1.1 回归分析的基本思想及其初步应用教学设计案例

一、教学目标

1.1回归方程的基本思想及其应用

1.了解回归分析的必要性及其一般步骤. 2.了解随机误差的概念. 3.会作散点图，并会求回归直线方程. 4.利用残差分析来判断线性回归模型的拟合效果. 5.掌握建立回归模型的基本步骤，并通过实例进一步学习回归分析的基本思想及其初步应用．

二、教学重难点

1.会作散点图，并会求回归直线方程. 2.利用残差分析来判断线性回归模型的拟合效果. 三、教学安排

(一)新课讲解

知识点一

回归分析的相关概念

思考1

相关关系是确定性关系吗？

思考2

请问产生随机误差的主要原因有哪些？

梳理

(1)回归分析是对具有____________的两个变量进行统计分析的一种常用方法．若两个变量之间具有线性相关关系，则称相应的回归分析为________________．

^^(2)线性回归方程为______________，且b＝__________________，a＝__________，其中x＝1n1nxi，y＝yi，__________称为样本点的中心，回归直线一定过样本点的中心．

nini＝1＝1(3)样本点散布在某一条直线的附近，而不是在一条直线上，所以不能用一次函数y＝bx＋a来描述它们之间的关系，而是用线性回归模型__________________来表示，其中__________为模型的未知参数，________称为随机误差，自变量x称为________变量，因变量y称为________变量．

知识点二

回归模型的模拟效果

思考

如何评价回归模型拟合效果的优劣？

梳理

残差

残差图

残差图法

^把随机误差的估计值ei称为相应于点(xi，yi)的残差

作图时纵坐标为________，横坐标可以选为____________，或__________，或__________等，这样作出的图形称为残差图

残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合

适，这样的带状区域的宽度________，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高

残差平方和

残差平方和为________________，残差平方和________，模型的拟合效果越好

R2＝1－______________，R2表示________变量对于________变量变化的贡献率，R2越接近于1，表示回归的效果越好

相关指数R2

（二）典例分析

类型一

求线性回归方程

例1

某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据：

x y (1)请画出上表数据的散点图；

^^^6

2

8

3

10

5

12 6 (2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y＝bx＋a；

(3)试根据求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力．

^i＝1xiyi－nx·y^n2^n(相关公式：b＝，a＝y－bx) i＝1x2i－nx

反思与感悟

跟踪训练1

假设关于某设备的使用年限x(年)和所支出的维修费用y(万元)有如下的统计数据：

x y

由此资料可知y对x呈线性相关关系．

(1)求线性回归方程；(2)求使用年限为10年时，该设备的维修费用为多少？

类型二

线性回归分析

2

2.2

3

3.8

4

5.5

5

6.5

6 7.0

例2

为研究质量x(单位：克)对弹簧长度y(单位：厘米)的影响，对不同质量的6个物体进行测量，数据如表所示：

x y

(1)作出散点图并求线性回归方程；(2)求出R2；(3)进行残差分析．

引申探究

1．在条件不变的情况下，画出残差图．

2．当x＝35时，估计y的值．

反思与感悟

跟踪训练2

关于x与y有如下数据：

x y

^^5

7.25

10

8.12

15

8.95

20

9.90

25

10.9

30 11.8 2

30

4

40

5

60

6

50

8 70 有如下的两个线性模型：(1)y＝6.5x＋17.5；(2)y＝7x＋17.试比较哪一个拟合效果更好．

（三）当堂练习

1．某产品在某零售摊位的零售价x(单位：元)与每天的销售量y(单位：个)的统计资料如下

表所示：

x y ^^^16

50

^17

34

18

41

19 31 由上表可得线性回归方程y＝bx＋a中的b＝－4，据此模型预测零售价为15元时，每天的销售量为(

)A．51个

B．50个C．49个D．48个

2．下表是x和y之间的一组数据，则y关于x的回归直线必过(

) x y 1

1

2

3

3

5

4 7 A.点(2,3)

B．点(1.5,4)C．点(2.5,4) D．点(2.5,5) 3．若一组观测值(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)之间满足yi＝bxi＋a＋ei(i＝1,2，…，n)，且ei恒为0，则R2为________．

4．面对竞争日益激烈的消费市场，众多商家不断扩大自己的销售市场，以降低生产成本．某白酒酿造企业市场部对该企业9月份的产品销量x(单位：千箱)与单位成本y(单位：元)的资6672料进行线性回归分析，结果如下：x＝，y＝71，xi＝79，xiyi＝1 481.则销量每增加2i＝1i＝11 000箱，单位成本下降________元．

5．已知x、y之间的一组数据如下表：

x y

222(1)分别计算：x、y、x1y1＋x2y2＋x3y3＋x4y4、x1＋x22＋x3＋x4；

0

1

1

3

2

5

3 7 (2)已知变量x与y线性相关，求出回归方程．