1.3 实习作业板书设计及设计说明

课题: 正弦定理

成都市西北中学 冯祖琼

●教学目标

1．通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；

2．会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。

3.让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。

4..培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；

2.培养学生合情推理探索数学规律的数学思想能力；

3.通过三角函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。

●学情分析：

学生在初中学习过关于任意三角形中大边对大角，小边对小角的边角关系。那么能否将这种边、角关系准确量化的表示呢？由于涉及边角之间的数量关系，就比较自然地引导到三角函数上去。在直角三角形中，边之间的比就是锐角三角函数，研究直角三角形中的正弦，就能得出直角三角形中的正弦定理，这是学生容易解决的问题。再引导学生考察锐角三角形和钝角三角形也就迎刃而解了。

●教学重点

正弦定理的探索和证明及其基本应用。

●教学难点

已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

●教学方法：问题教学法

●教学手段：多媒体辅助教学

●教学过程

Ⅰ.问题导入

问题一：如果你只有皮尺和测角仪器，怎样得出直立在地面上的旗杆的高度？

A 问题二：在一场大风中，一根直立在地面上的旗杆被吹斜了，

如果你只有皮尺和测角仪器，怎样得出这根旗杆的高度？

学习了今天的知识，我们就能解决这个问题了。

C

B

Ⅱ.新知探究

(图1．1-1)

一、正弦定理的探究

我们来探究三角形的边与它所对的角的正弦有何关系。

在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中

A 角与边的等式关系。如图1．1-2，在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据

1

锐角三角函数中正弦函数的定义，有则abcsinA，sinB，又sinC1,

b

c

cccasinAbsinBcsinCc

C

a

B 从而在直角三角形ABC中，asinAbsinBcsinC

(图1．1-2) 思考：对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？

（由学生分组讨论完成,教师利用多媒体展示。）

可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：

方法一：如图1．1-3，当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=asinBbsinA,则同理可得从而asinAbsinB，

C

csinCbsinB，

b

a asinAbsinBcsinC

A

D

c

B

(图1．1-3) 方法二：(面积法) 111cbsinAabsinCacsinb

222csinAasinC,bsinAasinb,bsinCcsinb

abc故

sinAsinBsinCSABC方法三：如图1．1-4所示，☉O是△ABC的外接圆，

连接CO并延长交☉O于点A

，连接AB，则

A AO B C AAABC90，aa2R

sinAsinA同理可证

(图1．1-4) bcabc2R,2R, 故

sinAsinBsinCsinBsinC方法四：（向量法）

提示：由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。

如图1．1-4，过点A作jAC，且j1

C 由向量的加法可得

ABACCB

则

jABj(ACCB)

A

B ∴jABjACjCB

j

(图1．1-5) jABcos900A0jCBcos900C

2

∴csinAasinC，即ac

sinAsinCbc

sinBsCin同理，过点C作jBC，可得

从而

asinAbsinBcsinC

类似可推出，当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导）

从上面的研探过程，可得以下定理

二、正弦定理：

在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

asinAbsinBcsinC

[理解定理] 问题三：同一三角形中，边与其对角的正弦有何关系，其比值有何几何意义？

答：正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即其外接圆的直径；

问题四：正弦定理可变形为哪些形式？

答：①asinAbsinBcsinC常变形为以下形式：

asinAbsinB，csinCbsinB，asinAcsinC②a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC

abcasinAbsinB,sinB,sinC,④2R2R2RbsinBcsinC⑤a:b:csinA:sinB:sinC

③sinA,csinC

asinA问题五：正弦定理与初中所学的“三角形中大边对大角”的性质有何关系？

答：正弦定理实际上是“三角形中大边对大角”性质的定量表示。

三、正弦定理的应用：

[正弦定理的基本作用] 问题六：从正弦定理的形式你可以看出正弦定理可以求解哪类问题？

答:以下两类问题：

①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如absinA；

sinB

②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sinAsinB。

一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。

[例题分析]（由学生自己完成，教师利用多媒体展示）

例1.

在ABC中，已知

c＝10，A＝45°，C=30°，解三角形。

ab解：csinA10sin45aca102

sinCsin30sinAsinCA45,C30B1804530105

bcsinBsinCbcsinB10sin1055(62)

sinCsin30即B105，a102，b5(62)

3

例2．在ABC中，已知a20cm，b28cm，A400，解三角形（角度精确到10，边长精确到1cm）。

解：根据正弦定理，

bsinA28sin400

sinB0.8999.

a20因为00＜B＜1800，所以B640，或B1160.

当B640时，

C1800(AB)1800(400640)760，

asinC20sin760c30(cm).

sinAsin400

当B1160时，

C1800(AB)1800(4001160)240，

asinC20sin240c13(cm).

sinAsin400提问：如果将本题中条件改成ba，则角B有解？

小结：已知两边和其中一边的对角解三角形时，注意对解的个数的讨论。

Ⅲ.课堂练习

1、]已知ABC中，sinA:sinB:sinC1:2:3，求a:b:c

（答案：1：2：3）

2、问题导入的问题二

Ⅳ.课堂小结（由学生归纳总结）

一、本节课我们学习了哪些数学知识？

（1）正弦定理的推导方法

（2）正弦定理：asinAbsinBcsinC；

2R（其中R为△ABC的外接圆半径）（3）正弦定理的应用范围：

①已知两角和任一边，求其它两边及一角；

②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角（注意对解的个数的讨论）。

二、本节课我们感受了哪些数学思想方法？

特殊到一般，类比的方法和数形结合，分类讨论，量化、方程、转化的思想

Ⅴ.课后作业

1、

第10页[习题1.1]A组第1、2题；

2、

阅读教材第8页“探究与发现”。

●教学反思：

在新课程背景下，如何充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用？如何有效利用课堂教学时间，尽可能地提高学生的学习兴趣，提高学生在课堂上40分钟的学习效率？这是摆在我们每一位教师面前的问题。

心理学研究表明，当学习内容和学生熟悉的生活情境越贴近，学生自觉接纳知识的程度就越高。所以，教师要善于捕捉数学内容中的生活情境，让数学贴近生活，要尽量地去创设一些生活情境，从中引出数学问题，并以此让学生感悟到数学问题的存在，引起一种学习的需要，从而使学生能积极主动地投入到学习、探索之中。因此，在该课的教学中，我采取问题教学法，让学生寻找给定条件下测量旗杆高度的办法问题一学生易解决，但问题二产生了困难，如何解4

决呢？学习了今天的知识这个问题就迎刃而解了，以此来激发学生的学习欲望。然后从学生易解决的特殊问题（直角三角形中的边角关系）出发，引导学生分组探究，给学生展现自我的机会。学生多种证法的展示是本节课的亮点。在这个过程中，学生不仅掌握了知识，更学会了思考，还培养了学生探究问题的能力。在对正弦定理的理解环节中，我并没有直接告诉学生结论而是将理解内容形成一串问题链，诱导学生一环一环地解开，达到掌握知识、培养能力的目的。

在本课的教学过程中，我尽可能让学生观察，让学生探究，让学生交流，让学生猜想、质疑，让学生过手练习。总之，让学生在课堂上有充分的活动空间和时间，形成自我寻求发展的愿望，在自主探究和合作交流的过程中,真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法。当学生出现困难时，及时引导和鼓励，充分发挥教师的主导作用。

本课设计的问题，既符合教材要求又符合学生的认知水平，在问题的解决过程中，学生的积极性被充分调动起来。这样不仅锻炼了学生思维，培养了学生能力，而且也充分体现学生自主思考探索这一新课程的理念。

以问题为核心，以解决问题为主线，注意激发学生的学习兴趣和探究欲望，通过探索过程，培养学生观察、探索、发现规律、解决问题的能力，培养学生的数学思维能力和创新能力。在和谐、欢快地氛围中，本课的教学目标得以轻松实现。“以问题为中心，从探究中学习”，充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用，是我这节课的一大特点。

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