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a＋b§3.4

基本不等式：ab≤

2第1课时

基本不等式

学习目标

1.理解基本不等式的内容及证明.2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式.

知识点一

算术平均数与几何平均数

思考

如图，AB是圆O的直径，点Q是AB上任一点，AQ＝a，BQ＝b，过点Q作PQ垂直于AB且交圆O于点P，连接AP，PB.如何用a，b表示PO，PQ的长度？

ABa＋b答案

PO＝＝.易证Rt△APQ∽Rt△PBQ，那么PQ2＝AQ·QB，即PQ＝ab. 22a＋b梳理

一般地，对于正数a，b，为a，b的算术平均数，ab为a，b的几何平均数.两2个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，即ab≤知识点二

基本不等式及其常见推论

ab≤a＋b(a>0，b>0).当对正数a，b赋予不同的值时，可得以下推论：

222a＋b. 2a＋b2a＋b(1)ab≤2≤2(a，b∈R)；

ba(2)＋≥2(a，b同号)；

ab(3)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R).

1.对于任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2ab均成立.(×) 2.1＋2≥2.(√) 2a＋b3.若a>0，b>0，则ab≤恒成立.(×) 2高考资源网版权所有，侵权必究！

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类型一

常见推论的证明

例1

证明不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R). 考点

基本不等式的理解

题点

基本不等式的理解

证明

∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，

∴a2＋b2≥2ab. 引申探究

a＋b2a＋b证明不等式2≤2(a，b∈R). 证明

由例1，得a2＋b2≥2ab，

∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab，

a＋b2a＋b两边同除以4，即得2≤2，当且仅当a＝b时，取等号. 反思与感悟

作差法与不等式性质是证明中常用的方法. 跟踪训练1

已知a，b，c为任意的实数，求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 考点

基本不等式的理解

题点

基本不等式的理解

证明

∵a2＋b2≥2ab；b2＋c2≥2bc；c2＋a2≥2ca，

∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)，

即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，

当且仅当a＝b＝c时，等号成立. 类型二

用基本不等式证明不等式

例2

已知x，y都是正数. yx求证：(1)＋≥2；

xy(2)(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3. 考点

基本不等式证明不等式

题点

运用基本不等式证明不等式

证明

(1)∵x，y都是正数，

xy∴>0，>0，

yxyx∴＋≥2xy

2222yxyx·＝2，即＋≥2，

xyxy高考资源网版权所有，侵权必究！

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当且仅当x＝y时，等号成立. (2)∵x，y都是正数，

∴x＋y≥2xy>0，

x2＋y2≥2x2y2>0，x3＋y3≥2x3y3>0. ∴(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3) ≥2xy·2x2y2·2x3y3＝8x3y3，

即(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3，

当且仅当x＝y时，等号成立. 反思与感悟

利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项

(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”.

(2)注意事项：

①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用. 跟踪训练2

已知a，b，c都是正实数，求证：(a＋b)(b＋c)·(c＋a)≥8abc. 考点

基本不等式证明不等式

题点

运用基本不等式证明不等式

证明

∵a，b，c都是正实数，

∴a＋b≥2ab>0，b＋c≥2bc>0，c＋a≥2ca>0. ∴(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥2ab·2bc·2ca＝8abc. 即(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc，

当且仅当a＝b＝c时，等号成立. 类型三

用基本不等式比较大小

例3

某工厂生产某种产品，第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x(a，b，x均大于零)，则(

) a＋bA.x＝

2a＋bC.x＞

2a＋bB.x≤

2a＋bD.x≥

2考点

基本不等式比较大小

题点

利用基本不等式比较大小

答案

B 解析

第二年产量为A＋A·a＝A(1＋a)，

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第三年产量为A(1＋a)＋A(1＋a)·b＝A(1＋a)(1＋b). 若平均增长率为x，则第三年产量为A(1＋x)2. 依题意有A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)，

∵a＞0，b＞0，x＞0，

∴(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)≤1＋a＋1＋b22，

2＋a＋ba＋ba＋b∴1＋x≤＝1＋，∴x≤(当且仅当a＝b时，等号成立). 222a＋b反思与感悟

基本不等式≥ab一端为和，一端为积，使用基本不等式比较大小要擅于2利用这个桥梁化和为积或者化积为和. lga＋lgb跟踪训练3

设a＞b＞1，P＝lga·lgb，Q＝，

2a＋bR＝lg，则P，Q，R的大小关系是(

) 2A.R

B.P

C.Q

D.P

考点

基本不等式比较大小

题点

利用基本不等式比较大小

答案

B 解析

∵a＞b＞1，∴lga＞lgb＞0，

lga＋lgb∴＞lga·lgb，即Q＞P.①

2a＋b又＞ab>0，

2∴lga＋b1＞lgab＝(lga＋lgb)，即R＞Q.②

22综合①②，有P

1.若0

) a＋ba＋bA.a>>ab>b

B.b>ab>>a

22a＋ba＋bC.b>>ab>a

D.b>a>>ab

22考点

基本不等式的理解

题点

基本不等式的理解

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答案

C a＋b解析

∵0a＋b，∴b>>ab. 2a＋b∵b>a>0，∴ab>a2，∴ab>a.故b>>ab>a. 22.下列各式中，对任何实数x都成立的一个式子是(

) A.lg(x2＋1)≥lg(2x)

B.x2＋1>2x

1C.2≤1 x＋11D.x＋≥2 x考点

基本不等式的理解

题点

基本不等式的理解

答案

C 解析

对于A，当x≤0时，无意义，故A不恒成立；对于B，当x＝1时，x2＋1＝2x，故B1不成立；对于D，当x<0时，不成立；对于C，x2＋1≥1，∴2≤1成立.故选C. x＋13.四个不相等的正数a，b，c，d成等差数列，则(

) a＋da＋dA.>bc

B.

22a＋da＋dC.＝bc

D.≤bc

22考点

基本不等式的理解

题点

基本不等式的理解

答案

A 解析

因为a，b，c，d成等差数列，则a＋d＝b＋c，又因为a，b，c，d均大于0且不相a＋db＋c等，所以b＋c>2bc，故＝>bc. 224.lg9×lg11与1的大小关系是(

) A.lg9×lg11>1 B.lg9×lg11＝1 C.lg9×lg11<1D.不能确定

考点

基本不等式比较大小

题点

利用基本不等式比较大小

答案

C 解析

∵lg 9>0，lg 11>0，

∴lg 9×lg 11≤lg 9＋lg 112lg9×1122＝2

lg 992lg 1002＝2<2＝1，

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即lg 9×lg 11<1. 5.设a>0，b>0，给出下列不等式：

11a＋b＋≥4；

①a2＋1>a；②ab11＋≥4；④a2＋9>6a. ③(a＋b)ab其中恒成立的是________.(填序号) 考点

基本不等式的理解

题点

基本不等式的理解

答案

①②③

13a－2＋>0，故①恒成立；

解析

由于a2＋1－a＝2411由于a＋≥2，b＋≥2，

ab11a＋b＋≥4，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，故②恒成立；

∴ab11由于a＋b≥2ab，＋≥2ab1，

ab11故(a＋b)a＋b≥4，当且仅当a＝b时，等号成立，故③恒成立；

当a＝3时，a2＋9＝6a，故④不恒成立. 综上，恒成立的是①②③.

a＋b1.两个不等式a2＋b2≥2ab与≥ab都是带有等号的不等式，对于“当且仅当…时，取2a＋ba＋b等号”这句话的含义要有正确的理解.一方面：当a＝b时，＝ab；另一方面：当＝22ab时，也有a＝b. 2.在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或把恒等式变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式.

一、选择题

1.a，b∈R，则a2＋b2与2|ab|的大小关系是(

) A.a2＋b2≥2|ab| C.a2＋b2≤2|ab| B.a2＋b2＝2|ab| D.a2＋b2>2|ab| 高考资源网版权所有，侵权必究！

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考点

基本不等式的理解

题点

基本不等式的理解

答案

A 解析

∵a2＋b2－2|ab|＝(|a|－|b|)2≥0，∴a2＋b2≥2|ab|(当且仅当|a|＝|b|时，等号成立). 2.若a，b∈R且ab>0，则下列不等式中恒成立的是(

) A.a2＋b2>2ab B.a＋b≥2ab

112baC.＋>

D.＋≥2 ababab考点

基本不等式的理解

题点

基本不等式的理解

答案

D 解析

∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴A错误；

对于B，C，当a<0，b<0时，显然错误；

ba对于D，∵ab>0，∴＋≥2ab当且仅当a＝b时，等号成立. 3.若x>0，y>0且x＋y＝4，则下列不等式中恒成立的是(

) 11A.≥

x＋y4C.xy≥2 11B.＋≥1 xy1D.≥1 xyba·＝2，

ab考点

基本不等式比较大小

题点

利用基本不等式比较大小

答案

B x＋y解析

若x>0，y>0，由x＋y＝4，得＝1，

411111∴＋＝(x＋y)x＋y

xy4yx112＋＋≥(2＋2)＝1，

＝xy44当且仅当x＝y＝2时，等号成立. 4.如果正数a，b，c，d满足a＋b＝cd＝4，那么(

) A.ab≤c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值唯一

B.ab≥c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值唯一

C.ab≤c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值不唯一

D.ab≥c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值不唯一

考点

基本不等式的理解

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题点

基本不等式的理解

答案

A c＋d2解析

因为a＋b＝cd＝4，所以由基本不等式得a＋b≥2ab，故ab≤4.又因为cd≤，4所以c＋d≥4，所以ab≤c＋d，当且仅当a＝b＝c＝d＝2时，等号成立. 5.设f(x)＝lnx,0

) A.q＝r

B.p＝r

C.q＝r>p

D.p＝r>q

考点

基本不等式比较大小

题点

利用基本不等式比较大小

答案

B a＋b解析

因为0ab. 2又因为f(x)＝lnx在(0，＋∞)上单调递增，

所以f a＋b2>f(ab)，即p

2所以r＝p，故p＝r

) A.a＋b＋1≥22 ab11B.(a＋b)a＋b≥4 a2＋b22abC.≥2ab

D.>ab

a＋bab考点

基本不等式的理解

题点

基本不等式的理解

答案

D 解析

a＋b＋11≥2ab＋≥22，

abab2时，等号成立，A成立；

21＝4，

ab当且仅当a＝b＝11(a＋b)2a＋b≥2ab·当且仅当a＝b时，等号成立，B成立；

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∵a2＋b2≥2ab>0，

a2＋b2∴≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立，C成立；

ab∵a＋b≥2ab，且a，b∈(0，＋∞)，

2ab2ab∴≤1，≤ab. a＋ba＋b当且仅当a＝b时，等号成立，D不成立. 二、填空题

t＋117.设正数a，使a2＋a－2＞0成立，若t＞0，则logat________loga.(填“＞”“≥”“≤”22或“＜”) 考点

基本不等式比较大小

题点

利用基本不等式比较大小

答案

≤

解析

∵a2＋a－2＞0，∴a＞1或a＜－2(舍)，

∴y＝logax是增函数，

t＋1t＋11又≥t，∴loga≥logat＝logat. 2228.设a，b为非零实数，给出不等式：

a2＋b2a2＋b2a＋b2a＋babab①≥ab；②≥；③≥；④＋≥2.其中恒成立的不等式是222ba2a＋b________. 考点

基本不等式的理解

题点

基本不等式的理解

答案

①②

a2＋b22a2＋b2a2＋b2＋a2＋b2解析

由重要不等式a＋b≥2ab，可知①正确；＝＝≥24422a2＋b2＋2aba＋b2a＋b2a＋b＝＝，可知②正确；当a＝b＝－1时，不等式的左边为＝－1，4422ab1右边为＝－，可知③不正确；当a＝1，b＝－1时，可知④不正确. 2a＋ba－c9.已知a＞b＞c，则a－bb－c与的大小关系是______________________________. 2考点

基本不等式比较大小

题点

利用基本不等式比较大小

答案

a－ca－bb－c≤

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解析

因为a＞b＞c，所以a－b＞0，b－c＞0，

a－ca－b＋b－c所以＝≥a－bb－c，当且仅当a－b＝b－c时，等号成立. 2210.设a＞1，m＝loga(a2＋1)，n＝loga(a＋1)，p＝loga(2a)，则m，n，p的大小关系是________.(用“＞”连接) 考点

基本不等式比较大小

题点

利用基本不等式比较大小

答案

m＞p＞n

解析

∵a＞1，∴a2＋1＞2a＞a＋1，

∴loga(a2＋1)＞loga(2a)＞loga(a＋1)，故m＞p＞n. 三、解答题

bccaab11.设a，b，c都是正数，求证：＋＋≥a＋b＋c. abc考点

基本不等式证明不等式

题点

运用基本不等式证明不等式

证明

∵a，b，c都是正数，

bccaab∴，，也都是正数，

abcbccacaabbcab∴＋≥2c，＋≥2a，＋≥2b，

abbcacbccaab三式相加得2a＋b＋c≥2(a＋b＋c)，

bccaab即＋＋≥a＋b＋c，

abc当且仅当a＝b＝c时，等号成立. 12.已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：

111111＋1＋≥9. (1)＋＋≥8；(2)ababab考点

基本不等式证明不等式

题点

运用基本不等式证明不等式

11111a＋b11证明

(1)＋＋＝＋＋＝2a＋b，

abababab∵a＋b＝1，a>0，b>0，

11a＋ba＋bab∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，

ababba1111∴＋＋≥8(当且仅当a＝b＝时，等号成立). abab2(2)方法一

∵a>0，b>0，a＋b＝1，

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a＋b1b∴1＋＝1＋＝2＋，

aaa1a同理，1＋＝2＋，

bb11ba1＋1＋＝2＋2＋

∴ababba＝5＋2a＋b≥5＋4＝9，

1111＋1＋≥9(当且仅当a＝b＝时，等号成立). ∴ab2111111＋1＋＝1＋＋＋. 方法二

ababab111由(1)知，＋＋≥8，

abab1111111＋1＋＝1＋＋＋≥9，当且仅当a＝b＝时，等号成立. 故ababab2四、探究与拓展

13.设0

) A.logab＋logba≥2 B.logab＋logba≥－2 C.logab＋logba≤－2 D.logab＋logba>2 考点

基本不等式的理解

题点

基本不等式的理解

答案

C 解析

∵0

∴logab<0，logba<0，－logab>0，－logba＞0，

1－∴(－logab)＋(－logba)＝(－logab)＋logab≥2，

当且仅当ab＝1时，等号成立，

∴logab＋logba≤－2. 14.设x，y为正实数，且xy－(x＋y)＝1，则(

) A.x＋y≥2(2＋1)

B.xy≤2＋1 C.x＋y≤(2＋1)2

D.xy≥2(2＋1) 考点

基本不等式的理解

题点

基本不等式的理解

答案

A 高考资源网版权所有，侵权必究！

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解析

∵x，y为正实数，且xy－(x＋y)＝1，xy≤x＋y2x＋y2，∴22－(x＋y)－1≥0，解得x＋y≥2(2＋1)，当且仅当x＝y＝1＋2时取等号.

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