1.3 二项式定理（通用）教学评价实录

二项式定理

【考纲要求】掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能运用它们计算和论证一些简单问题。

【基础知识】

0n1n12n22rnrrnn1.二项式定理：(ab)nCnaCnabCnabCnabCnb

rnrr2.二项式通项公式：Tr1Cnab

（r=0,1,2,…,n）

3.二项式系数的性质：

(ab)n的展开式的二项式系数有如下性质：

（1）在二项展开式中，与首末两项“等距离”的两项的二项式系数相等。

（2）如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；

如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等且最大。

012n2n1n（3）

CnCnCnCnCnCn2n 024135（4）CnCnCnCnCnCn2n1

（奇数项二项式系数之和等于偶数项二项式系数之和）

4.二项展开式的系数a0,a1,a2,a3,…,an

的性质：

23n f(x)= a0+a1x+a2x+a3x……+anx⑴

a0+a1+a2+a3……+an=f(1)

⑵

a0-a1+a2-a3……+(-1)nan=f(-1) f(1)f(1)⑶

a0+a2+a4+a6……=

2f(1)f(1)⑷

a1+a3+a5+a7……=

2⑸

a0=f(0)

⑹

|a0|+|a1|+|a2|+|a3|……+|an|= 5.

注意（1）奇数项、偶数项、奇次项、偶次项各自表示的意义。

（2）“某项”、“某项的二项式系数”、“某项的系数”之间的区别

【课前练习】

1、设S=(x－1)4+4(x－1)3+6(x－1)2+4(x－1)+1，它等于下式中的（

）

（A）(x－2)4

（B）(x－1)4

（C）x4

（D）(x+1)4

2、（3x32)100展开所得关于x的多项式中系数为有理数的共有（

）项.

（A）50

（B）17

（C）16

（D）15 3、(|x|12)3展开式中的常数项是（

）. |x|1111－2）3=（|x|+－2）（|x|+－2）（|x|+－2）

|x||x||x||x|（A）－20

（B）－12

（C）－8

（D）20 法一：（|x|+得到常数项的情况有：①三个括号中全取－2，得（－2）3；②一个括号取｜x｜，一个括号取11，一个括号取－2，得C13C2（－2）=－12，

|x|∴常数项为（－2）3+（－12）=－20.

解法二：（|x|+11－2）3=（|x|－）6. |x||x|设第r+1项为常数项，

r则Tr1=C6·（－1）r·（1r）r·|x|6r=（－1）6·C6·|x|62r，得6－2r=0，r=3. |x|∴T3+1=（－1）3·C36=－20

0n1n14、设n为自然数，则Cn2Cn2knk(1)kCn2n等于（

）

(1)nCn（A）

（B）0

（C）－1

（D）1 5、(x+y)10展开式中有_______项；(x+y+z)10展开式中有_________项. 6、(1－z)+ (1－z)2++ (1－z)10的展开式中z2的系数是_________. 7、(1－x3)(1+x)10展开式中x5的系数是_______. 9ax98、已知()的展开式中x3项的系数为，常数a的值________. 4x2【典型例题】

例1、求(1+x－2x2)5的展开式中x4项的系数.

例2、若(1+2x)n中第6项与第8项的二项式系数相等，求按升幂排列的前3项。

例3、已知(x124x)n展开式中前3项的系数成等差数列，求展开式中x的整数次幂项. n(n1)n解：展开式中前三项的系数分别为1，，，

28n(n1)n由题意得2×=1+，得n=8. 281设第r+1项为有理项，Tr1=C·r·x2r8163r4，则r是4的倍数，所以r=0，4，8. 有理项为T1=x4，T5=135x，T9=. 256x28

例4、设(2－x)8=a0+a1x+a2x2++a8x8，求：

（1）a1+a2+a8的值

（2）a2+a4+a6+a8的值

（3）|a0|+|a1|+|a2|++|a8|的值.

022nC2C2nC2nn例5、求lim

nn34

1n12n2例6、若n为奇数，求7nCn7Cn7n1Cn7被9除的余数。

【课堂小结】

1、要正确理解二项式定理，准确地写出二项式的展开式；2、要注意区分项的系数与项的二项式系数；3、要注意二项式定理在近似计算及证明整除性中的应用。4、求系数和或部分系数和时，通常用赋值法；5、运用系数最大值性质时应注意区分n是偶数还是奇数；

6、通项公式及其应用是复习二项式定理的基本问题，要达到熟练的程度；

【课堂练习】

11、(x1)6展开式中的常数项是（

）. x（A）1

（B）40

（C）41

（D）39 2、二项式(5375)24展开式的整数项是第

(

)项

（A）15

（B）14

（C）13

（D）12 3、(x2+3x+2)5展开式中，x的系数为（

）

（A）160

（B）240

（C）360

（D）800 4、(x+a)7的展开式x4项的系数是－280，则a=__________.