小结教学评价实录

第二章

随机变量及其分布列小结与复习的教学设计

------------ 周师

一、教学目标：

知识与技能：

进一步熟悉基本概念和方法，构建知识网络，强化知识间的联系，形成解题技能。

过程与方法：

通过典型的错例分析，达到加深概念理解，强化解题技能形成的目的；

情感、态度与价值：

让学生探索、发现数学知识和掌握数学知识的内在规律的过程中不，不断获得成功积累愉快的体验，不断增进学习数学的兴趣，同时还通过探索这一活动培养学生善于和他人合作的精神. 二、教学重点、难点

重点：基本概念和基本解题方法

难点：各种概率类型的理解分辨

三、教学模式与教法、学法

教学模式：本课采用“探究——发现”教学模式．

教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导．

学法：突出探究、发现与交流．

四、教学过程

（一）知识梳理

1、随机变量：如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验的结果的不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量．

随机变量常用大写字母X、Y等或希腊字母

ξ、η等表示。

2、离散型随机变量：在上面的射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．

3、离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,..... ,xi ,......,xn

X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列

1

4、分布列性质① pi≥0, i =1，2，

… ；② p1 + p2 +…+pn= 1．

5、两点分布：如果随机变量X的分布列为：

其中0

6、超几何分布：一般地, 设总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n(n≤N)件,这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，

knkCMCNM则它取值为k时的概率为P(Xk)(k0,1,2,nCN,m)，

其中mminM,n,且n≤N,M≤N,n,M,NN*

7、条件概率：对任意事件A和事件B，在已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，叫做条件概率.记作P(B|A)，读作A发生的条件下B的概率

公式：

P(B|A)P(AB),P(A)0.P(A)

8、相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件。P(AB)P(A)P(B)xx。k.Com]

9、n次独立重复事件：在同等条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验

10、二项分布：

设在n次独立重复试验中某个事件A发生的次数，A发生次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是p，事件A不发生的概率为q=1-p，那么在n次独立重复试验中

k=0,1, ……,n，q=1-p ）

于是可得随机变量ξ的概率分布如下：

kknkpqP(k)Cn（其中

这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n，p) ，其中n，p为参数

11、数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为

2

则称 E（ξ）＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋…

为ξ的均值或数学期望又简称为期望．

12、特殊分布的均值

（1）两点分布数学期望：E(X)=np （2）二项分布，ξ

～ B（n,p），E（ξ）=np 13、方差:D(ξ)=(x1-Eξ)2·P1+（x2-Eξ)2·P2

+......+（xn-Eξ)2·Pn 叫随机变量ξ的方差。

14、特殊分布的方差

（1）两点分布D（X）=np（1-p）

（2）二项分布，ξ

～ B（n,p），Dξ=np（1-p），

（二）典例解析

1、题型一、求解概率的问题

我们已学过的几种典型事件有：古典概型、几何概型、互斥事件、相互独立事件、独立重复试验等等，求解这些事件的概率是概率中常见的题型，也是高考中必考查的内容之一．解决概率问题的基本步骤是：

第一步：确定事件的性质．古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验，把所给问题归结为四类事件的某一类．

第二步：判断事件的运算，和事件、积事件，确定事件有一个发生还是同时发生，分别运用相加或相乘公式．

第三步：运用公式求概率．

古典概型：P(A)＝. 条件概率：P(B|A)＝mnP(AB). P(A)独立事件：P(AB)＝P(A)P(B)．

kn－k二项分布：Pn(k)＝Ck. np(1－p)knkCMCNMPXknCN超几何分布：

[例1] 设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为(

)

3

646C4C6C480C10080C1080C20A.10

B.10 C.10 C100C100C1004C680C20D.10

C100[解析] 从100个球中任取10个球的方法有C10100种，从100个球中取10个64CC80204球，恰有6个红球的方法有C680·C20.所以其概率为10，故选D.以概率为背景，C100实则考查两个计数原理，排列组合的基本知识和基本方法是高考的热点题型，不过这类问题的难度不大，只要掌握古典概型成比例的求概率的基本思想方法，并能灵活地运用排列组合的思想方法即可解决问题．

变式训练1：

某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人恰有两次击中目标的概率为(

) 81A. 125

5436B. C.

125125232

27D.

12554[解析] 恰有两次击中目标的概率为C×(0.6)×(1－0.6)＝，所以选B. 125独立重复试验的概率是高考考查的热点问题，主要出现在选择题和填空题里，有时也会出现在解答题中，因此我们必须熟练地掌握解决这类问题的基本方法．

[例2]、某同学参加科普知识竞赛，需回答3个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分，100分，200分，答错或不答得0分，假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.7,0.6，且各题答对与否相互之间没有影响．

(1)求这名同学得300分的概率；

(2)求这名同学至少得300分的概率．

[解析] 记“答对第一个问题”为事件A，“答对第二个问题”为事件B，“答对第三个问题”为事件C，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.6.又它们相互独立，所以

（1）设M1表示事件“这名同学得300分”，即M1=(ABC)∪(ABC)，所以其概率为P（M1）=P(ABC)＋P(ABC) ＝P(A)·P(B)·P(C)＋P(A)·P(B)·P(C) ＝0.8×(1－0.7)×0.6＋(1－0.8)×0.7×0.6

4

＝0.228. M2=(ABC)∪(ABC)∪(ABC)．（2）设M2表示事件“这名同学至少得300分”，所以其概率为

P（M2）=P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC) ＝0.228＋P(A)P(B)P(C) ＝0.228＋0.8×0.7×0.6 ＝0.564. [点评] (1)求相互独立事件的概率一般采用以下解题步骤：①确定各事件是相互独立的；②确定各事件会同时发生；③先求每个事件发生的概率，再求其积．

(2)在解此类题时，要明确事件中的“至少有一个发生”、“至多有一个发生”、“恰有一个发生”、“都发生”、“都不发生”、“不都发生”等词语的含义，以免混淆．

111变式训练2．国庆节放假，甲、乙、丙去北京旅游的概率分别是，，.假定三345人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为 (

) A.59

60

31B. C. 52

D.1

6011[解析] 设甲、乙、丙去北京旅游分别为事件A，B，C，则P(A)＝，P(B)＝，34P(C)＝，P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，由于A，B，C相互独立，故A，B，C也相互独立，故P(A B

C)＝××＝，因此甲、乙、丙三人至少有123人去北京旅游的概率P＝1－P(A

B

C)＝1－＝. 552、题型二求离散型随机变量的均值与方差

求离散型随机变量的均值与方差是高考考查的重点内容之一，一定要熟练掌握．求离散型随机变量的均值与方差的一般步骤是：先列出随机变量X的分布列，再代入均值与方差的公式计算，另外还要熟记特殊分布(两点分布及二项分布)的均值与方差的计算公式

5 1523344523344525

[例3] 某运动员射击一次所得环数X的分布列如下表：

X

P

0～6 0 7 0.2 8 0.3 9 0.3 10 0.2 求X的均值、方差、标准差．

解：E(X)＝7×0.2＋8×0.3＋9×0.3＋10×0.2＝8.5. D(X)＝(7－8.5)2×0.2＋(8－8.5)2×0.3＋(9－8.5)2×0.3＋(10－8.5)2×0.2＝0.450＋0.075＋0.675＋0.450＝1.65，

D(X)＝1.65＝1.28. [点评] 已知随机变量的分布列求方差时，首先要计算均值，然后代入方差公式D(X)＝ (xi－E(X))2·pi，在应用方差公式时要注意(xi－E(X))2·pi中的平方，总之，分布列、均值、方差以及标准差这几个特征量是密不可分的，对它们的求解方法一定要熟练．

变式训练3、已知某运动员投篮命中率p＝0.6. (1)求一次投篮命中次数X的期望与方差；

(2)求重复5次投篮时，命中次数Y的均值与方差．

[分析] (1)投篮一次可能投中，也可能不中，投中次数X服从两点分布．

(2)重复五次投篮的投中次数Y服从二项分布．

[解析] (1)投篮一次命中次数X的分布列为

X

P

0 0.4 1 0.6 E(X)＝0×0.4＋1×0.6＝0.6，

D(X)＝(0－0.6)2×0.4＋(1－0.6)2×0.6＝0.24. 由二项分布期望与方差的计算公式，有

E(Y)＝5×0.6＝3，D(Y)＝5×0.6×0.4＝1.2. [点评] 求离散型随机变量的期望与方差的关键环节是以下两点：

(1)写出离散型随机变量的分布列；

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(2)正确应用均值与方差的公式进行计算(要熟练掌握两点分布、二项分布的期望与方差的公式)．

（三）课堂小结

①这本章最重要的知识点是什么？

②这本章最重要的学习方法是什么？

（四）作

业

课本77页第1、2、4题

五、教学反思

在解决问题中寻找知识的源头，深化学生对相关概念的理解，在分类中理清知识的脉络，加强学生对知识的深刻认识，归纳解题的方法。让解题带动复习，使学生对知识的理解更加理性深刻，使课堂显得活跃生动。不足之处：实例有待进一步精细、设计。

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