阅读与思考 九连环教学内容概述

2.5等比数列的前讲授新课

课本“国王对国际象棋的发明者的奖励”

n项和

如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1，公比是2，求第一个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总合就是求这个等比数列的前64项的和。下面我们先来推导等比数列的前n项和公式。

1、

等比数列的前n项和公式：

当q1时，Sa1(1qn)a1anqn1q

① 或Sn1q ②

当q=1时，Snna1

当已知a1, q, n 时用公式①；当已知a1, q, an时，用公式②. 公式的推导方法一：

一般地，设等比数列a1,a2a3,an它的前n项和是

Sna1a2a3an

由Sna1a2a3anaan1

n1q得Sa2n2an1n1a1qa1qa1q1qqSqa23n1n

na11qa1qa1qa1q(1q)Snna1a1q an∴当q1时，S1(1q)aanqn1q

① 或Sn11q ②

当q=1时，Snna1

公式的推导方法二：

有等比数列的定义，a2aa3aanq

12an1根据等比的性质，有a2a3anaaaSna1q

12n1Snan- 1 -

即

Sna1q(1q)Sna1anq（结论同上）

Snan围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式．

公式的推导方法三：

Sna1a2a3an＝a1q(a1a2a3an1)

＝a1qSn1＝a1q(Snan)

(1q)Sna1anq（结论同上）

有了等比数列的前n项和公式，就可以解决刚才的问题。

由a11,q2,n64可得

a1(1qn)1(1264)64==21。

Sn121q2641这个数很大，超过了1.841019。国王不能实现他的诺言。

等比数列的前n项和公式：

aanqa1(1qn)当q1时，Sn

① 或Sn1 ② 当q=1时，Snna1

1q1q思考：什么时候用公式（1）、什么时候用公式（2）？

（当已知a1, q, n

时用公式①；当已知a1, q, an时，用公式②.）

例1：求下列等比数列前8项的和．

（1）1111，，，… （2）a127,a9,q0

248243解：由a1=1111，q,n8,得 S84222111221128255.

256例2：某商场第一年销售计算机5000台，如果平均每年的售价比上一年增加10％，那么从第一年起，约几年内可使总销售量达到30000台（保留到个位）？

解：根据题意，每年销售量比上一年增加的百分率相同，所以从第一年起，每年的销售量组成一个等比数列{an},其中

- 2 -

5000(11.1n)30000.

a1=5000, q110%1.1,Sn30000, 于是得到11.1整理得1.11.6.两边取对数,得nlg1.1g1.6 用计算器算得n5(年). 答:约5年内可以使总销售量达到30000台. 例3．求和Snx2x23x3

解：由式子特点，两边同乘x，然后相减即得一等比数列的求和问题，但应注意公比的讨论．

⑴当x1时，Sn123nnxn(x0)．

nn(n1)．

2⑵

当x1时，Snx2x23x3nxn，

xSnx22x33x423nxn1

xnxnn1(1x)Snxxxx(1xn)nxn1．

1xx(1xn)nxn1．

Sn2(1x)1xn(n1)(x1)2．

Snnn1x(1x)nx(x0且x1)21x(1x)Ⅲ.课堂练习

课本P58的练习1、2、3 Ⅳ.课时小结

等比数列求和公式：

a1anqa1(1qn)当q=1时，Snna1；当q1时，Sn 或Sn. 1q1q(七) 课堂小结

特殊数列求和

一般情况下等比数列求和

T3012229Sna1a1qa1q2a1qn1

方程（组）思想：

知三求二

- 3 - 公式

应用

Ⅴ.课后作业

课本P61习题A组的第1、2题

六．

教学反思

本课的设计采用了课前下发预习学案，学生预习本节内容，找出自己迷惑的地方。课堂上师生主要解决重点、难点、疑点、考点、探究点以及学生学习过程中易忘、易混点等，最后进行当堂检测，课后进行延伸拓展，以达到提高课堂效率的目的。

2.5.2等比数列的前n项和(2)教案

二.讲授新课

1、Sn为等比数列的前n项和, Sn0

，则Sk,S2kSk,S3kS2k(kN*),是等比数列．

解：设等比数列an首项是a1，公比为q, ①当q=－1且k为偶数时，Sk,S2kSk,S3kS2k不是等比数列. ∵此时，SkS2kSkS3kS2k =0. (例如：数列1,－1,1,－1,…是公比为－1的等比数列，S2S4S2S6S4S2=0 ) ②当q≠－1或k为奇数时，Sk＝a1a2a3ak0

kS2kSk＝q(a1a2a3ak)0

2kS3kS2k＝q(a1a2a3ak)0

错位相减法

Sk,S2kSk,S3kS2k（kN）成等比数列．

评述：①注意公比q的各种取值情况的讨论，

②不要忽视等比数列的各项都不为0的前提条件．

- 4 -

2、设a为常数，求数列a，2a，3a，…，na，…的前n项和；

（1）a0时，Sn0

；

（2）a0时，若a1，则Sn123n23n1n(n1)；

2若a1，SnaSn(1aan1nan)，Sn

三．例题讲解

ann1[1(n1)ana]. 2(1a)例1已知等比数列{an}中, S420,S81640,求S12. 设问1:能否根据条件求a1和q ？

如何求？

一定要求q吗？(基本量的确定) 设问2:等比数列中每隔4项的和组成什么数列？ (探究等比数列内在的联系) 设问3:若题变: 数列an是等比数列,且Sna,S2nb,(ab0)求S3n

S2nSnbabaa2abb2nnq,S3nS2n(S2nSn)qb(ba)Snaaa

nanSqn引导学生归纳:若是等比数列,公比为q,则每隔n项的和组成一个首项为,公比为的等比数列.(学生类比等差数列相关结论) 解题首先考虑的是通法,先确定基本量a1,q然后再求和，其次分析题目的特点、内在结构,探索规律,并从特殊向一般推广，注意培养学生思维的严谨性. 例2.等差数列{an}中,a1=1,d=2,依次抽取这个数列的第1,3,3,…，3项组成数列{bn}, 求数列{bn}的通项和前n项和Sn. 解:由题意an =2n-1, 故bna3n123n11,

2n-1Sn=b1+b2+…+bn

=2(1+3+3+…+3)-n

=3-n-1. 例3求下列数列的前n项和．

⑴1,4,7,10,n2n-1,(1)n(3n2),；

- 5 -

⑵111,,,121231234,1123n,．

解：⑴n为偶数时，令n2k(kN)，

SnS2k14710(1)n(3n2)3k3n（相邻两项和为３）；

2n为奇数时，令n2k1(kN)，

SnS2k1S2ka2k13k(6k1)3n1．

23n1(n为奇数)2所以Sn．

3n(n为偶数)2点拨：本题运用了并项求和．

⑵an2112()

n(n1)nn11112n()]2(1)．

nn1n1n111111Sn2[(1)()()22334例4．某商店采用分期付款元的方式促销一款价格每台为6000电的脑.商规店定，购买时先支1付货款的3，剩余部分在三年内按每月底等额还款的方式支付欠款，且结算欠款的利息.已知欠款的月利率为0.5% 到第一个月底，货主在第一次还款之前，他欠商店多少元？

假设货主每月还商店达式. 每月的还款额为多少元（精确到0.01）？

引导学生,认真阅读题目,理解题意, 月底等额还款,即每月末还款数一样，

月底还款后的欠款数a元，写出在第i(i=1,2,36)个月末还款后，货主对商店欠款数的表yi与第i-1个月底还款后的欠款数yi1的关系是第yiyi1(10.05%a,()学生分析) 三年内还清转化为数学语言是: y360

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解(1)因为购买电脑时,货主欠商店22的货款,即60004000 (元),又按月利率0.5%到33第一个月底的欠款数应为4000(1+0.5%)=4020(元).即到第一个月底,欠款余额为4020元. (2)设第i个月底还款后的欠款数为yi,则有

y1=4000(1+0.5%)-a

y2=y1(1+0.5%)-a

=4000(1+0.5%)-a(1+0.5%)-a

2 y3=y2(1+0.5%)-a

y3=y2(1+0.5%)-a

=4000(1+0.5%)-a(1+0.5%)-a(1+0.5%)-a

32 

yi=yi1(1+0.5%)-a=4000(1+0.5%)-a(1+0.5%)ii1

-a(1+0.5%) 整理得

i2- -a, (10.5%)i1aii0.5% y =4000(1+0.5%)-.(i=1,2,,36) (3)因为y36=0,所以

(10.5%)361a360.5% 4000(1+0.5%)-=0 即每月还款数

4000(10.5%)360.5%121.6936(10.5%)1 a=(元) 所以每月的款额为121.69元.

解应用题先要认真阅读题目,一般分为粗读,细读,精读,准确理解题意,尤其是一些关键词:”等额还款”,”月利率”,”第i个月末还款后欠款表达式”等; 理解题意后,引导学生将文字语言向数字语言转化,建立数学模型,再用数学知识解决问题,并使原问题得到尽可能圆满的解答. - 7 -

四

反思总结，当堂检测。

教师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测：

1.如果将例4的还款期限从三年改为一年,其他条件不变,那么每次付款额a将是多少? 1 2.一套住房的建筑面积为100平方米,房价为9000元/平方米.买房者若先付房价的3,其余款进行商业贷款,次月开始还贷款,按每月等额还款的方式十年还清欠款,贷款十年的月利率是0.54%.按月结息,买房者每月应还款多少元?(精确到元) 数学建模的方法；

关注学生解题的规范性,准确度及速度.

五.课后小结 (引导学生归纳,教师提炼) (1)主要内容:公式的灵活运用,求和公式解决应用问题; (2)数学思想方法:分类讨论、方程、转化与化归等.

六．教学反思

：

本课的设计采用了课前下发预习学案，学生预习本节内容，找出自己迷惑的地方。课堂上师生主要解决重点、难点、疑点、考点、探究点以及学生学习过程中易忘、易混点等，最后进行当堂检测，课后进行延伸拓展，以达到提高课堂效率的目的。

板书：略

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