小结课堂实录

基本不等式的应用

湖南省沅江市第一中学

李丽君

一、教学内容分析

本节课是人教A版必修五第三章第四节“基本不等式”的第二课时内容，基本不等式与函数的最值、值域有着非常密切的联系，也是证明不等式的有力工具，是高中数学的重要内容。数学建模能力的培养是数学教学的一项长期而艰巨的任务，通过本节课学生的自主探究、合作交流逐步提高学生的建模能力。本节课涉及对函数、三角函数、数列、不等式等知识的应用与方法的处理。

二、教学目标

（一）知识与技能：学生在推导了基本不等式及其变形式的基础上，能利用基本不等式解决函数的最值、值域问题。

（二）过程与方法：通过两个实际问题引导学生对基本不等式的认识与掌握，并由此得出能用基本不等式求最值的基本模型。

（三）情感态度价值观：体会基本不等式解决数学问题的美妙之处，提高学习数学的兴趣，发展学生的探究创新精神，逐步养成严谨的科学态度及良好的思维习惯。

三、教学重点难点

教学重点：利用基本不等式解决函数和代数式的最值问题。

教学难点：基本不等式求最值时的变形转化。

四、教学方法：引导探究法。本节课意在让学生通过对基本不等式应用的学习，自主探索与合作交流获得新知。

五、教学过程

（一）问题引入，构建新知

问题1：用篱笆围一个面积为100m的矩形菜园，问这个矩形的长x

m、宽ym各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？

问题2：一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长x

m、宽ym各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

（设计意图：由书本例题出发引出两正数和与其乘积的关系，从而构建基本不等式解最值问题。）

（二）要点探究，归纳新知

基本不等式与最值：已知x,yR且x0,y0,

若xyp（定值），则xy2p（当且仅当xy时等号成立）。

2s2若xys（定值），则xy（当且仅当xy时等号成立）；

4注意强调利用基本不等式求最值的条件：一正二定三相等

（三）感悟方法，融会贯通

典例1：（1）函数f(x)x1x0的最大值是______________. 2x

5x24x5（2）已知x，则f(x)的最小值为_____________. 22x4（若将条件改为x4，问题又如何解决呢？）

(3) 已知0xa，a为常数，则f(x)xa2x的最大值为____________. 2（设计意图：（1）题让学生明白当条件不为正时，不是不能用基本不等式求解，而是如何创造条件。（2）让学生探究形式不符合即没有定值时构造定值的方法，条件改为x4后等号不成立怎么办，在此基础上和学生一起归纳基本不等式求最值与函数

bab0的单调性求最值之间的联系，让学生清楚当等号成立时由函数xbf(x)axab0的单调性同样可以得到相同的结论，当等号不成立时，我们应该退xf(x)ax而后思，考虑用函数单调性来解决问题，找到二者之间的紧密联系，树立学生解决问题的大局观。体会知识点并不是孤立存在的，只有掌握了它们之间的联系，才能更好的学好数学。

解：（1）f(x)x1110，

(x)()，x0x0,2x2x2x(x)(1112时等号成立），)2(x)()2（当且仅当x即x2x22x2xf(x)x11(x)()2，即f(x)max2

2x2x2x24x5x21x21x2121

（2）f(x)2x42x222x222x2当且仅当x21即x3时等号成立，即f(x)min1

22x22x24x5x21x21（当x4时，f(x)在4,为增函数，

2x42x222x2f(x)minf(4)（3）当0x5）

4a时a2x0,x0

22112xa2xa2f(x)x(a2x)2x(a2x)

2228当且仅当2xa2x即xa时等号成立。

4方法点拨：在运用基本不等式时，用“拆”、“拼”、“凑”等技巧，把握条件，从检验是否正数开始，根据需要配凑“和”或“积”为定值。配凑时一般配凑系数或配凑项（如常数项），

遇到分式，一般分离项后再用基本不等式。

典例2：（1）若正数x,y满足2xy1，则14的最小值为_ 642

xy变式：若正数x,y满足2xyxy，则2xy的最小值为_____8_____. （设计意图：这两题都为条件最值问题，如何充分利用条件通过适当的变形构造定值，常数“1”的代换很关键。（2）题启发学生消元法是这类题的通法，但并非最简单的方法，其次基于求解对象，可直接构造关于2xy为元的二次不等式，体验一题多解。）

解：（1）141414y8xy8x()1()(2xy)662642

xyxyxyxyxyy8x21且2xy1即x,y22时等号成立。

xy2当且仅当

（2）由2xyxy得21214xy4xy1，而(2xy)()4428

yxyxyxyx当且仅当4xy且2xyxy即x2,y4时等号成立。

yx方法点拨：合理代换“1”，从而构造出可用基本不等式的形式。

(四)活学活用，巩固新知

练习1、对任意的0,围。

解：由题意知2x12，不等式142x1恒成立，求实数x的取值范sin2cos241而

22sincosmin14sin2cos24(sin2cos2)cos24sin255249

222222sincossincossincoscos24sin236sin,cos当且仅当即时等号成立2x19

sin2cos233即4x5

练习2：已知各项均为正数的等比数列an满足a7a62a5，若存在两项am,an使得aman4a1，则14的最小值为___________. mn2解：由a7a62a5得a5q2a5q2a5即qq20q0q2

14n4m)59

mnmn143n4m当且仅当即m2,n4时等号成立。()min

mn2mn由aman4a1得2mn216即mn6，所以(mn)(（五）归纳小结，反思升华

学生小结，不仅仅是单纯的知识罗列，而是提炼在知识形成过程中所体现的数学思想方法以及解决数学问题的策略。（主要知识是利用基本不等式求最值，主要思想方法有转化与化归思想，数形结合思想，用到了配凑和1的代换的技巧，）

（六）布置作业，

2sin2x11.设0,，求函数y的最小值。

sin2x22.若圆xy2x4y10上存在两点关于直线2axby20对称，求小值。

3.设ab0,则a

22214的最ab11的最小值是___________. aba(ab)