2.1.2 演绎推理优质课教案设计

2020届2018—2019学年第二学期高二数学选修2-2,1-2《推理与证明》导学案03 演绎推理

[学习目标]

1.体会演绎推理的重要性(重点)．

2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理(难点)．

3．了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系(难点)．

[问题导学] 1．演绎推理

(1)含义：从一般性的原理出发，推出某个

的结论，这种推理称为演绎推理．

(2)特点：演绎推理是由

到

的推理．

温馨提示

演绎推理中，大前提正确，结论不一定正确．

2．三段论

名称

大前提

小前提

结论

根据一般原理，对特殊情况做出的判断

一般模式

常用格式

M是P

S是M

S是P

温馨提示

“三段论”不是演绎推理，只是演绎推理的一般模式．

[预习自测] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．

(1)演绎推理的结论一定正确．(

) (2)演绎推理是由特殊到一般再回到特殊的推理．(

) (3)三段论中，大前提正确，小前提正确，推理过程正确，则结论正确．(

) 2．对于推理：若a>b，则a2>b2，因为1>－2，所以12>(－2)2，以下说法中正确的是(

) A．大前提错误

C．推理形式错误

B．小前提错误

D．不是演绎推理

3．下面几种推理中是演绎推理的是(

) A．因为y＝2x是指数函数，所以函数y＝2x经过定点(0，1) 1111B．猜想数列，，，…的通项公式为an＝(n∈N*) 1×22×33×4n（n＋1）x2y2C．由圆x＋y＝r的面积为πr猜想出椭圆2＋2＝1的面积为πab

ab2222D．由平面直角坐标系中圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，推测空间直角坐标系中球的方程为

(x－a)2＋(y－b)2＋(z－c)2＝r2

4．已知a＝5－1，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)＞f(n)，则m，n的大小关系是_________．

25．推理过程“大前提：________，小前提：四边形ABCD是矩形，结论：四边形ABCD的对角线相

1

班级：

学号：

姓名：

等．”应补充的大前提是_______________________________．

[合作探究]

类型1：用三段论写出演绎推理的一般模式：

例1、用三段论的形式写出下列演绎推理：

(1) 一切奇数都不能被2整除，35不能被2整除，所以35是奇数；

(2) 菱形对角线互相平分；

(3) 0.32是有理数；

(4) y＝sinx(x∈R)是周期函数．

类型2、

演绎推理在几何证明中的应用 例2、如图所示，在锐角三角形ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，D，E是垂足，求证：AB的中点M到点D，E的距离相等．

归纳：应用“三段论”证明问题时，要充分挖掘题目外在和内在条件(小前提)，根据需要引入相关的适用的定理和性质(大前提)，并保证每一步的推理都是正确的、严密的，才能得出正确的结论．如果大前提是显然的，则可以省略．

变式1、如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点．

求证：EF∥平面BCD.

类型3 演绎推理在代数证明中的应用

例3、

已知函数f(x)＝ax＋

2 x－2(a>1)，求证：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．

x＋1

2020届2018—2019学年第二学期高二数学选修2-2,1-2《推理与证明》导学案03 归纳：演绎推理在代数证明中的常见应用是：

(1)函数类问题：比如函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性等；

(2)导数的应用：利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和最值，证明与函数有关的不等式等；

(3)三角函数问题：利用三角函数公式进行三角恒等变换，证明三角恒等式；

(4)数列问题：数列的通项公式，前n项和公式的应用，证明等差数列和等比数列；

(5)不等式类问题：如不等式恒成立问题，线性规划以及基本不等式的应用问题．

变式2

已知数列{an}满足a1＝1，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n∈N*)．

(1)证明：数列{an

＋1－an}是等比数列；

(2)求数列{an}的通项公式．

[学习小结] 1．对于“三段论”应注意两点：

(1)“三段论”的模式包括三个判断：第一个判断是大前提，它提供了一个一般性的原理；第二个判断叫做小前提，它指出了一种特殊情况，这两个判断联合起来，揭示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断——结论．

(2)应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述的简洁，如果前提是显然的，则可以省略．

2．演绎推理与合情推理的区别．

归纳和类比是常用的合情推理，从推理形式上看，归纳是由部分到整体、由个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理．从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确．就数学而言，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程，但数学结论、证明思路等的发现，主要靠合情推理．

[课后练习] 一、选择题

1．演绎推理是由(

) A．部分到整体，个别到一般的推理

B．特殊到特殊的推理

C．一般到特殊的推理

D．一般到一般的推理

2．有一段演绎推理是这样的：“若直线平行于平面，则平行于平面内所有直线，已知直线b在平面α外，直线a在平面α内，直线b∥平面α，则直线b∥直线a.”结论显然是错误的，这是因为(

) A．大前提错误

B．小前提错误

C．推理形式错误

D．非以上错误

3．下列四类函数中，具有性质“对任意的x＞0，y＞0，函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)”的是(

) A．幂函数

B．对数函数

C．指数函数

D．余弦函数

3

班级：

学号：

姓名：

4．下面几种推理过程是演绎推理的是(

) A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A和∠B是两条平行线的同旁内角，那么∠A＋∠B＝180°

B．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质

C．某高校共有10个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人

11D．在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋a(n≥2)，由此归纳出{an}的通项公式

2n－15．有这样一段演绎推理：“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数．”结论显然是错误的，这是因为(

) A．大前提错误

B．小前提错误

C．推理形式错误

D．非以上错误

二、填空题

6．用演绎推理证明“y＝sin x是周期函数”时的大前提为___________，小前提为________________．

7．在求函数y＝log2

x－2的定义域时，第一步推理中大前提是当a有意义时，即a≥0；小前提是log2

x－2有意义；结论是_______．

x2＋18．关于函数f(x)＝lg (x≠0)，有下列命题：①其图象关于y轴对称；②当x＞0时，f(x)为增函数；|x|③f(x)的最小值是lg 2；④当－1＜x＜0，或x＞1时，f(x)是增函数；⑤f(x)无最大值，也无最小值．其中正确结论的序号是________．

三、解答题

9．设m为实数，利用三段论求证方程x2－2mx＋m－1＝0有两个相异实根．

10.如图所示，已知A，B，C，D四点不共面，M，N分别是△ABD和△BCD的重心．

求证：MN∥平面ACD(写出每一个三段论的大前提、小前提、结论)．

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