探究与发现 组合数的两个性质多媒体教案及点评

课题：组合数的两个性质

基本信息

学校

课名

学科（版本）

学时

山西省吕梁市交口县第一中学

组合数的两个性质

数学（人教A版）

1 教师姓名

章节

年级

邢晓玲

第一章1.3探究与发现

高二

【教学目标】

1.使学生掌握组合数的两个性质及证明方法。

2.使学生能利用组合数的两个性质进行运算，从而发展学生的思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力。

【教学重难点】

重点：组合数的两个性质及证明。

难点：组合数的两个性质及证明。

【教学方法】

启发式教学

【授课类型】

新授课

【课时安排】

1课时

【教学过程】

一、复习引入（抽取学生回答以下两个问题）

1.组合的定义

一般地，从n个不同元素中取出m(m<=n)个元素合成一组

，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。

2.组合数公式

C或

mnAAmnmmn(n1)(n2)(nm1)m!

Cmnn!*，其中n,mN,且mn.

m!(nm)!二、讲授新课

1.计算

C4与C4，C与C5，C与C7

31345723通过计算，你发现它们之间有什么规律？

2.归纳

由学生归纳得出3.求证CmnCn

nmCmnCn（和学生一起板演证明过程）

nm证明：

CCmnn!m！(nm)!n!n!

(nm)![n(nm)]!(nm)!m!nmnnmnmnCC4.结论：

性质1：CmnCn

nm

(1)性质的含义

从n个不同元素中取出m个元素后，必然剩下n-m个元素，因此从n个不同元素中取出m个元素的组合，与剩下的n-m个元素的组合一一对应。这样，从n个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个不同元素中取出n-m个元素的组合数。于是我们有

CmnCn

nm

(2)公式特点

左右两边下标相同，上标之和等于下标。

5.典例

例1 计算解：

C9和C100（抽取两位学生上台板演解答过程）

927989836921

10099982C100C100214950CC7注：（1）当mn时使用该性质。

2

（2）当mn时，Cn1,Cn1.故CnCn，所以上式仍成立。

n0nm

例2

解方程解：

Cx113C132x-32x-3

C13C13x1(x1)(2x3)13或x12x3x5或x4

例3 一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球。

(1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？

(2)从口袋内取出3个球，使其中含有一个黑球，有多少种取法？

(3)

从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？

解: (1)C8563(2)C721322(3)C735

33观察上述结论，可得6.思考：从C8C7C7

3nn1a,a,a,,a,a12这n+1个不同的元素中取出m个元素。

mn1(1)

可以有多少个不同的组合？

(2)

在这些组合里有多少个是含有C

m1na？

1C

mn(3)

在这些组合里有多少个是不含有a？

1C

mm1m(4)

从上面的结果可以得到一个怎样的公式？

7.求证Cn1CnCn

Cn1CnCn。

mmm1m证明：

CnCnm1n！n!(m1)!(nm1)!m!(nm)!mn![(n1)m]n!

m![(n1)m]!m![(n1)m]!(n1)!mCn1m![(n1)m]!Cn1CnCn8.结论

mm1m

性质2：Cn1CnCn

mm1m(1)性质的含义

在确定从(n+1)个不同元素中取m个元素的方法时，对于某一元素，只存在着取与不取两种可能。如果取这一元素，则需从剩下的n个元素中再取出(m-1)个元素，共有法；如果不取这一元素，则需从剩下的n个元素中取出m个元素，共有类加法计数原理得Cm1n种方Cmn种方法。由分Cn1CnCn

mm1m（2）公式特点

左边下标为n+1,右边下标为n，相差1；左边上标与右边一项的上标相同，右边另一项的上标比左边上标少1。

三、例题讲解

例3 利用组合数的性质进行计算

(1)C12C12(2)C8C73423256256(3)C7C7C8C922

(4)C2C3C4C100解：

(1)C12C12C13(2)C8C7333222566(4)C2C3C4C100C3C3C4C10063332222222C7C7C7C7345(3)C7C7C8C9C8C8C9C9C9C10例4 求证：

证明：

656456

C4C4C100C5C100C1013222

Cn1CnCn-1Cn1

m1mm1m1mmmm1mm1右边CnCn-1Cn1CnCnCn1左边

得证.

四、课堂练习

1.计算：2.求证：3.求值：C200和Cn1Cn

CCm1n197nn1Cn2CnCn2

Cn21

3nm1mm138n3n五、课堂小结

CmnCn

nm性质

证明

Cn1CnCn

mm1m

简化计算

应用

等式证明

六、作业布置

1.证明：

2.求值：CnCn1Cn2Cnm1Cnm2

C3C4C5C6C41

5x5316123439nnnnn13.解下列方程

(1)C16C(2)xCAx1xxx24Cx1x3