阅读与思考 九连环第二课时教学设计

退步原来是向前——九连环与递推数列

三水中学

潘敏婵

九连环历史非常悠久,据说发明于战国时代。宋朝以后，九连环开始广为流传。在明清时期上至士大夫，下至贩夫走卒，大家都很喜欢它,同时它也是中国四大古典益智游戏之一。

人教A版数学必修五第二章数列中的一个课外阅读里就利用了数列的知识来解决九连环的问题——如何用最少的步数来解下九连环。以下是本人对这节课《九连环与递推数列》的教学设计。

【教学目标】

1.知识与技能

（1）了解九连环的构造，并懂得如何解下和套上九连环；

（2）利用数列的递推关系式推导得出数列的通项公式；

（3）会应用数列来解决实际问题。

2.过程与方法

在解决如何用最少的步数来解下九连环的过程中，培养学生的观察、分析、归纳能力和严密的逻辑思维的能力，体验从实际问题与数学问题的转化，渗透数学建模的思想。

3.情感、态度与价值观

通过教师指导下学生的自主学习、相互交流和探索活动，培养学生主动探索、用于发现的求知精神，激发学生的学习兴趣，让学生感

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受到成功的喜悦。在解决问题的过程中，使学生养成细心观察、认真分析，培养数学建模的能力。

【教学重点】

①九连环的构造；

②数列的递推关系式与通项公式的转化。

【教学难点】

①利用数列的递推关系式推导得出数列的通项公式；

②九连环问题转化为数学问题的过程。

【学情分析】

我所教学的学生是我校高一（15）班的学生（实验班学生），经过一年的高中数学学***部分学生知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，所以我在授课时注重从具体的生活实例出发，注重引导、启发、研究和探讨以符合学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。

【设计思路】

1．教法

①启发引导法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构；有利于突出重点，突破难点；有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性．

②分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性．

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③讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点．

2．学法

引导学生首先从九连环问题概括出数组特点并抽象出数学的数列问题；接着就数列的递推公式推导出数列的通项公式；另外，本课所讲的方法与教材中的方法有所不同，这样可以引导学生认识多元的推导思维方法。

【教学过程】

一、提出问题，分组讨论

教师：各小组的组长手中都拿有一个九连环，大家细心观察下，看看这九连环有些什么特点？如果每次只拿一个环，如何解下这个九连环呢？

学生分组对九连环进行观察与探究，讨论如何解下九连环。

（设置意图：从问题引入,诱发学生对九连环的兴趣，并从这一个有趣的游戏中摸索出规律，另外小组的学习形式也使得学生多交流，多分享，思维的火花得以碰撞，在合作探究的过程中学会如何思考与解决问题。）

二、观察归纳，得出特点

教师：通过观察，引导学生得出九连环的特点。

学生1：第一个环非常容易解下，同时也很容易套上，也即说明九连环的第一个环可以自由上下。

教师：那第二个环呢？也能自由上下吗？

学生1：在没有解下第一个环的时候，第二个环是能自由上下的，

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但是如果第一个环解下后，第二个环就解不下来。

教师：那第三个环呢？

学生1：我只想了两个环，第三个环还没有想到。

学生2：沿着学生1的思路下来，如果第一个环解下，第二个环虽然解不下来，但是第三个环可以自由上下。如果把第一和第二个环全部解下，此时第三个环却无法解下。

教师：能否得出九连环的特点呢？

学生3：如果想取下一个环，那么必须只能是它前面紧挨的那个环要在环柄上，除了这个环在环柄上，它前面的所有环都不在环柄上。

教师引导归纳出九连环的有以下三个特点：

（1）第1个环可以自由上下；

（2）要想解下第n个环（n2），则必须第n1环在环柄上，同时前面n2个环都不在环柄上。

（3）解下环与套上环是互逆的过程，故步数是一样的。

（设计意图：通过对九连环的观察、分析，提炼出九连环的本质属性，激发学习探究知识的自主性，培养学生的归纳能力。）

三、归纳猜想，得出结论

教师：解下九连环的最少步数是多少呢？

学生：应该要很多步吧！

教师：那么我们可以尝试解决一个简单一点的问题，就是分别算一下解下一环，二连环，三连环，四连环与五连环的最少步数是多少？

学生分组讨论并得出结论如下：

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用an来表示n连环的最少步数，则有

一环：

a11；

二连环：先解下第2个环，再解下第1个环，则a22；

三连环：先解下第1个环，再解下第3个环，接着套上第1个环，最后解下“二连环”，则a3111a22a1a21；

四连环：先解下“二连环”，再解下第4个环，套上“二连环”，最后解下“三连环”，则a4a21a2a32a2a31；

五连环：先解下“三连环”，再解下第5个环，套上“三连环”，最后解下“四连环”，则a5a31a3a42a3a41；

……

教师引导学生得出n连环的解法并写出递推关系式，其中n3

n连环：先解下“n2连环”，再解下第n个环，套上“n2连环”，最后解下“n1连环”，则anan21an2an12an2an11。

（设计意图：引导学生观察、归纳、猜想，培养学生合理的推理能力．学生在分组合作探究过程中，教师进行点评，并及时肯定、赞扬学生善于动脑、勇于创新的品质，激发学生的创造意识。）

四、模型建立，解决问题

教师：现在我们需要解决怎样的问题呢？能复述一下吗？

学生4：现在把九连环的问题转化为数列问题，已知a11，a22，当n3时，an2an2an11，求a9。

教师：要求a9，我们可以先求数列的通项。

学生分组讨论并教师的引导下得出用待定系数的方法来求通项，

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解决如下：

当n3时，an2an2an11，则anan12an22an11，

令bn1anan1，有bn12bn21，用待定系数法得

bn112bn21

则bn1为公比为2的等比数列，bn1b112n142n12n1，

bn2n11

anan1bn12n1 anan12n1

再用待定系数法，设anr2npan1r2n1p，

解得r，p，

2121an2nan12n1

32322n1则a2为公比为-1的等比数列，

n3221211n1n1an2na1211 32326an121n112n

6322312学生由数列的递推公式得出通项公式后，直接令n9，就可易得解下九连环的最少步数为341步。

（设计意图：主要是熟悉方法,使学生从中体会递推公式与通项公式之间的联系，熟练运用待定系数的方法求解数列问题。）

五、反馈练习：求斐波那契数列的通项公式。

（设计意图：斐波那契数列是一个非常优美的数列，也是由递推关系式可推导得出通项公式，不但让学生熟练地掌握待定系数的方

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法，同时也深入了解斐波那契数列在自然生活动中的运用。）

六、归纳总结。

【设计反思】

本设计从九连环模型导入，有助于发挥学生学习的主动性，增强学生学习数列的兴趣．在探索的过程中，学生通过分析、观察，归纳出数列模型，然后由递推关系式导出通项公式，强化了由具体到抽象，由特殊到一般的思维过程，有助于提高学生分析问题和解决问题的能力．本节课教学采用启发方法，以教师提出问题、学生探讨解决问题为途径，以相互补充展开教学，总结科学合理的知识体系，形成师生之间的良性互动，提高课堂教学效率。

最后，以一首诗作为对本文的结束，

现代·小黑

梦里苦解九连环，

醒来便把心放宽，

心地清净方为道，

退步原来是向前。

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