一 数学归纳法教案设计（一等奖）

《数学归纳法》教学设计

一、教材内容解析

由于正整数无法穷尽的特点，有些关于正整数n的命题,难以对n进行一一的验证，从而需要寻求一种新的推理方法，以便能通过有限的推理来证明无限的结论.这是数学归纳法产生的根源.

数学归纳法是一种证明与正整数n有关的命题的重要方法。它的独到之处便是运用有限个步骤就能证明无限多个对象，而实现这一目的的工具就是递推思想。

设p(n)表示与正整数n有关的命题，证明主要有两个步骤：（1）证明p(1)为真；（2）证明若p(k)为真，则p(k+1)为真；有了这两步的保证,就可实现以下的无穷动态的递推过程：

… P(k+1)真 P(k)真…  P(3)真 P(2)真

P(1)真

因此得到对于任何正整数n，命题p(n)都为真.

数学归纳法的两个步骤中，第一步是证明的奠基，第二步是递推的依据，即验证由任意一个整数n过渡到下一个整数n+1时命题是否成立.这两个步骤都非常重要，缺一不可.第一步确定了n=1时命题成立，n=1成为后面递推的出发点，没有它递推成了无源之水；第二步确认了一种递推关系，借助它，命题成立的范围就能从1开始，向后面一个数一个数的无限传递到1以后的每一个正整数，从而完成证明.因些递推是实现从有限到无限飞跃的关键，没有它我们就只能停留在对有限情况的把握上.

在应用数学归纳法时，第一步中的起点1可以恰当偏移(如取k=n0)，那么由第二步，就可证明命题对n=n0以后的每个正整数都成立;而第二步的递推方式也可作灵活的变动，如跳跃式前进等，但必须保证第一步中必须含有实现第二步递推时的基础.

数学归纳法名为归纳法，实质上与归纳法毫无逻辑联系.按波利亚的说法“这个名字是随便起的”.[1]归纳法是一种以特殊化和类比为工具的推理方法，是重要的探索发现的手段，是一种似真结构；而数学归纳法是一种严格的证明方法，一种演绎法，它的实质是“把无穷的三段论纳入唯一的公式中”(庞加莱)，它得到的结论是真实可靠的.在皮亚诺提出“自然数公理”后，数学归纳法以归纳公理为理论基础，得到了广泛的确认和应用.而自然数中的“最小数原理”，则从反面进一步说明了数学归纳法证题的可靠性.

数学归纳法虽不是归纳法，但它与归纳法有着一定程度的关联.在数学结论的发现过程中，往往先通过对大量个别事实的观察，通过归纳形成一般性的结论，最终利用数学归纳法的证明解决问题.因此可以说论断是以试验性的方式发现的，而论证就像是对归纳的一个数学补充[1]，即“观察”+“归纳”+“证明”=“发现”.

二、教学目标

1. 通过对具体问题的解决思路探寻，了解数学归纳法产生的根源及其无穷递推的本质，在此基础上归纳概括出数学归纳法证题的两个步骤.

2. 体会数学归纳法的思想，会用数学归纳法证明一些简单的恒等式.

3. 了解通过“观察”“归纳”“证明”来发现定理的基本思路.

三、教学问题诊断

认知基础：

（1） 对正整数的特点的感性认识；

（2） 对“无穷”的概念有一定的认识和兴趣；

（3） 在数列的学习中对递推思想有一定的体会；

（4） 在生活经验中接触到一些具有递推性质的事实；

（5） 在“算法”循环结构的学习中有反复试用“循环体”的体会,虽然算法实现的只能是有限步的循环。