利用通项公式来判

……

进一步的分析。

……

思考，并发表各自的意见。

让学生有自主思考的时空。

让两个学生分别对这两小题加以让学生参与分析。

课堂。

解：⑴由=8，d=5-8=-3，n=20，

得

⑵由=-5，d=-9-（-5）=-4，得这个数列的通项公式为由题意知，本题是要回答是否存在正整数n,使得-401=-4n-1成立。

解这个关于n的方程，得n=100，即-401是这个数列的第100项。

聆听教师点评

通过教师点评，提高学生对关键问题的认知水平。

5

断所给的数是不是数列中的项，当判断是第几项的项数时还应看求出的项数是否为正整数，如果不是正整数，那么它就不是数列中的项。

随堂练习：课本45页“练习”第1题；

例2．某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4km（不含4千米）计费10元。如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？

例题评述：这是等差数列用于解决实际问题的一个简单应用，要学会从实际问题中抽象出等差数列模型，用等差数列的知识解决实际问题。

随堂练习：课本45页“练习”第2题；

例3 已知数列的通项公式为其中p、q为常数，且p≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？

分析：判定是不是等差数列，可以利用等差数列的定义，也就是看（n＞1）是不是一个与n无关的常数。

完成练习

讲练结合，有利提高学生的知识应用水平

解：根据题意，当该市出租学以致用，将车的行程大于或等于4km时，每增所学知识应加1km，乘客需要支付1.2元.所用到具体生以，我们可以建立一个等差数列活中去，加深来计算车费. 对概念的理

令=11.2，表示4km处的车解。

费，公差d=1.2。那么当出租车行至14km处时，n=11，此时需要支付车费

答：需要支付车费23.2元。

聆听教师点评

通过教师点评，提高学生对关键问题的认知水平。

完成练习

讲练结合，有利提高学生的知识应用水平

分析思考，然后分组讨论，让两培养学生分组学生代表发表自己的见解。

析问题的能力，在小组讨论中提高组长的组织与归纳组内成员想法的能力。

解：取数列中的任意相

邻两项（n＞1），

求差得

它是一个与n无关的数. 所以是等差数列。

6

课本左边“旁注”：这个等差数列的首项与公差分别是多少？

对所得结论进行更深入公差。由此我们可以知道对一步的探究，

于通项公式是形如的激发学生的数列，一定是等差数列，一次项学习兴趣。

系数p就是这个等差数列的公差，这个数列的首项引导学生动手画图研究完成以下探究：

⑴在直角坐标系中，画出通项公式为的数列的图象。这个图象有什么特点？

⑵在同一个直角坐标系中，画出函数y=3x-5的图象，你发现了什么？据此说一说等差数列与一次函数y=px+q的图象之间有什么关系。

分析：⑴n为正整数，当n取1，2，3，……7.探时，对应的可以利用通项公式求出。索研经过描点知道该图象是均匀分布的一究

群孤立点；

⑵画出函数y=3x-5的图象一条直线后发现数列的图象（点）在直线上，数列的图象是改一次函数当x在正整数范围内取值时相应的点的集合。于是可以得出结论：等差数列的图象是一次函数y=px+q的图象的一个子集，是y=px+q定义在正整数集上对应的点的集合。

该处还可以引导学生从等差数列中的p的几何意义去探究。本节主要内容为：

8.课①等差数列定义：即(n≥堂小2) 结

②等差数列通项公式：(n≥1) 推导出公式：

首项是p+q. 例题评述：通过这个例题我们知道判断一个数列是否是等差数列的方法：如果一个数列的通项公式是关于正整数n的一次型函数，那么这个数列必定是等差数列。

学生动手画图，并进行学习小组讨论，发表见解。

以学习小组为单位，在学习小组中，各自归纳自己对这堂课的收获，后由小组代表总结归纳。

7 通过学生动手作图，并加以对比，让学生体会数列与函数的内在关系。

学生自己小结，使学生对自己所学知识有更深刻的认识。

1、已知⑴

是等差数列. 是否成立？

呢？为什么？

9.评价设计

⑵

是否成立？据此你能得出什么结论？

是否成立？据此你又能得出什么结论？

2、已知等差数列证：

的公差为d.求

作业是课堂的延续，除了检验学生对本节课知识的理解程度，还在于引导学生对本课知识的进一步探究，让学生在更大的深度与广度之间进行思考。

七、教学反思

本节课通过生活中一系列的实例让学生观察，从而得出等差数列的概念，并在此基础上学会求等差数列的公差及通项公式，培养了学生观察、分析、归纳、推理的能力。充分体现了学生做数学的过程，使学生对等差数列有了从感性到理性的认识过程，也使本节课的三维目标真正落到实处。

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