1.1 回归分析的基本思想及其初步应用优质课教案设计

1.1回归分析的基本思想及其初步应用（三）

教学要求：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用.

教学重点：通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型，了解在解决实际问题的过程中寻找更好的模型的方法.

教学难点：了解常用函数的图象特点，选择不同的模型建模，并通过比较相关指数对不同的模型进行比较. 一、复习准备：

（一）、线性回归的步骤

1、判断两个变量间是否有较强的线性相关关系

（1）、通过散点图：样本点在一条直线附近分布

（2）、计算相关系数：r(xx)(yy)iii1n(xx)(yy)2iii1i1nn2xynxyiii1n(xx)(yy)2iii1i1nn

2若通过样本数据求得r0.75，则说明两个变量间具有很强的线性相关关系，用ˆaˆbxˆ. 线性回归方程y2、求回归直线方程：

ˆ通过样本数据求：b(xx)(yy)xynxyiiiii1nn(xx)ii1n2i1nˆ．

ˆybx与axi12inx2ˆaˆbxˆ

得回归直线方程：y3、预报：将给出变量x或y，带入方程，求另外一个变量的估计值. 4、评价模型：

ˆiyiyˆi,可以借助残差图，寻找异常点. （1）、残差分析：分析每个e（2）、相关指数：相关指数R21ˆ)(yyiin2(yy)ii1i1n也是一种刻划拟合效果的统计量.

2

（二）、给出例3：一只红铃虫的产卵数y和温度x有关，现收集了7组观测数据列于下表中，试建立y与x之间的回归方程. 温度x/C

产卵数y/个

21

7

23

11

25

21

27

24

29

66

32

35

115

325 （学生描述步骤，教师演示）

y 350 300 250 200 150 100 50 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40

2. 讨论：观察右图中的散点图，发现样本点并没有分布在某个带状区域内，即两个变量不呈线性相关关系，所以不能直接用线性回归方程来建立两个变量之间的关系.

二、讲授新课：

1. 探究非线性回归方程的确定：

①

如果散点图中的点分布在一个直线状带形区域，可以选线性回归模型来建模；如果散点图中的点分布在一个曲线状带形区域，就需选择非线性回归模型来建模. ②

根据已有的函数知识，可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线y=C1eCx的2周围（其中c1,c2是待定的参数），故可用指数函数模型来拟合这两个变量. （如果有同学认为样本点在一条抛物线周围，选择二次函数模型yc3x2c4.将班级同学分两大组，一组选择指数模型，一组选择二次模型，求回归方程.）

③指数模型y=C1eCx处理方式：在上式两边取对数，得lnyc2xlnc1，再令zlny，2则zc2xlnc1，而z与x间的关系如下：

x

21

23

25

27

29

32

35 zlny

1.946 2.398 3.045 3.178 4.190 4.745 5.784

z 7 6 5 4 3 2 1 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40

参考数据表：

x

27.4 y

z

(xx)ii1n2(yy)ii1n2

(ziz)

2i1n(xix)(yiy)

i1n(xx)(zz)

iii1n81.3 3.6

114.7 87141.4 733.7 2935.1 40.2 a3.843,b0.272，z与x间的线性回归方程为z0.272x3.843，因此红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为ye0.272x3.843

④二次函数模型yc3x2c4处理方式：令tx2，则yc3tc4，此时y与t间的关系如下：

tx2

441 7 529 11 625 21 729 24 841 66 1024 115 1225 325 y

400 300 200 100 0 0 200 400 600 800 1000 1200 1400

参考数据：

x

27.4 y

81.3 t

773.4 (xix)

2i1n(yiy)

2i1n(tit)

2i1n(xix)(yiy)

i1n(tt)(yy)

iii1n114.7 87141.4 4568898 2935.1 6322525.7

练习（2017年全国III卷）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的宣传费xi，和年销售量yi(i=1,2,3,…,8)的数据作了初步处理，得到下面的统计量的值，x

46.6 y

563 

6.8 (xix)

(i)2

2i1i1nn(xix)(yiy)

(i)(yiy)

nni1i1289.8 1.6 1469 108.8 18表中ixi,i8i1

ˆ参考公式：

b(xx)(yy)iii1n(xx)ii1nˆ，

ˆybx,a2

(Ⅰ) 根据散点图判断，y=a+bx与ycdx，哪一个宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；

(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

(Ⅲ)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z=0.2y-x，根据(Ⅱ)的结果回答下列问题：

(1)当年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值时多少？

(2)当年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？