圆的面积公式推导特级教师教学实录

圆的面积教学设计

教学目标

1、知识与技能:(1)使学生理解圆的面积的含义。

(2)经历圆的面积计算公式的推导过程,能正确利用圆的面积计算公式计算圆的面积。

2、过程与方法:(1)在运用圆的面积相关知识解决问题的过程中,使学生进一步学会表达、学会交流,感受数学与生活的紧密联系。(2)使学生了解从“未知”到“已知”的转化过程,逐渐培养学生的抽象思维能力。

3、情感态度价值观:通过实例引入,让学生体验数学来源于生活,又服务于生活;向学生展示生动、活泼的数学天地,唤起学生学习数学的兴趣,使全体学生积极参与探索,在参与中体验成功的乐趣。教学重点:利用已有知识推导出圆的面积计算公式,并能正确计算圆的面积。

教学难点:利用已有知识推导出圆的面积计算公式。

教具、学具准备:CAI课件;把圆8等分、16等分和32等分的硬纸板若干个;剪刀。

教学过程:

(一)课前谈话

师:《曹冲称象》的故事,你们都知道吧?老师有个问题不明白,本来想知道大象的重量,曹冲为什么要称那些石头呢?

生:石头的重量和大象的重量相等。

师:你说的这点很关键,必须保证石头和大象的重量相等,这样称出的石头的重量就是大象的重量。那曹冲为什么不直接称大象呢?生:因为大象太重,不能直接称出大象的重量。

师:是呀,在当时的条件下,无法直接称出大象的重量,所以曹冲才想出用石头代替大象的方法。其实这也是我们数学学习中经常要用到的“转化”的方法。也就是当我们遇到新问题而不能直接解决时,可以把它转化成用已有的知识和方法能解决的问题。

(二)创设情境,导入新课

拿出一个圆,“这是什么图形?谁来说说各部分的名称?”

用手摸一摸圆的表面,“这是圆的什么?那什么是圆的面积呢?”

揭示:圆所占平面的大小就是圆的面积。

(三)尝试转化,推导公式

1、第一次探究:确定“转化”的策略。

你知道怎么求圆的面积吗?(学生沉默)大家好像遇到了困难,请你在大脑中搜索一下,以前我们研究一个图形的面积时,用到过哪些好的方法?

生:可以把新图形转化成已学过的图形,比如平行四边形可以通过剪拼转化成长方形求出面积。

师:那圆能不能转化成我们学过的图形呢?我们可以试一试。请大家利用手中的圆纸片和准备的工具在小组内研究研究。

(学生活动,教师巡视。)

学生汇报交流

生1:我们把圆纸片对折得到4个扇形,求出一个扇形的面积,再乘4就能得到圆的面积。扇形的面积不会求,但是扇形像我们学过的三角形。

师:把扇形当成三角形求出面积可以吗?

生2:不行,这样求出的面积比圆的面积小。

师:怎样让扇形和三角形的面积接近一些?(把表示1/4个圆的扇形纸贴在黑板上)一会儿可以继续研究。虽然这个小组折出的扇形不太像三角形,可老师觉得这种方法给了我们一个很重要的启示,那就是他们想把圆通过折一折转化成学过的三角形来求出圆的面积。(板书:折一折。)

生3:我们想把圆沿着半径剪成4个扇形,把这些扇形重新拼一拼,拼出的图形有些像平行四边形。

师:怎么让拼成的图形更像平行四边形,也可以再研究。现在,同学们有了两种思路,一种是把圆折一折,想转化成三角形;还有一种是想通过剪拼把圆转化成平行四边形。你们发现这两种方法的共同点了吗?

生:都是想把圆这个新图形转化成已经学过的图形求出面积。

师:说得太好了!抓住了问题的关键。(板书:转化。)

2、第二次探究,明确方法,极限探讨。

师:我发现一个问题,不管是折成的三角形,还是剪拼成的平行四边形都不是很像,怎么才能更像呢?这就是下面要研究的问题。请每个小组在两种思路中选择一种继续研究。

(小组合作,教师巡视指导。)

生1:我们把圆对折平均分成16份,折出的形状像是三角形。用一个三角形的面积乘三角形的个数就能得到圆的面积。折的份数越多,折出的形状越像三角形。

师:你们同意吗?这就是把圆折成16份时其中的一份(贴在黑板上),和刚才平均分成4份中的一份相比,确实像三角形了。如果想让折出的形状更接近三角形,怎么办?

生2:可以继续折纸,把圆平均分的份数再多一些.

师:你继续折给大家看看。(学生折起来很费劲)看来同学们再继续折纸有困难了,老师在电脑上给大家演示一下。这是同学们刚才把圆平均分成16份的形状(课件演示“正十六边形”),这一份看起来像是

32份,有什么变化?

(课件演示,并突出其中一份的形状。)分的份数更多点呢?

生:分的份数越多,其中的一份越像三角形。

师:是这样的吗?大家请看屏幕,(利用课件从4份开始演示,分的份数逐渐增加。)

生:(感觉很神奇)越来越接近三角形了。

师:和大家想的一样,把圆分的份数越多,其中的一份越接近三角形。

三角形的底可以看成这段弧，三角形的高可以看成是圆的半径。你们会求三角形的面积吗？三角形的面积会求了，就能求出圆的面积了。 生3：我们的结果是把圆平均分成8份，剪下来是8个近似的三角形，拼在一起是个近似的平行四边形。

师：哪个小组分的份数更多？

(教师让另一组展示自己平均分成16份后拼成的图形。)

师：如果要让拼成的图形比它还接近平行四边形，怎么办？ 生4：可以继续分下去，分成32份，64份，128份……

师：我们可以让电脑来帮忙。大家看，老师在电脑上把这个圆平均分了32份，看拼成新的图形，你有什么发现呢？(课件演示平均分成32份、64份、128份。)

生：最后简直就是长方形了。

师：把圆剪一剪、拼一拼，得到的图形越来越接近于长方形。这样就把求圆的面积转化成了求长方形的面积。我们把圆转化成了长方形，形状变了，什么没变呢？

生:面积。

师:求出了长方形的面积,也就求出了圆的面积,这种方法也很好。3、第三次探究,深化思维,推导公式。

师:刚才同学们借助学具通过动手操作,都找到解决问题的方法了。可是数学学习不仅需要动手操作,更需要借助数字、字母和符号等进行动脑思考和推理。那么,大家能不能还利用刚才选择的方法,推导出圆的面积计算公式呢?(师课件附上两种方法的示意图,分发学具,学生讨论,教师巡视指导)

生1:(剪拼法)把圆剪一剪、拼一拼变成了长方形,它们的面积是相等的。长方形的长相当于圆周长的一半,用C÷2=πr表示,宽相当于半径,用r表示。长方形的面积=长×宽,圆的面积=πr×r=πr2(实物投影呈现)。

生2：圆的面积=C÷32×r÷2×32=C×r÷2。生：把圆平均分成32份，三角形的底是C÷32，高是半径r。圆的面积=C÷32×r÷2×32=C×r÷2。

师：(结合学生的交流继续引导探索)C可以用2πr表示，2πr×r等于2πr2，2πr2除以2等于πr2。

师：刚才两个小组推导的结果都是πr2，真是条条大路通罗马呀。圆的面积可以用S表示，圆的面积计算公式就是：S=πr2。现在看来，求圆的面积需要什么条件就可以了？

生：圆的半径。

师：知道了半径，用π乘半径的平方就求出了圆的面积。

（四） 解决问题

1. 师：现在你能求我们黑板上圆的面积了吧？需要什么条件？这个圆的半径是10厘米，面积是多少呢？请大家做在练习本上。(请一名学生到黑板上板演。教师组织交流。)

2.

师：知道圆的半径可以求出圆的面积，那么，知道直径和周长能

不能求出圆的面积呢?(教师出示直径为6分米的圆和周长为12.56厘米的圆,学生思考后说出求面积的方法,即要求圆的面积必须先根据直径或周长求出圆的半径。)

师:这些问题下一节课我们还要继续进行更深入的研究。

(五)小结反思

师:时间过得很快,一节课就要结束了,大家有什么收获?(生谈体会)

师:同学们不仅学会了怎样计算圆的面积,更重要的是大家运用转化的方法,把圆这个新图形转化成了已经学过的图形,从而求出了圆的面积。以后大家遇到新问题,都可以尝试一下,看看能否把它转化成已经学过的知识来解决。