小结名师教学视频（文字实录）

明计数之道

1.1

分类加法计数原理与分步乘法计数原理教学设计

一、

学情分析：

1.认知基础：在学习必修2 “古典概型”时突出了树形图、列举法在计数中的作用；在学习和生 活中，我们会不自觉地使用“分类”和“分步”的方法来思考解决问题。

2.能力基础：高二学生有较强的观察能力和数学抽象概括能力。

3.可能障碍：一是应用原理的意识淡薄，二是不能根据问题的特征，正确地选择原理解决问题。

二、教学目标

1．知识与技能：通过实例，能归纳总结出分类加法计数原理和分步乘法计数原理，经历从特殊到一般的思维过程，进一步提高学生学习数学、研究数学的兴趣；

2．过程与方法：对比分类加法计数原理与分步乘法计数原理，能说明两个计数原理的不同之处，能根据具体问题的特征、选择恰当的原理解决一些简单的实际问题，体现数学实际应用和理论相结合的统一美，经历从特殊到一般的思维过程；

3．情感态度与价值观：经历由实际问题推导出两个原理，再回归实际问题的解决这一过程，体会数学源于生活、高于生活、用于生活的道理，让学生体验到发现数学、运用数学的过程。

三、教学重点与难点

重点：归纳地得出分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能应用它们解决简单的实际问题。

难点：正确地理解“完成一件事情”的含义；根据实际问题的特征、正确地区分“分类”或“分步”。

四、教学分析：

（一）教法分析

对于两个计数原理，不仅仅在于规律本身，更在于学生从已有的方法中发现原理、归纳原理，进一步深刻认识原理，在发现的过程中学会学习，学会探究，提升思维的品质。因此我采取引导学生分析典型事例，归纳共同特征，进一步抽象概括出两个原理的本质特征，最后通过应用示例，小组讨论，加深对原理的区分和思想方法的理解。

（二）学法指导

学生已具备一定的计数能力（树形图、列举法等），能解决一些基本的计数问题，包括本节课所涉及的一些实际问题，只是还没有上升到理论的高度。但是要由实际问题转变为数学知识，必须借助于老师的引导和帮助。而当归纳总结得出分类加法计数原理之后，运用类比的方式得出分步乘法计数原理对学生来说就并不困难了。同时，对于两个原理的应用，关键是能否根据具体问题的特征选择相应的原理，要指导学生感悟两个计数原理的区别与联系及其应用的前提条件、应用的注意点。

五、教学基本流程

（一）计数问题的引入

创设情境 引入课题

（二）分类加法计数原理的形成

生活感知 初识原理 感知积累 再识原理 抽象概括 揭示原理 类比迁移 同

（三）分步乘法计数原理的形成

生活感知 初识原理

感知积累 再识原理

抽象概括 揭示原理

类比迁移 同

（四）两个计数原理的辨析与应用

辨析理解 固化原理 实际应用 活化原理

（五）反思回顾 深化认知

反思过程 顺化原理

1

明计数之道

六、教学手段

采用多媒体辅助教学，营造愉悦的学习情境。

七、教学过程：

（一）计数问题的引入

教学过程设计

创设情景

引入课题 同学们，上课之前老师想问大家一个问题：大家看过《爸爸去哪儿》吗？知道第二季第一期他们来到了重庆的哪个地方吗？就是因为明星效应的带动，他们所住过的五家农户已被当地开发成了一个入住式体验的旅游项目。

学生活动

师生互动，学生回答。

设计意图

从学生感兴趣的电视节目入手，唤起学生学习的心向，通过一个比较复杂的计数问题，制造认知冲突，激发学生的兴趣，揭示探究原理的必要性。

设计意图

时间

2分钟

师：如果你去旅游，你会选择入住几号房呢？

生1: 我选5号。生2:选2号。生3:4号。

师：假如这三名同学他们分别选的是1,1,3号房，请问，这两种入住方式一样吗？不一样。那么

思考：3名同学从5家农户里各选一家入住（可以选同一家），一共有多少种不同的入住方式呢？

师：可以一一列举吗？

生：应该可以，但需要时间。

教学过程设计

生活中我们还会遇到很多类似的计算方法数的问题，我们称之为“计数问题”。

计数问题：即计算完成一件事的方法数的问题。

今天我们先来学习计数问题中两种最基本、最重要的方法。

（板书课题：1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理）

学生活动

2

明计数之道

（二）分类加法计数原理的形成

教学过程设计

生活感知

初识原理

问题1：

（1）小明要从北京到重庆，一天中，飞机有4班，火车有3班，一天中乘坐这些交通工具从北京到重庆共有多少种不同的走法？

生：7种。

（追问：你是怎么想的）

师：这个问题中，小明要完成一件什么事？

生：从北京到重庆。

师：怎么完成的呢？

生：坐飞机或坐火车

师：你的意思是按交通工具不同分成了两类不同的解决方案？你是怎么计算的呢？

生：因为每一个班次的飞机或火车都能到达重庆，所以4+3=7.(以图表形式板书)

学生活动

设计意图

通过生活中的简单的实例，源自学生的邻近发展区，使学生初步感知计数问题中有这样一类用加法计算的分类问题。

在学生的初步感知的基础上，通过类似的两个简单问题和学生自己所举例子，进一步积累感知经验，让感知多次重复被学生熟知，从而形成“共同性印象”，为下一步归纳概括原理打下坚实的基础。

时间

师生共同分析本小题。

1分钟

（2）用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？

感

（由完成一件什么事，怎么完成这件事，完成没知有？怎么计算方法数四个方面来解决这个问题）

积（3）从班上30名男生、25名女生中任选1名学累 生担任数学课代表，一共有多少种不同的选法？

这些问题同学们解决得都很不错。

再但是发现问题、提出问题比解决问题更重要，我识们不妨思考一下，

原理

追问：能否举出一些生活中类似的例子呢？

引导学生分析本小题，再由学生举例，并分析要完成一件什么事，怎么完成的，怎么计算的。

1分钟

3

明计数之道

抽象概括

揭示原理

问题2：这一类问题有什么共同特征呢？

（分类、加法、计数）

追问：你能不能把这种解决问题的规律用数学语言来表述呢？

分类加法计数原理

完成一件事有两类不同方案，第1类方案里有m学生感知积种不同方法，第2类方案里有n种不同方法，完累，概括获得计成这件事一共有N=m+n种不同的方法。

数问题的特征。由学生叙述原理，老师适当补充。

类比迁教学过程设计

练习：

小明在参观重庆的大学时了解到A、B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下： A大学 B大学

生物学

数学

化学

会计学

医学

法学

物理学

如果小明要从这两所大学选一个专业，他一共有多少种不同的选法呢？

变式：如果C大学里还有两个感兴趣的强项专业，A大学 B大学 C大学

生物学

数学

管理学

化学

会计学

建筑学

医学

法学

物理学

如果小明要从这三所大学里选一个专业，他一共有多少种不同的选法呢？

学生活动

学生思考回答出答案，并指明完成一件什么事，怎么完成的。

在经历了感知与想象内化后，结合具体感知的事实材料，和学生一起“去粗取精，去伪存真，由此即彼，由表及里”

的反复提炼推敲，抽象概括出加法原理的特征。让学生体会数学源于生活的同时也培养了学生归纳概括、数学表述的能力。

设计意图

及时给时间让学生检验自己的研究成果，进一步体会加法原理，不但起巩固的效果，还能增加学生的兴趣和信心。

3分钟

时间

3分钟

4

明计数之道

移

同化原理

完成一件事有三类不同方案，第1类方案里有m1种不同的方法，第2类方案里有m2种不同的方法，第3类方案里有m3种不同的方法，那么完成这件事一共有Nm1m2m3种不同的方法。

(如果完成一件事可以有四类、五类，甚至n类方案，每类方案里有若干种不同方法，又当如何计数呢？) 分类加法计数原理的推广

完成一件事有n类不同方案，第1类方案里有m1种不同的方法，第2类方案里有m2种不同的方法，…第n类方案里有mn种不同的方法，那么完成这件事一共有Nm1m2的方法。

学生独立探究、归纳总结，然后类比分类加法计数原理进行推广。

通过一个具体的实例及其变式，让学生经历了数学知识从特殊到一般的推广过程，培养了学生类比、逻辑推理的思维能力，体会了数学的逻辑美。

2分钟

mn种不同（三）分步乘法计数原理的形成

生活感知

初识原

理

教学过程设计

问题3：

（1）小明先从北京到成都，飞机有4班，一天后再从成都到重庆，火车有3班。小明乘坐这些交通工具从北京经成都到重庆共有多少种不同的走法？

教学过程设计

展台展示：①树形图

1 1 1 1

A 2 B 2 C 2 D 2 3

3 3 3 ②43=12(请做的同学自己分析解释) 师：乘法运算是特定条件下加法运算的简化，由于加数相同，所以乘法优化了加法，使得计数更为科学。

我们可以换个角度来看这个问题，问题中小明要完成一件什么事？

生：从北京到重庆。

师：怎么完成的？

生：先坐飞机再坐火车。

师：只选择一班飞机能完成吗？

生：不能，还要选择一班火车，所以这个过程分成了两个步骤进行。

师：那怎么计算呢？

生：因为第一步里的每一班飞机都对应第二步里的三班火车，所以43=12。（以图表形式板书）

学生活动

独立思考，用列举法、树形图、乘法进行计算，然后展台展示。

学生活动

学生概括出“任意一班飞机都能与3班火车中的任何一班形成一种走法”。

设计意图

设计

意图

从一个简单的生活实例入手，让学生通过已有的计数经验，和前面所学习的分类加法计数原理，得出结果。让学生初步体会生活中还存在着一类与分步有关，可用乘法计算的计数问题，让学生经历在特定条件下将加法简化的过程，领会分步与乘法的关系，为进一步的探究积累经验。

2分钟

5

明计数之道

感知积累

再识原理

（2）用前6个大写英文字母和1~9九个阿拉伯数字，以A,B1,B2,的方式给教室里的座1,A2,位编号，总共能够编出多少种不同的号码？

（引导学生从完成一件什么事，怎么完成这件事，怎么计算的去分析这个问题）

（3）从班上30名男生、25名女生中选男生、女生各1人担任数学课代表，一共有多少种不同的选法？

追问：你能举出生活中类似的例子吗？

抽象概括

揭示原理

问题4：这一类问题的共同特征是什么？

（分两步、乘法、计数问题）

追问：你能不能把这种解决问题的规律用数学语言来表述呢？

分步乘法计数原理

完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同方法，做第2步有n种不同方法，那么完成这件事一共有N=mn种不同方法。

类比迁移

同化原理

如果完成一件事需要三个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第3步有m3种不同的方法，那么完成这件事一共有Nm1m2m3种不同的方法。

(如果完成一件事需要n个步骤，每个步骤里有若干种不同方法，又当如何计数呢？) 分步乘法计数原理的推广

完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事一共有

体会乘法的便利

性，举例是原理学生举例，并类形成和概括的重似地加以分析。

要手段，让学生

初步体会几个具

体实例之间的关

系，提高观察力，让学生在发现问题、解决问题的过程中主动建构，理解数学知识的本质。

类比分类问从实例和具体经题的共同特征，验出发，通过比学生归纳叙述分较、归纳、概括步乘法计数原等思维过程获得理。

分步乘法计数原

理的内容，培养

学生分析问题、模仿和语言表达能力。

让学生经历从直观学生类比分类加到抽象，从特殊到法计数原理归纳一般，进一步提高叙述出分步乘法学生学习数学、研计数原理及其推究数学的兴趣，从广。

中也可体会归纳、

类比等合情推理方式。

3分钟

3分钟

1分钟

Nm1m2mn种不同的方法。

（四）两个计数原理的辨析与应用

教学过程设计

学生活动

设计意图

6

明计数之道

题组训练：

（1）从甲地到乙地一天有汽车8班，火车3班，轮船2班，某人从甲地到乙地，共有多少种不同的走法? （2）从5名同学中选出正、副班长各一名，共有多少种不同的选法？

（3）有不同颜色的5件上衣与3件不同颜色的长裤,如果一条长裤与一件上衣配成一套,则不同的配法有多少种？

（4）从一个装有4个不同白球的盒子里或装有3个不同黑球的盒子里取1个球，共有多少种不同的取法？

（5）某校高一有6个班，高二有8个班，从中选择1个班级担任周一早晨的升旗任务，一共有多少种不同选法？

（6）某商场有6个门，某人从其中的任意一个门进入商场，再从其他的门出去，共有多少种不同的进出商场的方式？

请第2组的一名同学回答前三个小题，请第3组的一名同学回答后三个小题。

辨析理解

其实，刚才在请同学回答的过程，这本身就是一个数学问题。（口述，然后板书在黑板上。）

学生独立思考，完成练习，回答问题，指明使用了哪个原理。

固学生体验一种经化历式学习。

原“每个学习小组有6人，老师从第2、3小组中各

理

选1人来回答问题，一共有多少种不同的选法？”

这个问题中是要完成一件什么事呢？这是一个分类还是分步问题呢？如何计算呢？

问题5：分类加法计数原理与分步乘法计数原理的相同点和不同点是什么?（讨论交流）

生1：相同点都是计数问题。不同点是分类用加法，分步用乘法。

追问生1：你是如何区分这个问题是分类还是分步呢？

生1：如果做这件事情只做一次选择就可以完成这件事，就是分类。如果要做多次选择才能完成就是分步。

生2：我觉得分步问题也是分类问题。分类是一步到位，而分步是以第一步的方法不同为分类标准，

学生独立思考、小组讨论、代表发言。

感知容易理解难，具体应用更难，这组题组训练采用分类分步问题交叉设置，使学生有较多的机会在应用过程中加深对原理的理解，正确区分使用两个计数原理，提高学生的分析问题和解决问题的能力。

这个环节的设置，使学生亲身经历体验发现数学问题，数学并不是一个抽象而模糊的概念，数学就是源于生活，解决生活中所遇到的问题。

学生能从分析问题和解决问题的过程中去挖掘两个原理的本质区别。这是本节课的一个难点突破，所以设置了小组讨论。学生在与人分享中倾听、质疑、表述，体验成功的喜悦，培养学生合作交流的能力，让学生学会在参与中发展自己的数学知识和能力。

10 分钟

2分钟

7

明计数之道

每一类里是多步完成。

教学过程设计

生3：分类是每一种方法都可以独立完成这件事情，而分步必须是每一步都完成才能完成，也就是每一种方法不能独立完成这件事情。

学生活动

设计意图

让学生体会两个计数原理的异同，理解两者的本质，学会在遇到具体问题时如何根据问题的特征选择对应的计数原理。

5分钟

相同点

不同点

分类加法计数原分步乘法计数原理

理

都是计算完成一件事方法数的问题

分类、加法

分步、乘法

分步中每步中的每一种方法不能独立完成这件事，只有各步都完成这件事才算完成

步步相依

缺一不可

学生回答，并加以分析。

分类中每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事

注类类独立

意

不重不漏

巩固练习：

书架上第一层放有4本不同的计算机书，第二层放有3本不同的文艺书，第三层放有2本不同的体育书。若从第一,二,三层中各取1本书，共有多

少种不同取法？

解：从第一,二,三层各取1本书，分为3个步骤：

步，从第一层取1本书，有4种不同的方法；

第1

第2步，从第二层取1本书，有3种不同的方法；

实

第3步，从第三层取1本书，有2种不同的方法。际

由分步乘法计数原理，应

完成这件事一共有432=24种不同的方法。用

变式1：若从书架上任取1本书，共有多少种不同活取法？

化

原变式2：若从书架上取2本不同类别的书，共有多理 少种不同取法？

解决课前遗留的思考：

3名同学从5家农户里各选一家入住（可以选同一家），一共有多少种不同的入住方式？

（五）反思回顾，深化认知

反思过程顺化原

通过实例能够说出“完成一件事”的具体含义，怎么才算“完成”，以及采用何种方式完成，能合理设计完成这件事的过程，提高学生分析解决问题的能力，树立先分类、后分步的策略意识，能充分体现课堂的有效性。

5分钟

通过解决前面的遗留问题，满足学生的好奇心，让学生脱离用数的方法，灵活使用计数原理。

教学过程设计

思悟小结：

从今天两个计数原理产生的过程和问题的解决过程来看，对你以后的学习有什么启示？

生1：分类不光用在计数问题上，分类讨论思想在生活和学习中也很重要。

学生活动

学生回顾学习过程，思维活跃，认识逐步深入。

设计意图

不仅要反思学习的结果，还要反思学习的过程、学习的方法，在反思中回顾知识发生发展的过程，强化对知识的理解，领悟其中的思想方法，获得科学研究的一般认识，还体会到了数学源于生8

明计数之道

理

教学过程设计

生2：今天的学习可以把复杂的问题通过分类或者分步拆分成几个简单的问题，然后一个个或一步步去完成。

生3：今天的例子都是生活中的实例，说明数学是与生活相关的，最后去解决生活中的问题的。

作业布置：

1. 完成课本P12 A组1、2、3 2. 阅读课本P11：子集的个数有多少

3. 从我们生活中找寻运用两个计数原理解决的实例并相互交流

学生活动

活，高于生活，用于生活。

设计意图

2分钟

作业的安排是为巩固课堂内容的，从课堂延伸到课外，拓展探究空间的。

七、板书设计

1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理

方案1 完成一件事

4 坐飞机

北京 重庆

方案2 第1步

北京 重庆

先

坐飞机

或

坐火车

题组训练：

（口述、板书）每个学习小组有6人，现在从第2，3小组中各选1人来回答问题，一共有多少种不同的选法？

分类 加法 计数

+ 3 第2步

后

坐火车

分步 乘法 计数

4  3

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