一 比较法优秀教学设计

基本不等式的证明方法之一：比较法

黄石有色第一中学 刘嘉娜

一、教材分析: 不等式是高中的重点也是难点，而本节内容比较法又是该章的重中之重。基本不等式的证明方法：比较法、分析法、综合法、反证法、放缩法、数学归纳法。为我们证明不等关系提供了主要的方法及应用。

二、学情分析：

本节知识是在学生已经学习了不等式的概念和基本不等式以及不等式的相关基本性质的基础上来学习的，学生已有一定基础，只是部分学生由于上课的状态和课后没有及时巩固到位，对前几节的基础铺垫知识理解掌握得不是很透彻，可能还存在一定理解和对新知识的接受的问题。

三、学科素养：数学运算、逻辑推理、数学建模

四、教学目标：

1．知识与技能

（1）了解不等式的证明方法——比较法基本思想；

（2）会用比较法证明不等式，掌握用作差比较法证明不等式；

（3）明确用比较法证明不等式的依据，以及“转化”的数学思想。

2．过程与方法

（1）培养学生渗透转化、分类讨论等数学思想；

（2）培养学生观察、比较、抽象、分析、解决问题能力；

（3）训炼学生思维的严谨性、灵活性、深刻性。

3．情感、态度与价值观

激发学习的内在动机，养成良好的学习习惯

五、教学重点：求差比较法证明不等式是本节课的教学重点；

六、教学难点：求差后，对差式进行变形，并判断符号是本节课教学难点. 七、教学准备：PPT课件，多媒体

八、教学方法：情景引导式、启发引导式、讲授式

九、教学过程设计

一、创设情景

观赏人与船，船与船的比较视频，拓展学生的知识面，引导学生寻找生活中的比较。

引例小朋友比高矮，可用差比法。长颈鹿比高矮可用商比法。

二、复习回顾

要比较两个实数的大小，只要考查它们的差的符号即可，即利用不等式的性质：

a＞b⇔a－b ＞

0 a＝b⇔a－b ＝

0 a＜b⇔a－b ＜

0 引例 比较x3x7和x4x6的大小.

解：因为 x3x7-x4x6 x210x21x210x2430

所以x3x7x4x6

引导学生回顾不等式的性质，并利用这个性质，运用逻辑推理解决问题。

三、典例精析（第一课时重点介绍差比法）

例1 已知a,b都是正数，且ab,求证a3b3a2bab2.

例题1依靠黑板板书来讲解。引导学生用作差法解决问题，在数学运算中，运用因式分解对多项式进行变形整理。再由已知条件逻辑推理出每个因式的正负号，从而判定符号，最终得出结论。

a例2如果用akg糖制出bkg糖溶液，则糖的质量分数为.bmkg糖，此时糖的质量分数增加到

若上述溶液中再添加将这个事实抽象成数学问题，并给出证明。

am.bm

例题2是一道实际应用题，需要引导学生从实际生活中出发，通过数学建模出数学问题，得出数学结论，并证明之。此结论若成立，以后可以推广应用。

四、巩固练习

1、证明：x2y294xy2、已知a,bR且ab1,ab,a1b121N,a1b1证明：MNM3、证明：1371722

32222

4、已知

a＜b＜c，求证：ab＋bc＋ca＜ab＋bc＋ca.

四道练习由学生板书完成，针对性评讲，重点突破第4题

五、课堂小结

（1）做差比较法，它的依据是：

a＞b⇔a－b ＞

0 a＝b⇔a－b ＝

0 a＜b⇔a－b ＜

0 （2）作差比较法解题的一般步骤：

①作差；②变形整理，③判定符号，④得出结论．

（3）变形整理常用的手段有：

因式分解，配方，通分，分子或分母有理化等．

六、课后练习