阅读与思考 海伦和秦九韶ppt配套的教学设计方案

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教学内容

海伦公式与秦九韶公式

知识与技能：

1、理解海伦公式与秦九韶公式本质是一样的；2、会证明海伦公式与秦九韶公式，并理解海伦公式的本质；3、会用海伦公式解决相关问题。

过程与方法：

1、经历了证明海伦公式与秦九韶公式的过程中，让学生掌握运用正、余弦定理教学目标

解决利用三角形三边求三角形面积问题；2、会用海伦公式解决相关三角形三边和面积问题。

情感、态度与价值观：

1、通过理解秦九韶公式和海伦公式的本质，体会数学简洁美；2、通过了解海伦与秦九韶两位数学家的历史，渗透数学文化素养。

教学重点

证明秦九韶公式和海伦公式，并能运用海伦公式解决相关问题。

教学难点

海伦公式的本质

教学准备

多媒体平台

课时安排

1课时

第一课时

会证明秦九韶公式与海伦公式，理解它们的本质，并会用海伦公式解决相关问题。

一、复习引入

问题一：正弦定理，余弦定理的内容是什么？

问题二：三角形面积公式有哪些？

例（课本第17页例8）如图，某市在进行城市环境建设中，要把一个三角形的区域改造成市内公园，经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m，C88m，127m，这个区域的面积是多少？

A

B

【师生互动】学生自主练习，教师巡视并指点。

教学过程

【设计意图】复习已学过的知识引出本节课的内容，让学生有的放矢。

二、探索研究

问题三：通过上面例题的演算后，同学们已经知道如何利用三角形三边解决三角形面积问题。那么同学们能不能如同研究余弦定理一样，通过上面这个实际例子抽象出一个命题公式呢？

例：三角形ABC中，已知三角形三边a，b，c，求三角形ABC的面积S。

1c2a2b2解：cosB，sinB1cos2B且ScasinB。

22ca课时目标

2122c2a2b21c2a2b2ca

，即SSca14222ca

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【师生互动】学生尝试推理，教师点拨。

教师点评：上面利用三角形三边求三角形面积的公式，是我国南宋著名数学家秦九韶（约1202——1261）发现的，他把这种方法称为“三斜求积”。在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜。其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里。里法三百步。欲知为田几何。”这道题实际上就是已知三角形三边求三角形面积。《数书九章》中的求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上。以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实。一为从隅，开平方得积。”这个求法如果写成公式，就是上面我们推出来的公式。秦九韶被国外科学史家赞誉为“他那个民族，那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一。”

【设计意图】推理秦九韶公式是将课本例题中三角形边长字母化，所以学生完全可以在教师的点拨下推理出来。教师点评内容可以借助多媒体向学生展示，其目的是向学生渗透数学史的文化素养。

三、深入探究

问题四：同学们，平时我向你们倡议学数学，怎么简单怎么做。那么我们刚刚推出的秦九韶公式有点复杂，不太好记忆，有没有什么办法，将这个公式简化一下？

【师生互动】学生尝试将秦九韶公式进行化简，教师巡视后，板书化简过程。

122c2a2b2ca化简：S4221c2a2b2c2a2b2caca

422=1ac2b2b2ac21acbacbbacbca

1616abcabcabcabcabc

22221为了更进一步的美化我们推导的公式，我们令pabc，那么上面推导21的最后结果为Sppapbpc，其中pabc。

2教师点评：通过我们将秦九韶公式进行化简后，使得这个公式便于记忆了，那么这个公式其实是古希腊数学家阿基米德发现的，不过现在我们常以古希腊的数学家海伦命名这个公式，称此公式为海伦公式，因为这个公式最早出现在海伦的著作《测地术》中，并在海伦的著作《测量仪器》和《度量术》中给出证明。海伦公式的特点是形式很美，大家很容易记住公式。但是从本质上来说，海伦公式与秦九韶公式是一致的。

问题五：同学们仔细观察海伦公式，你们能说说海伦公式的本质吗？

【设计意图】通过让学生尝试记忆秦九韶公式发现，不好记忆，从而吸引学生将秦九韶公式进行化简，通过进一步的化简得到海伦公式，这一过程让学生理1解两个公式本质是一致的。对于令pabc，目的为问题五打伏笔的，2同时也是为了美化公式形式的。

四、例题分析

例1 已知三角形ABC中，边a=3，b=5，c=6，求三角形ABC的面积。

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例2 已知三角形ABC，三边满足cab,2abc，且三角形的周长为12，面积是6，试判断三角形的形状。

【设计意图】例1是常规题，主要是巩固海伦公式；例2是延伸题，让学生理解海伦公式不仅可以用来求三角形面积，有的时候，也可以用来判断三角形的形状。

五、课时小结：

让学生回顾本节课内容，并归纳求三角形面积公式。

六、课后练习：

如图，已知A、B是线段MN上的两点，MN=4，MA=1，MB>1。以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合乘一点C，构成三角形ABC，设AB=x。

（1）求x的取值范围；（2）若三角形ABC为直角三角形，求x的值；（3）探究：三角形ABC的最大面积。

安全提示

请同学们放学后注意安全，不要在马路上追逐打闹

课后练习：

如图，已知A、B是线段MN上的两点，MN=4，MA=1，MB>1。以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合乘一点C，构成三角练习设计

形ABC，设AB=x。

（1）求x的取值范围；（2）若三角形ABC为直角三角形，求x的值；（3）探究：三角形ABC的最大面积。

海伦公式与秦九韶公式 四、例题分析

板书设计

一、复习引入 五、课时小结

二、探索研究 多媒体平台 六、课后练习

三、深入探究

课后反思：命题的应用是命题教学的一个重要环节，学习命题的重要目的是应用命题去解决问题。所以，本节课从课本例8出发引出利用三边求三角形面积的命题，通过不断引导学生取演算得出秦九韶公式和海伦公式，理解这两个公式本质是一致的，从中介绍了秦九韶和海伦这两位历史伟大的数学家以及他们的一些事例，渗透了数学史的文化素养。本节课是继承传统教学模式，结合新课程的要求进行了一些改进和发展，利用波利亚怎样解题的数学思维的新方法以及“问题串”的手段，不断引导学生学习本节内容，帮助学生摸索自己的学习方法。

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