复习参考题教案评析

第二章

基本初等函数、导数及其应用

导数的综合应用

草塔中学

杨燕华

一

复习内容及其时间分配

本节的主要内容是利用导数求单调区间，最值，恒成立问题，；重点是利用导数求恒成立问题。来源学科网ZXXK]

二

复习目标

1 解决恒成立的方法。

2 求函数最值问题。

三

教学难点

恒成立问题中参数范围问题

四

教学过程设计

第一部分

复习回顾

复习知识点：用导数求函数单调性，极值和最值的思想方法。

设计意图

加强学生对知识点的掌握和应用。

第二部分

讲解应用

问题一

利用导数研究恒成立问题

设计意图

巩固恒成立问题的方法

已知函数f(x)＝ln x＋ax－a2x2(a≥0)．

(1)若x＝1是函数y＝f(x)的极值点，求a的值；

(2)若f(x)<0在定义域内恒成立，求实数a的取值范围．

－2a2x2＋ax＋1[解]

(1)函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝.

x因为x＝1是函数y＝f(x)的极值点，

所以f′(1)＝1＋a－2a2＝0，

11解得a＝－或a＝1.又a≥0，所以a＝－(舍去)．

22经检验当a＝1时，x＝1是函数y＝f(x)的极值点，

所以a＝1.

(2)当a＝0时，f(x)＝ln x，显然在定义域内不满足f(x)<0恒成立；当a>0时，令f′(x)＝（2ax＋1）（－ax＋1）11＝0，得x1＝－(舍去)，x2＝，

x2aa所以f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x f′(x)

f(x)

0，1

a＋

单调递增[来源:Z_xx_k.Com]1

a0

极大值

1，＋∞

a－

单调递减

11所以f(x)max＝f＝ln<0，∴a>1.

aa综上可得实数a的取值范围是(1，＋∞)．

[规律方法]

利用导数解决恒成立问题主要涉及以下方面：

(1)已知不等式在某一区间上恒成立，求参数的取值范围：一般先分离参数，再转化为求函数在给定区间上的最值问题求解；

(2)如果无法分离参数可以考虑对参数a或自变量进行分类求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑限制二次项系数或判别式的方法求解．

(3)已知函数的单调性求参数的取值范围：转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立的问题．

变式训练

1.已知函数f(x)＝ex＋ax2－e2x. (1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线平行于x轴，求函数f(x)的单调区间；

(2)若x>0时，总有f(x)>－e2x，求实数a的取值范围．

解：(1)由f′(x)＝ex＋2ax－e2，得

y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率k＝4a＝0，则a＝0.

此时f(x)＝ex－e2x，f′(x)＝ex－e2.

由f′(x)＝0，得x＝2.

当x∈(－∞，2)时，f′(x)<0，f(x)在(－∞，2)上单调递减；

当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(2，＋∞)上单调递增．

ex(2)由f(x)>－ex，得a>－2.

x2e（2－x）ex设g(x)＝－2，x>0，则g′(x)＝.

xx3∴当00，g(x)在(0，2)上单调递增；

当x>2时，g′(x)<0，g(x)在(2，＋∞)上单调递减．

e2∴g(x)≤g(2)＝－.4[来源学科网]x

2e－，＋∞.

因此实数a的取值范围为4

师生活动

学生总结方法，教师补充

构造函数证明不等式的方法

(1)对于(或可化为)左右两边结构相同的不等式，构造函数f(x)，使原不等式成为形如f(a)>f(b)的形式．

(2)对形如f(x)>g(x)的不等式，构造函数F(x)＝f(x)－g(x)．

(3)对于(或可化为)f(x1，x2)≥A的不等式，可选x1(或x2)为主元，构造函数f(x，x2)(或f(x1，x))．

1变式训练

2.已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝ax2＋bx－1. 2(1)当a＝0且b＝1时，证明：对∀x>0，f(x)≤g(x)；

(2)若b＝2，且h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围．

解：(1)证明：当a＝0且b＝1时，设h(x)＝f(x)－g(x)＝ln x－(x－1)＝ln x－x＋1，∀x>0，1h′(x)＝－1.

x解h′(x)＝0，得x＝1.

1当00，h(x)单调递增；

x1当x>1时，h′(x)＝－1<0，h(x)单调递减，

x所以h(x)在x＝1处取得最大值，即∀x>0，h(x)≤h(1)＝ln 1－1＋1＝0，ln x≤x－1，即f(x)≤g(x)．

1(2)若b＝2，h(x)＝f(x)－g(x)＝ln x－ax2－2x＋1，

2ax2＋2x－11所以h′(x)＝－ax－2＝－.

xx因为函数h(x)存在单调递减区间，所以h′(x)<0在(0，＋∞)上有解，

所以ax2＋2x－1>0在(0，＋∞)上有解，

1－2x122所以a>2在(0，＋∞)上有解，即∃x∈(0，＋∞)，使得a>x－.

xx1令t＝，x>0，则t>0，研究y＝t2－2t，t>0，当t＝1时，ymin＝－1，所以a>－1.

x

五

本节小结

证明不等式的方法

(1)对于(或可化为)左右两边结构相同的不等式，构造函数f(x)，使原不等式成为形如f(a)>f(b)的形式．

(2)对形如f(x)>g(x)的不等式，构造函数F(x)＝f(x)－g(x)．

(3)对于(或可化为)f(x1，x2)≥A的不等式，可选x1(或x2)为主元，构造函数f(x，x2)(或f(x1，x))．

六．作业布置