3.2.2 复数代数形式的乘除运算教学设计

§3.2.2复数代数形式的乘除运算

【学习目标】

1.理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算；

2.理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化问题；

【重点难点】

重点：复数代数形式的除法运算. 难点：对复数除法法则的运用. 【学法指导】

复数乘法运算是按照多项式与多项式相乘展开得到，在学习时注意将i换成1；除法是乘法的逆运算，所以复数的除法运算可由乘法运算推导获得，但是也可由互为共轭复数的两个复数的乘积为实数，先将复数的分母实数化，再化简可得，学习时注意体会第二种方法的优势和本质. 2【知识链接】

1.复数z1与z2的和的定义：z1z2abicdiacbdi；

2.复数z1与z2的差的定义：z1z2abicdiacbdi；

3.复数的加法运算满足交换律:z1z2z2z1；

4.复数的加法运算满足结合律: z1z2z3z1z2z3；. 【新课探究】

探究一、复数的乘法运算

引导1:乘法运算规则

设z1abi、z2cdia,b,c,dR是任意两个复数，规定复数的乘法按照以下的法则进行：

z1z2 其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i换成－1，并且

把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数. 例1已知z1=1-2i, z2=3+4i, z3=-2+i，求：

①z1 z2=

②z2 z1

=

③(z1 z2) z3=

④z1( z2 z3)= 2

⑤z1( z2+ z3)=

⑥z1 z2

+ z1z3=

引导2观察上述结果，猜想复数乘法满足的运算律，

（1）z1z2z2z1

（2）z1z2z3z1z2z3

（3）z1z2z3z1z2z1z3

点拨：两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数

学生练习1P60第1题

（4）实数的乘法公式对复数适用吗（做例2）

2 例2：计算（1）（2+3i）(2-3i) （2）（1+i）

引导3.共轭复数：当两个复数的实部_____，虚部互为____时，这两个复数叫做互为__________.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做____________，通常记复数z=a+bi的共轭复数为

z=a-bi 思考（1）z1=2+3i和z2=2-3i；z3=2i和z4=-2i在复平面内所对应的点有怎样的位置关系？请动手试试 （2）z1•z2是一个怎样的数？

学生练习2 P60 第2题

探究二、复数的除法运算

引导1：复数除法定义：

满足cdixyiabi的复数xyix,yR叫复数abi除以复数cdi 的商，记为：abicdi或者引导2：除法运算规则：

利用cdicdicd.于是将222abicdi0. cdiabi的分母实数化得：

cdi原式=abi(abi)(cdi)[acbi(di)](bcad)i

22cdi(cdi)(cdi)cd(acbd)(bcad)iacbdbcad22i. 2222cdcdcd

∴(a+bi)÷(c+di)=acbdbcadi. c2d2c2d2点拨：利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数cdi与复数cdi，相当于我们初中学习的31的有理化因式式31，它们之积为2，是有理数，而cdicdic2d2是正实数.所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化法

例3 计算（1+2i）÷（3-4i）

总结：复数除法的步骤

①先把除式写成分式的形式

②分子分母同乘以分母的共轭复数，进行分母实数化

③化简结果写成a+bi形式

学生练习 3. 计算

（1） （2） (1i)(1i)2i(2i) （3）

2i)(1-i)（1i）(2i)（4）(1

4 . P60 第3题

拓展练习

计算(14i)(1i)24i

34i引导:可先将分子化简，再按照除法运算方法计算，注意计算的准确性.

点拨：对于混合运算，注意运算顺序，计算准确.

【总结反思】

1：通过本节课的学习，你掌握了什么知识？

(1)复数的乘法法则，需要记式子吗？运用时可类比_____式的乘法得到。

(2)实数系的运算律、公式，对复数的乘除运算是否依然适用？比如哪些公式？

共轭复数z和z对应的点有怎样的位置关系？

(3)什么是共轭复数？

(4)复数的除法法则，需要记式子吗？运用时可通过分母______法推导得到，推导分几个步骤？

2：你主要体会和运用了什么数学思想方法？

【课后作业】

p61

A组

4,5题

复数代数形式的乘除运算导学案

成都列五中学大邑分校

王婷

2014.6.4

【学习目标】

1.理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算；

2.理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化问题；

【重点难点】

重点：复数代数形式的除法运算.

难点：对复数除法法则的运用. 【旧知重现】

1．复数代数形式的加减法运算：

2．多项式的乘法

【新知探究】

探究1,复数的乘法法则

类比多项式的乘法，探究两个复数相乘的结果：

（a +bi）（c +d i）=

例1已知z1=1-2i, z2=3+4i, z3=-2+i，求：

①

z1 z2=

②z2 z1

=

②

(z1 z2) z3=

④z1( z2 z3)=

⑤z1( z2+ z3)=

⑥z1 z2

+ z1z3=

探究2 观察上述结果，猜想复数乘法满足的运算律，

1.练习P60

第1题

例2

计算

(1) （2+3i）(2-3i)

(2)

(1+i)2

探究3.共轭复数：当两个复数的实部_____，虚部互为____时，这两个复数叫做互为__________.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做____________，通常记复数z=a+bi的共轭复数为

z=a-bi

思考（1）z1=2+3i和z2=2-3i；z3=2i和z4= -2i在复平面内所对应的点有怎样的位置关系？请动手试试

（2）z1•z2是一个怎样的数？

2.练习p60

第2题

探究4

复数的除法法则

abiabicdi

= cdi

cdi0

例3 计算（1+2i）÷（3-4i）

3.练习

计算

（1）2i÷(2-i)

(2)(1-i) ÷(1+i)

(3)（1+i）÷(2-i)

(4)(1-2i) ÷(1-i)

4.练习：P60第3题

(14i)(1i)24i34i拓展练习

计算的共轭复数

【总结反思】

1：通过本节课的学习，你掌握了什么知识？

(1)复数的乘法法则，需要记式子吗？运用时可类比_____的乘法得到。

(2)实数系的运算律、公式，对复数的乘除运算是否依然适用？比如哪些公式？

(3)什么是共轭复数？

共轭复数

z

和

z

对应的点有怎样的位置关系？

(4)复数的除法法则，需要记式子吗？运用时可通过分母______法推导得到，推导分几个步骤？

2：你主要体会和运用了什么数学思想方法？

【课后作业】

p61

A组

4,5题