一 比较法教案设计

§4.2.1证明不等式的基本方法—比较法教学设计

河北省遵化市第一中学 数学组 张莉

【教材分析】

证明不等式的常用的方法有比较法、综合法、分析法等。比较法是证明不等式的最重要方法，是解决不等式证明和解决与不等式有关的数学问题的重要方法之一。本节课以介绍比较法证明不等式为主。

【学习目标】

1知识与技能：理解和掌握比较法证明不等式的理论依据，能利用比较法证明不等式。

2过程与方法：通过学习比较法证明不等式，培养对转化思想的理解和应用。

3情感态度与价值观：通过比较法的学习，体会数学思维的严密性。

能熟练运用比较法来证明不等式。

【重点】理解和掌握比较法证明不等式的依据

【难点】数学转化思想的理解与应用

【教学方法】1启发引导式. 2应用类比的教学法进行比较式教学。

【教学过程】

一、趣味导学

民用住宅的窗户面积必须小于地板面积但按采光标准窗户面积与地- 1 –

板面积的比值不应小于百分之十并且这个比值越大住宅的采光条件越好，若同时增加相等的窗户面积和地板面积住宅的采光条件是变好了，还是

还是变坏了呢？

通过小问题引入新课，提升学习兴趣。

二、基础认知

1．做差比较法

因为a>b⇔a－b>0，要证a>b，只需要证 a-b>0 ，

同样要证a

a如果a、b都是正数，要证a>b，只需证>1；

b如果a、b都是负数，要证a>b，只需a<1 b比商法要注意使用条件，若a＞1不能推出a＞b.这里要注意a、b两数b的符号是同正还是同负. 三、典例剖析

例1、已知a,b都是正数，并且ab，求证：a3b3a2bab2. 证明：a5b5(a3b2a2b3)(aab)(abb)a3(a2b2)b3(a2b2)532235

(a2b2)(a3b3)(ab)(ab)2(a2abb2)

因为a，b是正数，所以a+b>0，a2abb20

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又因为a≠b，可知(ab)20∴(ab)(ab)2(a2abb2)0

即(a5b5)(a3b2a2b3)0 ∴a5b5a3b2a2b3

说明：此题在证明过程中，采用了分组分解因式的方法，将差式变形为多个因式的积，然后由各个因式的正负得出因式乘积的正负，从而判断差值正负. 比较法之（作差法）步骤：作差——变形——判断符号——下结论

练习1设x0,y0,比较(xy)与(xy)的大小. 22312133解:∵(x2y2)3(x3y3)2

=(x63x4y23x2y4y6)(x62x3y3y6)

=x2y2(3x23y22xy)

x2y2[(xy)22x22y2]0

∴(xy)>(xy)

22312133例2 如果用akg白糖制出bkg糖溶液，则其浓度为，若在上述溶液中再添加mkg白糖，此时溶液的浓度增加到问题，并给出证明。

解:可以把上述事实抽象成如下不等式问题:已知a,b,m都是

ama正数,并ab且,则bmbam，将这个事实抽象为数学bmab下面给出证明

amam(ba)bmbb(bm)baba0,又a,b,m都是正数,m(ba)0,b(bm)0m(ba)amaama0 即0b(bm)bmbbmb- 3 –

通过例2解决了导入中的问题

窗户面积窗户面积增加面积 <

地板面积地板面积增加面积思考：如果题目中没有a

收获：数学建模思想，分类讨论思想，以及分式放缩的依据。

若a,b,m都是正数，ama3.ab时，;bmbamaama

1.ab时，;2.ab时，.bmbbmb通过设置思考题启发学生多角度考虑问题，形成严谨的数学素养。

小结：比较法之做差法 （1）作差比较法适用于具有多项式特征的不等式的证明。

（2）步骤：作差—变形—判断符号—下结论。

（3）做差变形中常见技巧有哪些？因式分解

、配方、通分、有理化等。

abba例3.设a, b

 R+，求证：abab

ababbaabbaab

aaaba0当ab0,则1,ab0有()()1

bbb证明:

当ba0,则0aaa1,ab0有()ab()01bbbababababba当且仅当ab时,等号成立.abab

说明：在例3中交换的位置不等式不变，这样的式子成为轮换对称式。所以可采用下面的证明而不必进行分3类讨论。

aabba证明:baaabbbaabbab- 4 –

根据要证的不等式的特点(交换a,b的位置,不等式不变)abaa不妨设ab0,则1,ab0,bb

当且仅当ab时,等号成立.

1aabbabba,当且仅当ab时,等号成立.

作商法步骤：作商—变形—与1比较大小---下结论。

变式训练：求证:若a,bR,则ab(ab)证：作商：aabb(ab)ab2abab2

aab2bba2a()bab2

a当a = b时，()bab21

a当a > b > 0时，1,baba0,()2bab21

ab2a

当b > a > 0时，

01,bab∴ab(ab)ab2aba0,()2b1

ba思考延伸：求证:若a,bR,则abb(ab)ab2ab2

在例3及变式训练中都出现ab与(ab)课下思考！

a它们的大小关系如何，请同学们收获;设a, b

 R，求证：aabb(ab)+ab2abba

小结：比较法之做商法(同号的时候才能用) （1）作商法适用于积、商、幂、对数、指数、根式形式的不等式证明。

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（2）步骤：作商—变形—判断与1比较—下结论。作商变形要将商式化到最简。

提示：当差式或商式中含有字母时，一般需要对字母的取值进行分类讨论。

四、巩固提升

a1.设a0,b0,求证：b211b22aab

212122已知a≥1，求证：a＋1－a＜a－a－1.

巩固提升设置小组合作学习：

目标要求：1.如何做2.哪种方法更适合 3.你有什么收获

通过对作差法和作商法的不同解法探究，总结归纳:（1）用比较法证明不等式, 步骤是:

作差(商)----变形----判断符号(与”1”比较) ----下结论; （2）常见的变形手段

通分、因式分解或配方等；

（3）常见的变形结果

常数、若干个因式的积或完全平方式等。

应注意的是，作商法只适应两个正数或负数比较大小。

（4）变形目的是判断符号,判断过程要详细. - 6 –

五、课堂小结

请大家回顾本节课的学习内容

学生思考作答，教师补充

比较法

作差比较法 作商比较法

变形技巧 适用类型 要求同号

因式分解、配方、 步 骤

平方、通分、有理化等 分类讨论思想

六、课后作业

1课本P23习题2.1 1，2，3，4 2思考题

(1).已知abc,222222求证：abbccaabbcca

（2）设a>0,a1且0

【板书设计】

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比较法

一. 作差法 例1 练习 二作商法 例3 练习

例2 小结2

小结1 巩固提升

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