三 排序不等式第二课时教学实录

第三讲

柯西不等式与排序不等式

教学目标：

1、掌握柯西不等式的几种不同的形式，理解其几何意义。

2、通过运用柯西不等式分析解决一些问题；

3、了解排序不等式的数学思想和背景。

4、理解排序不等式的结构与基本原理，会用排序不等式解决简单的不等式问题。

知识梳理

[自我校对] ①一般形式的柯西不等式

②柯西不等式的三角形式

③反序和

④顺序和

⑤排序原理

典型例题

类型一

利用柯西不等式证明简单不等式

柯西不等式形式优美、结构易记，因此在解题时，根据题目特征灵活运用柯西不等式，可证明一些简单不等式．

已知a，b，c是实数，且a＋b＋c＝1，求证：13a＋1＋13b＋1＋13c＋1≤43. 【规范解答】

因为a，b，c是实数，且a＋b＋c＝1，令m＝(13a＋1，13b＋1，13c＋1)，

n＝(1,1,1)

则|m·n|2＝(13a＋1＋13b＋1＋13c＋1)2，

|m|2·|n|2＝3[(13a＋1)＋(13b＋1)＋(13c＋1)]

＝3[13(a＋b＋c)＋3]＝48.

∵|m·n|2≤|m|2·|n|2，

∴(13a＋1)＋13b＋1＋13c＋1)2≤48，

∴13a＋1＋13b＋1＋13c＋1≤43. [再练一题] a＋ba2b21．设a，b，x，y都是正数，且x＋y＝a＋b，求证：＋≥. 2a＋xb＋y【证明】

∵a，b，x，y都大于0，

且x＋y＝a＋b.

由柯西不等式，知

2b2aa＋x＋b＋y[(a＋x)＋(b＋y)]

ba2·a＋x＋·b＋y

≥a＋xb＋y＝(a＋b)2.

又a＋x＋b＋y＝2(a＋b)>0，

a＋ba2b2所以＋≥2. a＋xb＋y类型二

排序原理在不等式证明中的应用

应用排序不等式的技巧在于构造两个数组，而数组的构造应从需要入手来设计，这一点应从所要证的式子的结构观察分析，再给出适当的数组．

a2＋b2b2＋c2c2＋a2

例2

已知a，b，c为正实数，求证：a＋b＋c≤2c＋2a＋2b. 【规范解答】

由于不等式关于a，b，c对称，

111可设a≥b≥c>0.于是a≥b≥c，c≥b≥a.

222由排序不等式，得反序和≤乱序和，即

12121212121a2·＋b·＋c·≤a·＋b·＋c·abcbca，

12121212121及a·a＋b·b＋c·c≤a·c＋b·a＋c·b.

2以上两个同向不等式相加再除以2，即得原不等式．

[再练一题] 2．设a，b，c∈R＋，求证：a5＋b5＋c5≥a3bc＋b3ac＋c3ab. 【证明】

不妨设a≥b≥c＞0，则a4≥b4≥c4，

运用排序不等式有：

a5＋b5＋c5＝a×a4＋b×b4＋c×c4≥ac4＋ba4＋cb4.

又a3≥b3≥c3＞0，

且ab≥ac≥bc＞0，

所以a4b＋b4c＋c4a＝a3ab＋b3bc＋c3ca≥a3bc＋b3ac＋c3ab，

即a5＋b5＋c5≥a3bc＋b3ac＋c3ab. 类型三

利用柯西不等式、排序不等式求最值

有关不等式的问题往往要涉及到对式子或量的范围的限制，柯西不等式、排序不等式为我们通过不等式求最值提供了新的有力工具，但一定要注意取等号的条件能否满足．

例3

设a，b，c为正实数，且a＋2b＋3c＝13，求3a＋2b＋c的最大值．

【规范解答】

由于a，b，c为正实数，根据柯西不等式，知

1(a＋2b＋3c)3＋1＋3

＝[(a)2＋(2b)2＋

1222(3c)]3＋1＋

3213·a＋1·2b＋·3c2

≥3＝(3a＋2b＋c)2，

132∴(3a＋2b＋c)≤3，

2133即3a＋2b＋c≤3，

当且仅当a2b3c＝1＝1时取等号．

3331又a＋2b＋3c＝13，∴当a＝9，b＝2，c＝3时，

1333a＋2b＋c取得最大值为3. [再练一题] 3．已知实数a，b，c，d，e满足a2＋b2＋c2＋d2＋e2＝16.求a＋b＋c＋d＋e的最大值.

【解】

a＋b＋c＋d＋e＝a＋b＋c＋d＋e2

≤a2＋b2＋c2＋d2＋e212＋12＋12＋12＋12

≤16×5＝45，

所以a＋b＋c＋d＋e的最大值是45. 课堂训练

1．已知关于x的不等式|x＋a|

(1)求实数a，b的值；

(2)求at＋12＋bt的最大值．

【解】

(1)由|x＋a|

－b－a＝2，a＝－3，则解得

b－a＝4，b＝1.(2)－3t＋12＋t＝34－t＋t

≤[32＋12][4－t2＋t2]

＝24－t＋t＝4，

当且仅当4－tt＝1，即t＝1时等号成立，

3

故(－3t＋12＋t)max＝4. 2．已知a>0，b>0，c>0，函数f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c的最小值为4. (1)求a＋b＋c的值；

11(2)求4a2＋9b2＋c2的最小值．

【解】

(1)因为f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c≥|(x＋a)－(x－b)|＋c＝|a＋b|＋c，

当且仅当－a≤x≤b时，等号成立．

又a>0，b>0，所以|a＋b|＝a＋b，

所以f(x)的最小值为a＋b＋c.

又已知f(x)的最小值为4，所以a＋b＋c＝4.

(2)由(1)知a＋b＋c＝4，由柯西不等式，得

121224a＋9b＋c(4＋9＋1)≥

b118a2×2＋3×3＋c×12＝(a＋b＋c)2＝16，即a2＋b2＋c2≥.

49711a23bc818211当且仅当2＝3＝1，即a＝7，b＝7，c＝7时等号成立，故4a2＋9b2＋c2的8最小值是7.