2.基本不等式课件配套优秀教案设计

基本不等式

适用学科

数学

适用年级

高二（理）

适用区域

知识点

通用

基本不等式的证明及其应用

课时时长（分钟）

120 1.知识与技能：通过“从生活中发现问题，实验中分析问题，设计中解决问题、总结问题，论证后延拓问题”五个环节使学生深刻理解均值不等式，明确均值不等式的使用条件，能用均值不等式解决简单的最值问题. 2.过程与方法：通过情境设置提出问题、揭示课题，培养学生主动探究新知的习惯；引导学生通过问题设计，模型转化，类比猜想实现定理的发现，体教学目标

验知识与规律的形成过程；通过模型对比，多个角度、多种方法求解，拓宽学生的思路，优化学生的思维方式，提高学生综合创新与创造能力. 3.情感态度与价值观：通过问题的设置与解决使学生理解生活问题数学化，并注重运用数学解决生活中的实际问题，有利于数学生活化、大众化；同时通过学生自身的探索研究领略获取新知的喜悦.

教学重点

基本不等式求最值

1．基本不等式的应用条件

教学难点

2．基本不等式的变形应用

教学过程

一、知识讲解

考点/易错点1 均值不等式

1、均值定理：如果a,bR,那么abab，当且仅当ab时等号成立

2语言叙述：两个正实数的算术平均值不小于它的几何平均值. 2、均值不等式的证明：

方法一：作差法

证明：因为a0,b0,所以2abab2abab2ab(ab)ab0

2222当且仅当ab时等号成立

方法二：几何法

令正实数a、b为两条线段的长,用几何作图的方法作出长度为然后比较这两条线段的长. （1）作线段ABab,使ADa, BDb;

a+bab

和ab的两条线段,2Cab（2）以AB为直径作半圆O

2A（3）过D点作CD⊥AB于D,交半圆于C （4）连接AC，BC，

CO，则

OC=

当ab时，OC>CD，即

当ab时，OC=CD，即aODbBab

CD=ab, 2abab, 2abab.

2

考点/易错点2

均值不等式的的常用变式及应用

1、均值不等式的变式

（1）a2b22ab(a,bR)；

（2）abab(a0,b0)；

2

（3）ba2(ab0)；

ab22

（4）ab(ab)2(a,bR). 22以上各式当且仅当ab时取等号，并注意各式中字母的取值要求. 2、若absa0,b0（和为定值），则当ab时，积ab取得最大值为s；

42

若ab

，则当ab时，和ab取得最小值为pa0,b0（积为定值）2p. 考点/易错点3 均值不等式应用的条件

基本不等式：ab2ab(a0,b0)，注意基本不等式的应用条件：“一正数，二定值，三相等”，即（1）各项或各因式为正；（2）和或积为定值；（3）各项或各因式能取得相等的值，必要时作适当变形..忽视这三个的任何一个都容易造成均值不等式的误用.在解题过程中观察不等式的结构，验证是否满足基本不等式的应用条件，当满足条件时，直接应用基本不等式即可；当不满足条件时，注意适当的“凑”、“拆”，再利用基本不等式.

二、例题精析

【例题1】

【题干】函数yx242x0的最小值是___________ ，对应x的值为________. x

【例题2】

2【题干】求函数yx3x4x2的最小值是________. x2

【例题3】

【题干】已知正数x、y满足811，则x2y的最小值是（

）

xyA．18

【例题4】

B．16

C．8

D．10 【题干】已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是（

）

A.

3

B.

4

C.

【例题5】

333【题干】如果a,b,cR，求证：abc3abc（当且仅当abc时，等号成立）

911

D.

22

三、课堂运用

【例题1】

【题干】设a,bR，若3是3a与3b的等比中项，则12的最小值为

. ab

【例题2】

【题干】若x2y1，则2x4y的最小值是______.

【例题3】

x27x10【题干】.y(x1)的最小值是

. x1

【例题4】

【题干】.y2x

【例题5】

【题干】若0yx

【例题6】

1,x3的最小值是

. x32,且tanx3tany,则xy的最大值为________.

【题干】如果正数a,b满足abab3，则ab的取值范围是

.

【例题7】

【题干】已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8，则2x+3y的最小值是（

）

A.

4

B.63-7

C. 8

D. 63+722

【例题8】

【题干】设abc0，则2a211aba(ab)10ac25c2的最小值是（

A.

2

B.

4

C. 25

D.

5

【例题9】

【题干】设a>b>0，则a21ab1aab的最小值是（

）

A．

1

B. 2

C. 3

D. 4

四、课后作业

【例题1】

【题干】设a，b是正数，证明不等式：（1）ba+ab2

（2）a+1a2

）

【例题2】

【题干】已知a≥1，证明不等式：

a+13. a1

【例题3】

【题干】设a，b，c是正数，证明不等式：abbcca8abc.

【例题4】

【题干】已知x，y是正数，xy1，证明不等式：114. xy

【例题5】

【题干】函数yx8x0的值域是___________. x

【例题6】

【题干】已知x0，y0，2xy20，则lgxlgy的最大值为__________.

【例题7】

2【题干】求函数yx8x1的最小值. x1

【例题8】

【题干】若正数a，b满足2ab2a4b5，则a+2b的取值范围是__________.

【例题9】

【题干】若x(2,2),xy1，求u49的最小值. 224x9y

【例题10】

a2b2【题干】已知a>1,b>1,证明：+8. b-1a-1

课程小结

1.理解均值不等式引出及证明过程

2.均值不等式的使用条件

3．会识别并应用均值不等式

4.培养一题多解，一题多变的能力