小结课堂实录【1】

组合的综合应用（一）教学设计

【教学三维目标】

一．知识与技能

理解排列组合的区别和联系，综合运用排列组合解决计数问题．

二．过程与方法

通过具体实例，经历把具体事例抽象为排列组合问题，利用排列、组合数公式求解的过程．

三．情感、态度与价值观

1.让学生在发现中学习，增强学习的积极性．

2.能运用排列组合要领分析简单的实际问题，提高分析问题的能力．

【教学重点】

综合运用排列组合解决计数问题．

【教学难点】

综合运用排列组合解决计数问题．

【教学设计】

本节课是排列组合复习课，目的是总结综合应用排列组合的问题和方法．特点是教师总结题目，学生在解决的过程中总结方法，举一反三，达到灵活掌握的程度．

【学生学情分析】

高中数学中的排研组会问题和生活的联系比较大，也是高中学生学习的重难点。同样还是高考的必考内容，现在很多学生都对这部分内容感到难！遇到这此问题不会做，这也就成了学习中棘手的事，基于此，本课就品中故学教学中排列组合应用问题进行探究。

【教学内容解析】

排列和组合的应用这堂网络课，教学重点是几种常见重要命题的形式的解题思路及相关应用。首先通过排列和组合有关知识的复习，使学生对排列和组合第

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有一个整体上的认识，给学生打下了很好的基础。其次在教学中，本着以学生为主体的原则，让学生自己动手参与实践，使之获知知识。

第三，针对数学学科的特点，在学生自主探索发现结论后，还需要在理论上给予支持。因此对各种常见的类型，教师在课堂上分别分别给予小结，目的是让学生在今后的自主学习若遇到同样的问题，有能力解决，从而让学生逐步熟悉。形成较为完整的一套自主学习方法。

【教学目标设置】

本节课以教师为引导，学生为主体，讨论为主线的教学原则，采用情境教学、操作发现、直观演示的教学方法。以“”不会才教，以教导学”作为教学路径，利用多媒体辅助教学等，通过合作交流、动手操作、自主探究的学习方法，实学生在一系列活动中感知排列组合，让学生快乐学习、高效学习！

【教学方法与教学手段】

一创设情景激发学生探究的兴趣

创设形象生动亲近学生生活实例：买车票、选次品、马路关灯等问题，让学生感觉《组合》其实就是应用渗透与我们身边的数学，将有效地激发学生学习的兴趣。

二关注合作，促进交流

以小组合作的形式贯穿全课，充分应用分组合作，共同探究的学习模式。目的是通过给学生一个轻松愉快的学习环境，所有的学生获得自我表现的机会，也可以实现信息在群体间的多向交流。在教学中鼓励学生与同伴交流，引导学生展开讨论。学生自己讲更能充分调动了学生的学习兴趣，乐于参与，在轻松愉快的环境中感悟了新知，发展了数感。体验了成功获得了数学学习的经验，真正体现了学生在课堂教学中的主导作用。合作学习，从形式走向实质。使学生在合作中学会了知识，体验学习的乐趣思维活动也更加活跃。

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三动画演示趣味化

隔板法的动画演示使学生充分调动了学生的感官器官，使学生在快乐愉悦的氛围中愉快的学习知识，从而大大提高了学习的兴趣。

组合的综合应用（一）教案设计

教学目标

知识与技能

理解排列组合的区别和联系，综合运用排列组合解决计数问题．

过程与方法

通过具体实例，经历把具体事例抽象为排列组合问题，利用排列、组合数公式求解的过程．

情感、态度与价值观

能运用排列组合要领分析简单的实际问题，提高分析问题的能力．

教学重点：综合运用排列组合解决计数问题．

教学难点：综合运用排列组合解决计数问题．

教学方法：启发式教学，半开放教学．

教学设计：本节课是排列组合复习课，目的是总结综合应用排列组合的问题和方法．特点是教师总结题目，学生在解决的过程中总结方法，举一反三，达到灵活掌握的程度．

教学过程

复习回顾

提出问题下列问题是排列问题还是组合问题？请用排列数或组合数表示其结果. ①某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需多少种不同的车票？ ②某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共有多少种不同的票价？ ③集合A＝｛a，b，c，d，e，f｝，则集合A含有4个元素的子集有多少个？ ④从1，3，5，9中任取两个数相加，可得多少个不同的和？ ⑤从1，3，5，9中任取两个数相除，可得多少个不同的商？ 第

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活动成果：(1) (5)是排列；(2) (3)(4)是组合．

1．从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．

2．排列数公式：Amn＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(m，n∈N，m≤n)．

Amn＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n！Ann＝n－m. (n－m)！An－m3．组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．

mn(n－1)(n－2)…(n－m＋1)mAn4．Cn＝Am＝或m！mCmn＝n！(n，m∈N，m！(n－m)！且m≤n)．

排列与组合的共同点都是“从n个不同元素中，任取m个元素”，如果交换两个元素的位置对结果产生影响，就是___________；反之，如果交换两个元素的位置对结果没有影响，就是___________．简而言之，__________与顺序有关，

__________与顺序无关

解决该问题的一般思路是先选后排，先____________后____________，解题时应灵活运用_______________原理和__________________原理．分类时，注意各类中是否分步，分步时注意各步中是否分类

设计意图：回顾本单元基础知识，为本节课的学习服务．

典型例题

类型一：有限制条件的组合问题

例1：在100件产品中有98件合格品，2件次品。产品检验时,从100件产

品中任意抽出3件。

(1)一共有多少种不同的抽法? (2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种?

(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种? 3解：(1)C1001009998161700(种)

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2(2)C12C98298979506(种)

211221(3)解法一：C2C98C2C989506989604（种)

33解法二：C100C981617001520969604（种)

类型二：组合中的分组问题

例2：

6本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的分法：

(1)分为三份，每份两本；

(2)分给甲、乙、丙三人，每人两本；

(3)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；

(4)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本；

(5)分为三份，一份四本，另外两份每份份一本；

(6)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本．

思路分析：可以根据分类加法计数原理和分步乘法计数原理，结合排列数和组合数来解决这类问题．

222C6C4C2

解：(1)无序均匀分组问题，有=15

种

3A3

222C6C4C23

(2)有序均匀分组问题，有A3=90种

3A3

123

(3)无序不均匀分组问题，有C6C5C3＝60种

123

(4)有序不均匀分组问题，有A33C6C5C3=360种

411C6C2C1 (5)无序局部均匀分组问题，有

15 种

2A2 (6)可以分为三类情况：

222可以分为三类情况：①“2、2、2型”即(2)中的分配情况，有C6C4C2＝901233种方法；②“1、2、3型”即(4)中的分配情况，有C6C5C3A3＝360种方法；③“1、第

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31、4型”，有C46A3＝90种方法，所以一共有90＋360＋90＝540种方法.

点评：在解决问题时，要先考虑分类还是分步完成，然后考虑是否有顺序，再确定方法．

【巩固练习】

(1)今有10件不同奖品,从中选6件分成三份, 二份各1件,另一份4件, 有多少种分法?

今有10件不同奖品,从中选6件分给甲乙丙三人,每人二件有多少种分法?

46222答案：1.C610C6＝3 150

2.C10C6C4C2＝18 900. 类型三：相同元素的组合问题

隔板法：待分元素相同，去处不同，每处至少一个。

元素相同问题隔板策略：将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为Cn1

例.有10个运动员名额，再分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？

解：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为C69＝84种

【巩固练习】

1. 6本相同的书，分给甲乙丙三人，每人至少一本，有多少种不同的分法？

3C25A3＝6 m12.马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的9盏路灯，为节约用电，可以把其中的三盏路灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关掉两端的路灯，满足条件的关灯办法有_____

C6___种．

3

课堂小结

1．知识收获：进一步复习分类加法计数原理和分步乘法计数原理以及排列、组合的概念．

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2．方法收获：(1)注意区别“恰好”与“至少”；(2)

有限制条件的组合问题；(3)

组合中的分组问题(4)相同元素的组合问题；(5)混合问题，先“组”后“排”．

3．思维收获：化归思想、分类讨论思想．

作业:课本PA组第15、17题．

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设计说明

本节课是排列组合复习课，目的是总结综合应用排列组合的问题和方法．特点是教师总结题目，学生在解决的过程中总结方法，举一反三，达到灵活掌握的程度．

备课资料

相同元素的分配问题隔板法：

1把20个相同的球全放入编号分别为1,2,3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于其编号数，则有多少种不同的放法？

解：向1,2,3号三个盒子中分别放入0,1,2个球后还余下17个球，然后再把这17个球分成3份，每份至少一球，运用隔板法，共有C216＝120种．

210个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？

解：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为C69＝84种．

变式1：7个相同的小球，任意放入四个不同的盒子，问每个盒子都不空的放法有______种．

变式2：

3将4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球放入4个不同盒子中的3个中，使得有一个空盒且其他盒子中球的颜色齐全的不同放法有多少种？

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3解：(1)先从4个盒子中选三个放置小球有C4种方法．

(2)注意到小球都是相同的，我们可以采用隔板法．为了保证三个盒子中球的颜色齐全，可以在4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球所产生22的3个、4个、5个空档中分别插入两个板．各有C23、C4、C5种方法．

3222(3)由分步乘法计数原理可得C4C3C4C5＝720种．

(设计者：张海宏)

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