1.3 二项式定理（通用）课件配套优秀公开课教案设计

课堂“教”与“学”的预设方案

课题：二项式定理 主备人：张卫东 使用时间：2018.08.24 课时目标：

1、了解杨辉三角（贾宪三角）在我国古代数学中所占的地位及其构造方法。

2、能够根据简单的二项展开式应用不完全数学归纳法进行合情推理，得出杨辉三角形。

3、掌握二项展开式的特征及其通项公式。

4、能够应用二项式定理解决简单的数学问题。

学习重点：

二项式展开式的通项公式。

学习难点：

抓住二项式展开式的通项公式的特征解决相关问题。

目标落实程序

环节1：增乘开方法

问题：今有积五百二十九步，问为方几何？

解释：有一个正方形的地面积是529平方步，问这块地的边长是多少步？

解：设这块正方形的地的边长是x步，则

设x12101x2则x2=529

12设x=10x1则100(210x2)529

221001=529

40x21292

2129=5.291x

240x2x1=2

x23

设x2=3+10-2x3则

(3+10-2x3)2+40(3+10-2x3)=129

10-4x3+46×10-2x3=0

∴x=23

环节2：杨辉三角

实际上，我国古代的数学家在很早的时候就掌握了高次方程的解法，我们在解 x2=529时用的解法就是“简化版”的“增乘开方法”

。从中我们不难看出，至少宋代开始，我国的数学家已经能够熟练应用 (ab)2、(a+b)3的展开式解决实际问题。

设计意图

从我国古代数学家解高次方程的方法——增乘开方法入手，提升学生的学习兴趣的同时，渗透求无理数近似值得方法。

介绍贾宪的“开方做法本源图”和朱世杰的“古法七乘方图”。加深学生对我国古代数学的认识。

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环节3：以史为鉴

我国古代的数学家把未知数设为天元(x)、地元(y)、人元(z)，然后把它们的系数按照一定的顺序排列起来进行运算，类似于现代数学中的行列式。

如 把3x22x10表示为3

-2

1

0

(ab)01

1

(ab)1ab

1

1

(ab)2a22abb2

1

2

1

(ab)3a23a2b3ab2b3

1

3

3

1

环节3：增乘求廉法

以贾宪、杨辉、朱世杰为代表的我国古代数学家应用杨辉三角的目的是解高次方程，与我们现在的目的截然不同。他们应用“增乘求廉法”构造杨辉三角。

1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 问题：仔细观察杨辉三角，你能发现那些规律？

环节3：帕斯卡三角形

和中国古代的数学家不同，西方历史上的数学家就是单纯地研究二项式高次方的展开式。这是因为中国古代数学以应用为导向，西方数学以纯数学研究为导向。在西方也得出了类似杨辉三角的代数三角形，被称为帕斯卡三角形。

让学生认识到“元”的意义，书写的形式对数学的发展有一定的影响。

让学士认识到“条条大路通罗马”。多一种构造杨辉三角的方法。

通过本部分的学习，让学生体会由特殊到一般，根据数学直觉应用不完全归纳法得出二项式展开式。

(ab)01

1

(ab)1ab

1

1

(ab)n Cm

n(ab)2a22abb2

1

2

1

(ab)3a23a2b3ab2b3

1

3

3

1

环节4：二项式定理

结合杨辉三角总结二项二项式定理：设a、b是任意实数，n是任意给定的正整数，则

式系数的性质。

(ab)nC0anb0+C1n12n2b2++Cn0n

nnab+Cnanab

等号的右边的多项式叫 的二项展开式， 叫做该项的二

项式系数，二项展开式的通项公式为：

TCmm

m1nanbm

想一想：m+1、m、n-m的意义是什么？

变式一：令x=1,你能得出什么结论？环节5：二项式系数性质

变式二：令x=-1,你能得出什么结论？1、每一行中与首末两端

变式三：求(1+2x)6的展开式中x2的系数。

“等距离”的两个数

相等，也就是

让学生在总结本节课的CmCn-mn=n

学习步骤中提炼自学数学的方法。

2、当幂指数n是偶数时，那么它的展开式中间一项的二项式系数最大，如果n是奇数，那么二项式展开式中间两项的二项式系数最1、求(1+x)n的展开式。大并相等。

环节6：小试牛刀

环节7：三省吾身

1、我国古代数学家

解高次方程

杨辉三角

2、杨辉三角在西方的发展历程

帕斯卡三角

3、二项式定理的

内容、性质、通项公式

4、二项式定理的简单应用